Urodził się w nowojorskimBrooklynie[2][3]. Był najmłodszym z trzech synów. Jego rodzice, Clara (Nemerovsky) i Jacob Kaminsky, byliżydowskimi emigrantami[4]. Jego ojciec pochodził zKijowa z korzeniami na Litwie, a matka również pochodziła z ówczesnegoImperium Rosyjskiego[4]. Jego rodzice i starsi bracia, Larry i Mac, opuściliDniepropietrowsk dwa lata przed narodzinami Danny’ego; był ich jedynym synem urodzonym w Stanach Zjednoczonych.
Rozpoczął karierę w latach 30. jako komik w hotelach w górachCatskill i w klubach nocnych w całych Stanach Zjednoczonych[5]. W tym okresie stworzył pantomimy, szybki śpiewscat i fizyczne wybryki, które miały stać się jego znakiem rozpoznawczym[6].
Dostał swoją pierwszą rolę filmową wkrótkometrażowejkomedii Educational PicturesKsiężyc nad Manhattanem (Moon Over Manhattan, 1935). Następnie wystąpił w innych niskobudżetowych filmach krótkometrażowych, takich jakDime a Dance (1937) jako Eddie zImogene Cocą iJune Allyson czyCupid Takes a Holiday (1938) jako Nikołaj Nikołajewicz, zanim studio zostało zamknięte w 1938. Wkrótce odniósł sukces na scenie naBroadwayu, zaczynając odmusicaluThe Straw Hat Revue (1939) iLady in the Dark (1940) jako Russell Paxton[7]. Wiele razy występował ze znaną aktorkąVirginią Mayo.
3 stycznia 1940 ożenił się z autorką tekstów piosenek Sylvią Fine, z którą miał córkę Denę (ur. 17 grudnia 1946). Byłbiseksualistą[8] i w latach 1949–1950 spotykał się zLaurence’em Olivierem[8].