C*-algebra (czyt.ce-gwiazdka-algebra; czasamialgebra typu ce-gwiazdka) – zespolonaalgebra Banacha${\displaystyle A}$ z dodatkowym działanieminwolucji${\displaystyle {}^{\ast }:A\to A}$ (${\displaystyle A}$ jest więc*-algebrą), spełniającym warunek

(C*)${\displaystyle \Vert a^{\ast }a\Vert =\Vert a\Vert \Vert a^{\ast }\Vert (a\in A).}$

Motywacją rozważania pojęcia C*-algebry była chęć aksjomatycznego ujęcia własności algebraicznychobserwabli wmechanice kwantowej. C*-algebry będące podalgebrami algebryoperatorów ograniczonych naprzestrzeni Hilberta pojawiły się w matematyce i fizyce matematycznej w latach 30. XX wieku.

• Niech${\displaystyle H}$ będzieprzestrzenią Hilberta. Algebra${\displaystyle \mathcal{B}(H)}$ wszystkich operatorów liniowych i ograniczonych na${\displaystyle H}$ ma strukturę algebry Banacha (normą w tej algebrze jestnorma operatorowa). Operacjasprzężenia operatora${\displaystyle T\to T^{\ast }}$ jest inwolucją na tej algebrze spełniającą warunek (C*), tj. algebra${\displaystyle \mathcal{B}(H)}$ jest C*-algebrą. C*-algebra ta jest nieprzemienna, gdyż istnieją niekomutujące ze sobą operatory na przestrzeni Hilberta.
• Operatory zwarte na przestrzeni Hilberta${\displaystyle H}$ tworządomkniętyideał w algebrze${\displaystyle \mathcal{B}(H)}$ (w szczególności, tworzą one domkniętą podalgebrę${\displaystyle \mathcal{B}(H)}$). Algebra${\displaystyle K(H)}$ operatorów zwartych jest zamknięta na inwolucję, a więc sama jest C*-algebrą. Identyczność na nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta nie jest operatorem zwartym, a więc algebra${\displaystyle K(H)}$ nie majedynki.
• Niech${\displaystyle K}$ będzielokalnie zwartąprzestrzenią Hausdorffa. Wprzestrzeni Banacha${\displaystyle C_0(K)}$ złożonej z zespolonychfunkcji ciągłych na${\displaystyle K}$ i znikających w nieskończoności (normą w tej przestrzeni jestnorma supremum) można wprowadzić działanie mnożenia określone punktowo oraz inwolucję, definiując${\displaystyle f^{\ast }(z)}$ jakosprzężenie zespolone wartości${\displaystyle f(z)}$ dla każdego punktu${\displaystyle z}$ przestrzeni${\displaystyle K.}$ Przestrzeń${\displaystyle C_0(K)}$ z tak zadanymi działaniami mnożenia i inwolucji jest przemienną C*-algebrą. Algebra ta ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń${\displaystyle K}$ jestzwarta (wówczas jej elementami są wszystkie zespolone funkcje ciągłe na${\displaystyle K;}$ w tym przypadku używa się zwykle symbolu${\displaystyle C(K)}$ zamiast${\displaystyle C_0(K)}$). Przestrzeń${\displaystyle {\ell }_{\mathrm{\infty }}}$ (z działaniami mnożenia i inwolucji zadanymi podobnie) jest również przemienną C*-algebrą. W szczególności, przestrzeń${\displaystyle {\ell }_{\mathrm{\infty }}}$ jest izomorficzna z przestrzenią${\displaystyle C(\beta \omega ),}$ gdzie${\displaystyle \beta \omega }$ oznaczauzwarcenie Čecha-Stone’a zbioruliczb naturalnych ztopologią dyskretną. Podobnie,przestrzeńc₀ jest algebrą postaci${\displaystyle C_0(K),}$ gdzie${\displaystyle K}$ jest zbiorem liczb naturalnych z topologią dyskretną.
• W przypadku gdy${\displaystyle A}$ jest C*-algebrą oraz${\displaystyle M_n}$ oznacza algebręmacierzy kwadratowych stopnia${\displaystyle n,}$ to algebrę macierzy${\displaystyle M_n(A)}$ o współczynnikach z algebry${\displaystyle A}$ można w naturalny sposób wyposażyć w strukturę C*-algebry (por.podjednorodna C*-algebra).

Pojęciaoperatora normalnego,samosprzężonego,rzutu rozszerza się na elementy C*-algebr. Dokładniej, o elemencie${\displaystyle a}$ C*-algebry${\displaystyle A}$ mówi się, że jest

• normalny, gdy komutuje ze swoim sprzężeniem, tj.${\displaystyle a{a}^{\ast }=a^{\ast }a;}$
• samosprzężony, gdy jest równy swojemu sprzężeniu, tj.${\displaystyle a=a^{\ast };}$
• rzutem, gdy jest samosprzężony i idempotentny, tj.${\displaystyle a=a^{\ast }}$ oraz${\displaystyle a^2=a.}$

Istnieje naturalnarelacja równoważności w rodzinie rzutów danej C*-algebry${\displaystyle A.}$ Dwa rzuty${\displaystyle p,q\in A}$ sąrównoważne w sensie Murraya-von Neumanna (ozn.${\displaystyle p\sim q}$), gdy istnieje taka częściowa izometria${\displaystyle v\in A,}$ że${\displaystyle p=v^{\ast }v}$ i${\displaystyle q=v{v}^{\ast }.}$ Rzuty dzieli się naskończone inieskończone. Rzut${\displaystyle p}$ w C*-algebrze${\displaystyle A}$ jest

• nieskończony, gdy${\displaystyle p\sim q}$ dla pewnego właściwego rzutu${\displaystyle q\in A}$ spełniającego${\displaystyle q⩽p,}$
• skończony, gdy nie jest nieskończony.

Spośród rzutów nieskończonych wyróżnia się rzutynieskończone w sposób właściwy, tj. takie rzuty${\displaystyle p,}$ dla których istnieją takie dwa rzuty${\displaystyle p_1,p_2\in A,}$ że${\displaystyle p_1{p}_2=0}$ (wzajemna ortogonalność),${\displaystyle p_1+p_2⩽p}$ oraz${\displaystyle p\sim p_1\sim p_2.}$

Dla niezerowego rzutu${\displaystyle p\in A}$ następujące warunki są równoważne:

1. ${\displaystyle p}$ jest nieskończony w sposób właściwy,
2. ${\displaystyle p\oplus p⩽p,}$
3. istnieją takie częściowe izometrie${\displaystyle s_1,s_2\in A,}$ że${\displaystyle s_1^{\ast }{s}_1+s_2^{\ast }{s}_2=p}$ oraz${\displaystyle s_1{s}_1^{\ast }+s_2{s}_2^{\ast }⩽p,}$
4. obraz${\displaystyle p}$ w dowolnej algebrze ilorazowej${\displaystyle A}$ poprzez kanoniczny homomorfizm ilorazowy jest albo rzutem zerowym albo rzutem nieskończonym.

Przykładem rzutu, który jest nieskończony, ale nie jest nieskończony w sposób właściwy jest jedynkaalgebry Toepliza, tj. C*-algebry generowanej przez operator przesunięcia na${\displaystyle {\ell }_2(N).}$

Każdy element samosprzężony jest normalny.Twierdzenie spektralne rozszerza się na elementy C*-algebr i w swej najbardziej abstrakcyjnej formie mówi, że najmniejsza C*-algebra z jedynką generowana przez element normalny jest przemienna. Twierdzenie, to prowadzi do pojęcia ciągłego rachunku funkcyjnego dla elementu normalnego${\displaystyle a,}$ tj. pozwala zdefiniować ściśle element${\displaystyle f(a),}$ gdzie${\displaystyle f}$ jest zespolonąfunkcją ciągłą określoną nawidmie${\displaystyle a.}$

W przypadku gdy C*-algebra jest postaci${\displaystyle C_0(K),}$ to jej rzutami są funkcje będącefunkcjami charakterystycznymidomknięto-otwartych podzbiorów${\displaystyle K}$ (jeżeli przestrzeń${\displaystyle K}$ jestspójna i zwarta istnieją tylko dwa rzuty: funkcja stale równa 0 i funkcja stale równa 1).

• Promień spektralny elementu normalnego jest równy jegonormie.
• W przypadku, gdy C*-algebra${\displaystyle A}$ ma jedynkę, to widmoelementu odwracalnego w${\displaystyle A}$ jest zawarte wokręgu jednostkowym.
• Element${\displaystyle a}$ C*-algebry jest samosprzężony wtedy i tylko, gdy jego widmo zawarte jest w zbiorzeliczb rzeczywistych.
• Jeżeli${\displaystyle A}$ i${\displaystyle B}$ są C*-algebrami,${\displaystyle A\subseteq B}$ oraz algebry te mają wspólną jedynkę, to widmo elementu${\displaystyle a}$ algebry${\displaystyle A}$ (względem algebry${\displaystyle A}$) jest takie samo jak jego widmo względem algebry${\displaystyle B.}$ Innymi słowy, widmo${\displaystyle a}$ nie zależy od C*-algebry, której jest on elementem.

Element${\displaystyle u}$ C*-algebry${\displaystyle A}$ (z jedynką 1) jestunitarny, gdy${\displaystyle u{u}^{\ast }=1}$ (równoważnie,${\displaystyle u^{\ast }u=1,}$ bądź${\displaystyle u^{\ast }=u^{-1}}$). Elementy unitarne uogólniają w naturalny sposób pojęciemacierzy czyoperatora unitarnego. Russo i Dye udowodnili następujące twierdzenie^[1].

Twierdzenie Russo-Dyego: Niech${\displaystyle A}$ będzie C*-algebrą z jedynką oraz${\displaystyle U}$ niech będzie zbiorem elementów unitarnych w${\displaystyle A.}$ Wówczas domknięta kula jednostkowa${\displaystyle B_A}$ jest równadomknięciuotoczki wypukłej zbioru${\displaystyle U,}$ tj.

${\displaystyle B_A=\overline{\mathrm{conv}}U.}$

Poniższy, elementarny dowód pochodzi od L.T. Gardnera^[2].

Dowód. Niech${\displaystyle x\in A}$ oraz Wystarczy uzasadnić, że${\displaystyle x}$ należy do domknięcia zbioru${\displaystyle \mathrm{conv}U.}$ To sprowadza się jednak do pokazania, iż dla każdego${\displaystyle u\in U}$ element${\displaystyle y=(x+u)/2}$ należy do domknięcia${\displaystyle \mathrm{conv}U.}$ Rzeczywiście,

${\displaystyle y=[(x\cdot u^{-1}+1)/2]\cdot u.}$

Ponieważ więc element${\displaystyle (x\cdot u^{-1}+1)}$ jestodwracalny, skąd również${\displaystyle y}$ jest elementem odwracalnym. Element${\displaystyle y}$ jest więc postaci${\displaystyle y=v|y|,}$ gdzie${\displaystyle v}$ jest pewnym elementem unitarnym oraz

${\displaystyle (y^{\ast }y{)}^{1/2}=|y|=(w+w^{\ast })/2,}$

gdzie${\displaystyle w=|y|+i(1-|y{|}^2{)}^{1/2}}$ jest również unitarne. Dowodzi, to że${\displaystyle B_A-U\subseteq U+U.}$ Z powyższego wynika więc, że${\displaystyle U}$ zawiera się w zbiorze${\displaystyle 2\cdot \overline{\mathrm{conv}}-x,}$ który jest domknięty i wypukły, a więc zawiera domknięcie${\displaystyle \mathrm{conv}U.}$ Równoważnie,

${\displaystyle \frac{1}{2}(x+\overline{\mathrm{conv}}U)\subseteq \overline{\mathrm{conv}}U.}$

Ciąg${\displaystyle (x_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}}$ elementów ze zbioru${\displaystyle \overline{\mathrm{conv}}U)}$ można zadaćrekurencyjnie:${\displaystyle x_0}$ – dowolny element${\displaystyle U}$ oraz${\displaystyle x_{n+1}=(x+x_n)/2;}$ ciąg ten jest zbieżny do${\displaystyle x.}$${\displaystyle ◻}$

O operatorze${\displaystyle T}$ na przestrzeni Hilberta mówi się, że jestdodatni (czasem ściślej:nieujemny), gdy dla każdego elementu${\displaystyle x}$ z przestrzeni Hilberta spełniony jest warunek

${\displaystyle ⟨Tx,x⟩⩾0.}$

Dodatniość operatora${\displaystyle T}$ jest równoważna istnieniu takiego operatora${\displaystyle S,}$ że${\displaystyle T=S{S}^{\ast }.}$ Właśnie tę definicję przenosi się na ogólne C*-algebry i definiuje się pojęcieelementu dodatniego w C*-algebrze${\displaystyle A}$ jako takiego, który można przedstawić w postaci${\displaystyle a=b{b}^{\ast }}$ dla pewnego elementu${\displaystyle b}$ C*-algebry${\displaystyle A.}$ Dla elementu${\displaystyle a}$ C*-algebry następujące trzy warunki są równoważne:

1. ${\displaystyle a}$ jest elementem dodatnim;
2. widmo elementu${\displaystyle a}$ zawiera się w nieujemnej półosi zbioru liczb rzeczywistych;
3. istnieje taki element samosprzężony${\displaystyle h}$ w C*-algebrze${\displaystyle A,}$ że${\displaystyle a=h^2.}$

Zbiór elementów dodatnich w C*-algebrze tworzystożek, oznaczany czasem symbolem${\displaystyle A_{+}.}$ Stożek ten jest domknięty iwypukły oraz spełnia warunek${\displaystyle A_{+}\cap -A_{+}=\{0\}.}$ W stożku${\displaystyle A_{+}}$ definiuje sięporządek częściowy warunkiem${\displaystyle a⩽b}$ wtedy i tylko wtedy, gdy element${\displaystyle b-a}$ jest dodatni.

Funkcjonał liniowy${\displaystyle \phi }$ na C*-algebrze${\displaystyle A}$ jest nazywanydodatnim, gdy dla każdego elementu dodatniego${\displaystyle a}$ z${\displaystyle A}$ spełniony jest warunek${\displaystyle \phi (a)⩾0.}$ Funkcjonał dodatni jest automatycznie ciągły (ograniczony). Funkcjonał dodatni o normie równej 1 nazywany jeststanem. Stanróżnowartościowy nazywany jestwiernym.

Funkcjonał dodatni${\displaystyle \phi }$ na C*-algebrze${\displaystyle A}$ spełnia następujące warunki dla dowolnych elementów${\displaystyle a,b}$ z${\displaystyle A:}$

1. ${\displaystyle \phi (a^{\ast }b)=\overline{\phi (b^{\ast }a)};}$
2. ${\displaystyle |\phi (b^{\ast }a){|}^2⩽\phi (a^{\ast }a)\cdot \phi (b^{\ast }b).}$

Powyższa nierówność jest więc pewną wersjąnierówności Cauchy’ego-Schwarza. Założenie warunku (C*) nie jest tu istotne – te same własności mają funkcjonały dodatnie na dowolnych *-algebrach Banacha.

 Osobne artykuły:twierdzenie Gelfanda-Najmarka i twierdzenie Gelfanda-Najmarka-Segala.

Ważnym narzędziem w studiowaniu (abstrakcyjnych) C*-algebr są ich reprezentacje.Reprezentacją C*-algebry${\displaystyle A}$ nazywa się parę${\displaystyle (H,\pi ),}$ gdzie${\displaystyle H}$ jest pewnąprzestrzenią Hilberta oraz${\displaystyle \pi :A\to \mathcal{B}(H)}$ jest*-homomorfizmem (tj.homomorfizmem algebr zachowującym inwolucję;${\displaystyle \pi (a^{\ast })=(\pi (a){)}^{\ast }}$ dla dowolnego${\displaystyle a\in A}$) o wartościach w*-algebrze${\displaystyle \mathcal{B}(H)}$ wszystkich ograniczonych operatorów liniowych na${\displaystyle H}$ (${\displaystyle \mathcal{B}(H)}$ znormą operatorową jest C*-algebrą). Szczególnie użyteczne okazują się reprezentacje o pewnych dodatkowych własnościach. I tak, o reprezentacji${\displaystyle (H,\pi )}$ C*-algebry${\displaystyle A}$ mówi się, że jest

• niezdegenerowana, gdy o ile tylko dla każdego${\displaystyle a\in A,}$${\displaystyle \xi }$ jest takim elementem${\displaystyle H,}$ że${\displaystyle \pi (a)\xi =0,}$ to${\displaystyle \xi }$ musi być wektorem zerowym;
• cykliczna, jeżeli istnieje taki element${\displaystyle \xi \in H,}$ że zbiór${\displaystyle \{\pi (a)\xi :a\in A\}}$ jestgęsty w${\displaystyle H}$ (wektor${\displaystyle \xi }$ nazywany jest wówczas wektorem cyklicznym reprezentacji${\displaystyle (H,\pi );}$ każda reprezentacja cykliczna jest niezdegenrowana);
• wierna, gdy${\displaystyle \pi }$ jestmonomorfizmem, tj. jeżeli${\displaystyle \pi (a)=0,}$ to${\displaystyle a=0;}$
• nieprzywiedlna, gdy rodzina operatorów${\displaystyle \pi (A)=\{\pi (a):a\in A\}}$ nie ma wspólnej,domkniętej, nietrywialnej (tj. różnej od${\displaystyle \{0\}}$ i${\displaystyle H}$)podprzestrzeni niezmienniczej.

Dla reprezentacji${\displaystyle \pi :A\to \mathcal{B}(H)}$ następujące warunki są równoważne:

• ${\displaystyle \pi }$ jest nieprzywiedlna,
• ${\displaystyle \pi (A{)}^{\prime }=\{cI:c}$ jest liczbą zespoloną${\displaystyle \}}$
• ${\displaystyle \pi (A{)}^{″}=\mathcal{B}(H),}$
• ${\displaystyle \pi (A)}$ jest gęste w${\displaystyle \mathcal{B}(H)}$ wmocnej topologii operatorowej.

Istnieją dwa zasadnicze twierdzenia o reprezentacji C*-algebr:

• Twierdzenie Gelfanda-Najmarka mówi, że każdaprzemienna C*-algebra${\displaystyle A}$ jest *-izomorficzna z C*-algebrą postaci${\displaystyle C_0(K)}$ dla pewnejlokalnie-zwartejprzestrzeni Hausdorffa${\displaystyle K.}$ W istocie, przestrzeń${\displaystyle K}$ jestprzestrzenią Gelfanda C*-algebry${\displaystyle A}$ (tj.transformata Gelfanda${\displaystyle \mathrm{\Gamma }:A\to C_0(K)}$ jestepimorfizmem).
• Twierdzenie Gelfanda-Najmarka-Segala mówi, że każda C*-algebra${\displaystyle A}$ ma wierną reprezentację na pewnej przestrzeni Hilberta${\displaystyle H;}$ innymi słowy, każda C*-algebra jest *-izomorficzna z pewną pod-C*-algebrą algebry${\displaystyle \mathcal{B}(H)}$ dla pewnej przestrzeni Hilberta${\displaystyle H.}$

Każda C*-algebra maaproksymowalną jedność składającą się z elementów samosprzężonych, tj. w każdej C*-algebrze${\displaystyle A}$ istnieje takiciąg uogólniony${\displaystyle (e_{\alpha }{)}_{\alpha }}$ złożony z elementów samosprzężonych${\displaystyle (e_{\alpha }^{\ast }=e_{\alpha }),}$ że dla dowolnego${\displaystyle a\in A}$ zachodzi

${\displaystyle limx{e}_{\alpha }=lim{e}_{\alpha }x=x.}$

Rozważanie aproksymowalnych jedności jest zasadne w C*-algebrach, które nie mająjedności (gdy${\displaystyle A}$ ma jedność${\displaystyle e,}$ można przyjąć${\displaystyle e_{\alpha }=e}$). W przypadku, gdy${\displaystyle J}$ jest domkniętymideałem (obustronnym) w C*-algebrze${\displaystyle A,}$ dla każdego elementu${\displaystyle x\in J}$ istnieje taki ciąg${\displaystyle (f_n)}$ elementów${\displaystyle J}$ o następujących własnościach:

1. widmo każdego elementu${\displaystyle f_n}$ zawarte jest wprzedziale${\displaystyle [0,1];}$
2. ${\displaystyle limx{f}_n=x}$

(gdy${\displaystyle A}$ ma jedność, wystarczy zdefiniować${\displaystyle f_n,}$ używającciągłego rachunku funkcyjnego, wzorem${\displaystyle f_n=n{x}^2(e+n{x}^2{)}^{-1}}$).

Używając tego faktu dowodzi się, że

Domknięte ideały w C*-algebrach są zamknięte ze względu na inwolucję. Innymi słowy, same są C*-algebrami.

Jeżeli${\displaystyle J}$ jest domkniętym ideałem w C*-algebrze${\displaystyle A}$ oraz${\displaystyle (f_n{)}_n}$ oraz${\displaystyle x\in J,}$ to${\displaystyle x=limx{f}_n.}$ Z drugiej strony,${\displaystyle x^{\ast }=lim{f}_n{x}^{\ast },f_n{x}^{\ast }\in J}$ oraz${\displaystyle J}$ jest domknięty, więc${\displaystyle x^{\ast }\in J.}$

Zamkniętość domkniętych ideałów na inwolucję pozwala wprowadzić w ilorazowej algebrze Banacha powstałej przez ilorazowanie C*-algebry${\displaystyle A}$ przez domknięty ideał${\displaystyle J}$ inwolucję wzorem:${\displaystyle [x{]}^{\ast }=[x^{\ast }](x\in A).}$ Tak zadana inwolucja w${\displaystyle A/J}$ spełnia warunek (C*).

C*-algebry mogą być ubogie w ideały obustronne. Skrajnymi przykładami mogą byćC*-algebry proste (C*-algebra${\displaystyle A}$ jestprosta, gdy nie ma ona innych ideałów obustronnych niż ideał trywialny${\displaystyle \{0\}}$ oraz ideał niewłaściwy${\displaystyle A}$). C*-algebry proste można konstruować jako C*-algebry ilorazowe${\displaystyle B/J,}$ gdzie${\displaystyle B}$ jest pewną C*-algebrą oraz${\displaystyle J}$ jest jejideałem maksymalnym. Przykładem jestalgebra Calkina, tj. C*-algebra${\displaystyle \mathcal{B}(H)/\mathbf{K}(H),}$ gdzie${\displaystyle H}$ jestośrodkową przestrzenią Hilberta, a${\displaystyle \mathbf{K}(H)}$ oznacza ideałoperatorów zwartych na${\displaystyle H.}$ Algebra Calkina jest nieośrodkowa. Istnieją ośrodkowe C*-algebry proste, np.algebry Cuntza${\displaystyle O_n.}$

Przeciwnie niż w przypadku ideałów obustronnych, C*-algebry mają zawsze nietrywialneideały lewostronne. Jeżeli${\displaystyle \phi }$ jest funkcjonałem dodatnim w C*-algebrze${\displaystyle A,}$ to zbiór

${\displaystyle N_{\phi }=\{a\in A:\phi (a^{\ast }a)=0\}}$

jest ideałem lewostronnym w${\displaystyle A.}$ W C*-algebrze z jedynką każdy domknięty ideał lewostronny jest tej postaci (ogólniej, w dowolnej C*-algebrze każdy domknięty ideał modularny jest tej postaci).

 Osobny artykuł:Iloczyny tensorowe C*-algebr.

Niech${\displaystyle A}$ i${\displaystyle B}$ będą C*-algebrami. Algebraicznyiloczyn tensorowy${\displaystyle A\otimes B}$ ma naturalną strukturę *-algebry. Każda norma${\displaystyle \Vert \cdot \Vert }$ w${\displaystyle A\otimes B}$ spełniająca warunek (C*) jestnormą krzyżową przestrzeni Banacha, tj.

${\displaystyle \Vert x\otimes y\Vert =\Vert x{\Vert }_A\cdot \Vert y{\Vert }_B(x\in A,y\in B)}$^[3].

Projektywny iloczyn tensorowy${\displaystyle {\otimes }_{\pi }}$ (przestrzeni Banacha) nie spełnia na ogół warunku (C*).

• W. Arveson,An Invitation to C*-algebra, „Graduate Texts in Mathematics” No. 39. Springer-Verlag, 1976.
• J. Dixmier,C*-Algebras, North Holland 1977.
• H.G. Dales,Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford, 2000.
• M. Takesaki,Theory of Operator Algebras I. Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag 1979. VII.

• C*-algebra(ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

• Algebry Banacha
• Przestrzenie Hilberta
• C*-algebry