Pojęciegranicy umożliwiłoArchimedesowi obliczyćpole powierzchni sfery , a przez to teżobjętość kuli . Przykład sumy Riemanna przybliżającejcałkę Riemanna Analiza matematyczna – jeden z głównych działów nowożytnejmatematyki , zaliczany domatematyki wyższej [ 1] granicy do badaniafunkcji o wartościach rzeczywistych iuogólnień tych funkcji[ 2] granic ciągów [ 3] szeregów [ 1] miar jak długościkrzywych ,pola powierzchni ,objętości czyprawdopodobieństwa . Z czasem pojęcie granicy zastosowano też do innych zagadnień jak badaniaekstremów funkcji i znajdowanieasymptot ichwykresów . Przez uniwersalność pojęcia funkcji analiza:
Rozwój analizy trwa nieprzerwanie od setek lat, przez całą nowożytność. Pojęcia i metody bliskie tej dziedzinie stosował jużArchimedes z Syrakuz w III w. p.n.e. (metoda wyczerpywania ), jednak za początek analizy jako samodzielnej dyscypliny przyjmuje się wiek XVII[ 2] [ 4] Isaac Newton iGottfried Wilhelm Leibniz rozważali jej podstawowe pojęcia jakpochodna ,całka i związek między nimi –zasadnicze twierdzenie analizy (twierdzenie Newtona–Leibniza). Od tego czasu tenrachunek różniczkowo-całkowy wielorako kontynuowano – udało się:
Równolegle rozwinięto inne dziedziny jakrachunek wariacyjny ,równania różniczkowe cząstkowe ,analiza zespolona czyharmoniczna . Powstałe w analizie pojęcieciągłości zapoczątkowałotopologię , która stała się samodzielną, odrębną dyscypliną.
Analiza oddziałuje wzajemnie z innymi działami matematyki:
Analiza matematyczna to fundament nowożytnejfizyki – podstawoweprawa fizyki jakrównania ruchu czypól fizycznych są formułowane przez równania różniczkowe lubzasady wariacyjne . Przez ten ścisły związek fizyka stymulowała rozwój analizy, czasem otwierając jej nowe dziedziny jakteoria dystrybucji . Analizą zajmowali się najwybitniejsi matematycy wszech czasów – nie tylko Archimedes, Newton i Leibniz, ale równieżLeonhard Euler ,Joseph Louis Lagrange ,Pierre Laplace ,Joseph Fourier ,Carl Friedrich Gauss ,Augustin Louis Cauchy ,Bernhard Riemann ,Karl Weierstraß ,David Hilbert i inni[ 2] czasopisma badawcze poświęcone w całości analizie lub nawet jej konkretnym dziedzinom, np. polskie „Studia Mathematica ” – analizie funkcjonalnej.
Ta sekcja od 2025-03 wymagazweryfikowania podanych informacji:to jest raczej historia Archimedes użył tzw.metody wyczerpywania do obliczenia powierzchnikoła : obliczał powierzchniewielokątów foremnych z coraz to większą liczbą boków. Jest to pierwszy znany przykład obliczaniagranicy , jednego z podstawowych pojęć analizy matematycznejKwestie związane zgranicami trapiły jużfilozofów przedsokratejskich , zwłaszczaeleatów .Paradoksy Zenona z Elei wyrażają m.in. fakt zbieżności nieskończonego szeregu oraz podnoszą kwestię tego, czy ruch składa się z chwilowych spoczynków – na co później odpowiedziano negatywnie, za sprawą pojęciaprędkości chwilowej .
Rozumowania oparte na przejściach granicznych skutecznie stosowałArchimedes z Syrakuz, obliczając tak m.in.[ 5]
Wokresie hellenistycznym metody te rozwijałPappus z Aleksandrii [ 6] twierdzenia Pappusa-Guldina opisują pola powierzchni i objętości ogólnychbrył obrotowych [ 7] Liu Hui , który w III w. n.e. metodą podobną do tej Archimedesa obliczył przybliżenie pi z wyższą dokładnością[ 8]
W XIV wiekuMikołaj z Oresme udowodnił rozbieżnośćszeregu harmonicznego [ 9]
Róg Gabriela – figura o nieskończonym polu powierzchni przy skończonej (ograniczonej) objętościXVII wiek to między innymi:
Trójwymiarowy wykres przykładowej funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych Wiek XVIII to kontynuacja wcześniejszego kierunku badań, zwłaszcza za sprawąLeonharda Eulera ,Joseph Louis Lagrange ’a iJeana le Ronda d’Alemberta . Ten pierwszy między innymi:
Lagrange jest za to wiązany ztwierdzeniem o wartości średniej dającym pewien fundament szeregom Taylora. Obaj uczeni są upamiętnieni nazwamirównań Eulera-Lagrange’a w rachunku wariacyjnym, np. w stworzonej przez Lagrange’amechanice analitycznej . Oprócz tego d’Alembert:
Płaski wykres przykładowejfunkcji zmiennej zespolonej Na początku XIX wiekuPierre Laplace iSiméon Denis Poisson kontynuowali badania równań różniczkowych, m.in. metodamioperatorów różniczkowych i transformat całkowych; tworzyli tak podwaliny klasycznejteorii potencjału . Następnie pojawiły się początki pojęciowego rygoru –Bernard Bolzano ,Augustin Louis Cauchy iKarl Weierstraß zdefiniowali ściślegranice ciągów , aBernhard Riemann –całkę oznaczoną , w tej postaci nazwanejcałką Riemanna . Tamto stulecie otworzyło również nowe poddziedziny analizy:
Henri Poincaré ,Camille Jordan ,Georg Cantor i inni na gruncie analizy zbudowali też podstawytopologii . W tym samym stuleciu pojawiły się też zastosowania analizy do najstarszej dziedziny matematyki – podstawyanalitycznej teorii liczb .
Wizualizacjaatraktora Lorenza związanego zrównaniami różniczkowymi opisującymiukłady dynamiczne W XX wieku pojawiły się dalsze dziedziny analizy, przede wszystkim:
Wśródproblemów milenijnych znalazły się co najmniej dwa należące do szeroko rozumianej analizy:
W 2024 roku oba pozostają nierozwiązane.
Paradoks Banacha-Tarskiego – zaskakująca konsekwencjapewnika wyboru wteorii miary Analiza korzysta z innych dyscyplin, w pewnym sensie bardziej fundamentalnych jak:
Geometria różniczkowa zatryumfowała wtopologii – na tej dziedzinie geometrii opiera sięhipoteza Thurstona , która pozwoliła udowodnićhipotezę Poincarégo wtopologii algebraicznej .
W miarę rozwiązywania kolejnych problemów stawianych przez analizę matematyczną powstawały zupełnie nowe działy matematyki, które dziś wchodzą w skład analizy:
algebry Banacha ianaliza harmoniczna ,analiza funkcjonalna ,funkcje specjalne ,funkcje zmiennej zespolonej (jednej zmiennej),funkcje zespolone wielu zmiennych ,rachunek wariacyjny ,rozmaitości różniczkowalne ,równania całkowe ,równania różniczkowe cząstkowe ,równania różniczkowe zwyczajne ,teoria dystrybucji ,teoria form różniczkowych ,teoria miary i całki ,teoria reprezentacji grup Liego ,teoria szeregów ortogonalnych ,układy dynamiczne iergodyczność .Historycznie jako dziedzinę analizy wyróżniano też „teorię funkcji” badającą funkcje rzeczywiste i zespolone, jednej lub wielu zmiennych[ 12] [ 4]
Ta sekcja od 2025-11 wymaga określenia jasnych kryteriów wyboru. Analizie matematycznej przysłużyli się między innymi:
Lwowski budynek, w którym znajdowała sięKawiarnia Szkocka – ośrodek rozwoju m.in.analizy funkcjonalnej Analizą zajmowali się też matematycy związani z Polską:
Oprócz tegoFranz Mertens – czasem zaliczany do grona uczonych polskich – badał analityczne aspektyteorii liczb . Inny polski przedstawiciel tego pogranicza dziedzin toHenryk Iwaniec , związany zawodowo z USA.
↑a b Żakowski 1972 ↓ ↑a b c analiza matematyczna Encyklopedia PWN Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-03-20] .↑ analiza matematyczna Słownik języka polskiego [online],Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-03-20] .↑a b Analiza matematyczna [w:]Encyklopedia Popularna PWN ,Państwowe Wydawnictwo Naukowe , Warszawa 1986,ISBN 83-01-01-750-3 , s. 30.↑ Archimedes Encyklopedia PWN Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-09-21] .↑ Pappus z Aleksandrii Encyklopedia PWN Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-09-21] .↑ Guldina reguły Encyklopedia PWN Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-09-21] .↑ Analiza matematyczna wMacTutor History of Mathematics archive (ang.) [dostęp 2025-09-21].↑ Stefan S. Kirschner Stefan S. ,Nicole Oresme Stanford Encyclopedia of Philosophy , CSLI,Stanford University , 3 września 2021,ISSN 1095-5054 [dostęp 2025-09-21] (ang.) .↑ Leibniz Gottfried Wilhelm Encyklopedia PWN Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-09-21] .↑ Analiza matematyczna wMacTutor History of Mathematics archive (ang.) [dostęp 2025-09-21].↑ teoria funkcji Encyklopedia PWN Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-03-20] .Polskojęzyczne Rafał Czyż ,Leszek Gasiński ,Marta Kosek , Jerzy Szczepański iHalszka Tutaj-Gasińska , materiały dydaktyczne –Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIMUW ) we współpracy zUniwersytetem Jagiellońskim (UJ), wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2025-10-12]:Analiza matematyczna 1 i 2 Otwarte zasoby edukacyjne –Politechnika Wrocławska (OZE PWr), oze.pwr.edu.pl [dostęp 2025-10-12]:Analiza matematyczna Khan Academy , kanał „KhanAcademyPoPolsku” naYouTube [dostęp 2025-10-28].Anglojęzyczne podstawowe zaawansowane powiązanenauki
działy według trudności według celu inne
działy działy powiązane
