1 Procédé et dispositif de détermination itérative d'au moins un filtre d'un banc de filtres d'un système de transmission ou de codage. 1. Domaine de l'invention Le domaine technique est celui de la modulation multiporteuse. Plus précisément, l'invention concerne la modulation OFDM/QAM suréchantillonné. On rappelle que, par rapport à l'OFDM/QAM conventionnel, un avantage de l'OFDM/QAM suréchantillonné est la possibilité d'introduire une forme d'onde optimisée avec des critères appropriés pour un canal de transmission donné. Cette forme d'onde spécifique est assurée par la modulation exponentielle d'un filtre dit prototype. 2. Art antérieur Les inventeurs ont précédemment mis en évidence le fait que, pour une longueur de filtre prototype et un rapport de suréchantillonnage donnés, il pouvait exister plusieurs familles de solutions, autrement dit d'ensembles de Givens à Reconstruction Parfaite (RP).Method and device for iteratively determining at least one filter of a filter bank of a transmission or coding system. FIELD OF THE INVENTION The technical field is that of multicarrier modulation. More specifically, the invention relates to oversampled OFDM / QAM modulation. It is recalled that, compared to the conventional OFDM / QAM, an advantage of oversampled OFDM / QAM is the possibility of introducing an optimized waveform with appropriate criteria for a given transmission channel. This specific waveform is provided by the exponential modulation of a so-called prototype filter. 2. Prior Art The inventors have previously demonstrated that, for a given prototype filter length and oversampling ratio, there could be several families of solutions, that is, perfect regeneration (RP) Givens sets.
Dans le document de brevet FR 08 58910, pour des systèmes dits de dimension minimale (c'est à-dire que la RP est réalisée avec le nombre minimum de matrices de rotations), l'existence d'une factorisation explicite des matrices polyphases de ces systèmes est mise en évidence. Toutefois cette factorisation ne s'applique que dans des cas de longueurs particulières et ne donne pas de méthodes spécifiques de calcul pour obtenir les coefficients de la structure. 2 0 Une méthode analytique a été proposée récemment dans le document de brevet FR 12 60950, mais elle ne s'applique que pour les longueurs dites les plus courtes. Une méthode dite de représentation compacte est décrite dans le document « Design techniques for orthogonal modulated filterbanks based on a compact representation » par D. Pinchon, P. Siohan, et C. Siclet (IEEE Trans. on Signal Processing, 52(6) :1682 - 1692, June 2004). Cependant, elle atteint assez vite 2 5 ses limites quand la longueur du filtre prototype devient trop élevée et/ou quand le rapport de suréchantillonnage se rapproche trop près de 1. L'état de l'art actuel en matière de design de filtres prototypes pour des systèmes OFDM suréchantillonnés à RP peut être illustré par les références qui suivent : - R. Hleiss, P. Duhamel, et M. Charbit : « Oversampled OFDM systems. In Proc. 30 International Conference on Digital Signal Processing » (Santorini, Greece, July 1997) ; - Z. Cvetkovié : « Modulating waveforms for OFDM » (In ICASSP (Phoenix, USA), volume II, pages 2463-2466, 1999) ; - C. Siclet, P. Siohan, et D. Pinchon : « Perfect reconstruction conditions and design of oversampled DFT modulated transmultiplexers » (Eurasip Journal on Applied Signal 35 Processing, 2006. Article ID 15756, 14 pages) ; 3021830 2 - D. Pinchon et P. Siohan : « Oversampled paraunitary DFT filter banks : A general construction algorithm and some specific solutions » (IEEE Trans. on signal processing, 59(7) :3058 - 3070, July 2011) ; - S. Rahimi et B. Champagne : « Oversampled perfect reconstruction DFT modulated filter 5 banks for multi-carrier transceiver systems. Signal Processing » (93(11) :2942- 2955, November 2013). Aucune de ces méthodes de l'état de l'art antérieur ne permet d'obtenir des solutions satisfaisantes (vis-à-vis d'un critère) pour : - des rapports de suréchantillonnage équivalents en terme d'efficacité spectrale des 10 systèmes OFDM dont le préfixe cyclique (CP) correspond à 1/16 au plus de la durée symbole ; - des valeurs élevées du nombre de sous-porteuses ; et/ou - un large ensemble de longueurs admissibles pour la condition RP. De plus, malgré l'usage de la technique de représentation compacte, les temps de 15 calcul sont relativement élevés. 3. Exposé de l'invention L'objet de l'invention est notamment de proposer une méthode d'optimisation du filtre prototype, pour des solutions dites de dimension minimale et ceci pour un large ensemble de longueurs admissibles de ce filtre prototype.In patent document FR 08 58910, for so-called minimal size systems (that is to say that the RP is carried out with the minimum number of rotation matrices), the existence of an explicit factorization of the polyphase matrices of these systems are highlighted. However this factorization only applies in cases of particular lengths and does not give specific methods of calculation to obtain the coefficients of the structure. An analytical method has recently been proposed in patent document FR 12 60950, but it applies only for the so-called shorter lengths. A so-called compact representation method is described in the document "Design techniques for orthogonal modulated filterbanks based on a compact representation" by D. Pinchon, P. Siohan, and C. Siclet (IEEE Trans .on Signal Processing, 52 (6): 1682 - 1692, June 2004). However, it soon reaches its limits when the length of the prototype filter becomes too high and / or when the oversampling ratio approaches too close to 1. The current state of the art in the design of prototype filters for RP oversampled OFDM systems can be illustrated by the following references: R. Hleiss, P. Duhamel, and M. Charbit: Oversampled OFDM systems. In Proc. International Conference on Digital Signal Processing "(Santorini, Greece, July 1997); - Z. Cvetkovié: "Modulating waveforms for OFDM" (In ICASSP (Phoenix, USA), Volume II, pages 2463-2466, 1999); C. Siclet, P. Siohan, and D. Pinchon: "Perfect reconstruction conditions and design of oversampled DFT modulated transmultiplexers" (Eurasip Journal on Applied Signal Processing, 2006, Article ID 15756, 14 pages); 2 - D. Pinchon and P. Siohan: "Oversampled paraunitary DFT filter banks: A general construction algorithm and some specific solutions" (IEEE Trans. On signal processing, 59 (7): 3058-3070, July 2011); - S. Rahimi and B. Champagne: "Oversampled perfect reconstruction DFT modulated filter 5 banks for multi-carrier transceiver systems. Signal Processing "(93 (11): 2942-2955, November 2013). None of these methods of the state of the prior art makes it possible to obtain satisfactory solutions (with respect to a criterion) for: oversampling ratios equivalent in terms of the spectral efficiency of the OFDM systems whose cyclic prefix (CP) is not more than 1/16 of the symbol duration; high values of the number of subcarriers; and / or - a wide set of permissible lengths for the RP condition. Moreover, despite the use of the compact representation technique, the computation times are relatively high. 3. SUMMARY OF THE INVENTION The object of the invention is notably to propose a method for optimizing the prototype filter, for so-called minimum dimension solutions and this for a wide set of acceptable lengths of this prototype filter.
Ainsi, l'invention concerne un procédé de détermination d'au moins un filtre d'un banc de filtres d'un système de transmission ou de codage, également dit transmultiplexeur ou codeur en sous-bandes, à partir d'un filtre prototype P, de longueur L, ledit banc de filtres comprenant M entrées, respectivement M sorties, et mettant en oeuvre un facteur N d'expansion, respectivement de décimation, et mettant en oeuvre une matrice polyphase de taille N x M, avec N= AN° et M= AM°, où A est un entier positif. Selon l'invention, No = Mo + 1, L = AL0 et Lo est un multiple de No, et le procédé met en oeuvre une détermination des coefficients dudit filtre prototype P comprenant les étapes suivantes : - détermination des coefficients d'un filtre prototype initial présentant une longueur Lo = No ; - au moins une itération de détermination des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur Lo = (k+1)No à partir des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur Lo = kNo déterminés à l'étape précédente. On dispose ainsi de systèmes de dimension minimale tels que No = Mo + 1, dont les coefficients du filtre prototype sont aisés à calculer.Thus, the invention relates to a method for determining at least one filter of a filter bank of a transmission or coding system, also called transmultiplexer or subband encoder, from a prototype filter P of length L, said bank of filters comprising M inputs, respectively M outputs, and implementing an expansion factor N, respectively of decimation, and implementing a polyphase matrix of size N x M, with N = AN ° and M = AM °, where A is a positive integer. According to the invention, No = Mo + 1, L = AL0 and Lo is a multiple of No, and the method implements a determination of the coefficients of said prototype filter P comprising the following steps: - determination of the coefficients of a prototype filter initial having a length Lo = No; at least one iteration for determining the coefficients of an intermediate prototype filter of length Lo = (k + 1) No from the coefficients of an intermediate prototype filter of length Lo = kNo determined in the previous step. There are thus minimal dimension systems such as No = Mo + 1, whose prototype filter coefficients are easy to calculate.
3021830 3 On rappelle que pour un système OFDM suréchantillonné comprenant M porteuses (M pouvant être de l'ordre de quelques milliers) et un facteur d'expansion/décimation égal à N, la matrice polyphase du banc de filtre de synthèse associé a une taille N x M. Une décomposition matricielle de cette matrice polyphase permet de se ramener à l'étude de 5 matrices de taille NoxMo, avec N=AN0 et M=AM0, où A est un entier positif. L'invention établit, pour les systèmes de dimension minimale tels que No = Mo + 1, un lien formel entre les solutions des systèmes de paramètres (Mo, No, kNo) et (Mo, N0, (k + 1)No). Ainsi, l'application de proche en proche de ce principe permet de limiter le nombre de variables à optimiser à chaque étape (en pratique, selon un mode de réalisation particulier, 10 une nouvelle variable angulaire seulement intervient pour passer d'une longueur Lo = kNo à Lo = (k + 1)N0). Ceci permet de couvrir un large éventail de solutions pour tous les triplets (Mo, No, Lo) où No = Mo + 1 avec Lo une longueur multiple de No. Selon un mode de réalisation particulier, chacune desdites itérations met en oeuvre une matrice de rotation.It is recalled that for an oversampled OFDM system comprising M carriers (M may be of the order of a few thousand) and an expansion / decimation factor equal to N, the polyphase matrix of the synthesis filter bank associated with a size N x M. A matrix decomposition of this polyphase matrix makes it possible to reduce to the study of 5 matrices of size NoxMo, with N = AN0 and M = AM0, where A is a positive integer. The invention establishes, for minimum dimension systems such as No = Mo + 1, a formal link between the solutions of the parameter systems (Mo, No, kNo) and (Mo, N0, (k + 1) No). Thus, the application step by step of this principle makes it possible to limit the number of variables to be optimized at each step (in practice, according to a particular embodiment, a new angular variable only intervenes to pass a length Lo = kNo at Lo = (k + 1) N0). This makes it possible to cover a wide range of solutions for all the triplets (Mo, No, Lo) where No = Mo + 1 with Lo a length multiple of No. According to a particular embodiment, each of said iterations implements a matrix of rotation.
15 Les calculs effectués sont alors très simples, même pour de grandes longueurs. Selon une mise en oeuvre particulière de l'invention, le procédé met en oeuvre une méthode de représentation compacte, dans laquelle les paramètres de rotation dudit filtre prototype P sont représentés par la fonction de lissage : x-1 e(i) = Exp, (2i+1) k k 23, , - = 0, - - - , A - 1, p = 0, - - - , d - 1 P k=0 20 où : xp,k désigne les coefficients du développement ; d est le nombre de rotations, correspondant à la dimension de la solution recherchée. La représentation compacte, développée par les inventeurs et détaillé dans l'art antérieur, permet encore de simplifier fortement les calculs.Calculations are then very simple, even for long lengths. According to one particular embodiment of the invention, the method implements a compact representation method, in which the rotation parameters of said prototype filter P are represented by the smoothing function: x-1 e (i) = Exp, (2i + 1) kk 23,, - = 0, - - -, A - 1, p = 0, - - -, d - 1 P k = 0 where: xp, k denotes the coefficients of development; d is the number of rotations, corresponding to the size of the desired solution. The compact representation, developed by the inventors and detailed in the prior art, makes it possible to greatly simplify the calculations.
25 K peut notamment être inférieur ou égal à 6, et par exemple égal à 2 quelle que soit la valeur de M. En effet, on constate que de très faibles valeurs de K sont suffisantes pour obtenir des filtres prototypes beaucoup plus efficaces que ceux de l'art antérieur. Selon un mode de réalisation particulier, le procédé comprend les étapes suivantes : 30 - détermination des angles 0") ; - détermination des matrices : Smo,L0 (e), , 1), i = 0, . , A - 1 - détermination des composantes polyphases P,(z); 3021830 4 détermination du filtre prototype P(z). Cette étape de détermination du filtre prototype P(z) peut notamment minimiser l'énergie hors-bande E de P(z). Selon une approche particulière, lorsque Mo est supérieur ou égal à 8 et pour une 5 valeur souhaitée de A strictement supérieur à 4, on détermine un filtre prototype pour une valeur A = 4 et on remplace directement la valeur 4 de A par la valeur souhaitée. On constate en effet que les variations de l'énergie hors-bande pour les valeurs de A supérieures à 4 sont indistingables des variations obtenues pour A = 4 L'invention concerne également un dispositif de détermination d'au moins un filtre 10 d'un banc de filtres d'un système de transmission ou de codage, également dit transmultiplexeur ou codeur en sous-bandes, à partir d'un filtre prototype P, de longueur L, ledit banc de filtres comprenant M entrées, respectivement M sorties, et mettant en oeuvre un facteur N d'expansion, respectivement de décimation, et mettant en oeuvre une matrice polyphase de taille N x M, avec N= AN° et M= AM0, où A est un entier positif.K can in particular be less than or equal to 6, and for example equal to 2 regardless of the value of M. Indeed, it is found that very low values of K are sufficient to obtain prototype filters much more effective than those of the prior art. According to a particular embodiment, the method comprises the following steps: - determination of the angles 0 ") - determination of the matrices: Smo, L0 (e),, 1), i = 0,., A - 1 - determination polyphase components P, (z), determination of the prototype filter P (z) This step of determining the prototype filter P (z) can in particular minimize the out-of-band energy E of P (z). In particular, when Mo is greater than or equal to 8 and for a desired value of A strictly greater than 4, a prototype filter is determined for a value A = 4 and the value 4 of A is directly replaced by the desired value. in fact that the variations of the out-of-band energy for the values of A greater than 4 are indistinguishable from the variations obtained for A = 4. The invention also relates to a device for determining at least one filter 10 of a bank of filters of a transmission or coding system, also of it transmultiplexer or encoder in subbands, from a prototype filter P, of length L, said bank of filters comprising M entries, respectively M outputs, and implementing an expansion factor N, respectively of decimation, and using a polyphase matrix of size N x M, with N = AN ° and M = AM0, where A is a positive integer.
15 Selon l'invention, No = Mo + 1, L = AL° et Lo est un multiple de No, et le dispositif comprend des moyens de détermination des coefficients dudit filtre prototype P comprenant : - des moyens de détermination des coefficients d'un filtre prototype initial présentant une longueur Lo = No ; 20 - des moyens de réalisation d'au moins une itération de détermination des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur Lo = (k+l)No à partir des coefficients d'un filtre prototype intermédiaire de longueur Lo = kNo déterminés à l'étape précédente. L'invention concerne également un programme d'ordinateur comportant des 25 instructions pour la mise en oeuvre d'un procédé de détermination d'au moins un filtre d'un banc de filtres tel que décrit ci-dessus, et par exemple selon le mode de réalisation préférentiel présenté ci-après, lorsque ce programme est exécuté par un processeur. 4. liste des figures D'autres caractéristiques et avantages de l'invention apparaîtront plus clairement à la lecture 30 de la description suivante d'un mode de réalisation de l'invention, donné à titre de simple exemple illustratif et non limitatif, et des dessins annexés, parmi lesquels : la figure 1 illustre une représentation d'un système OFDM sous la forme d'un transmultiplexeur suréchantillonné ; la figure 2 présente les variations en décibels de la meilleure énergie hors bande pour un filtre 35 prototype RP de paramètres Mo =32, No =33, Lo =mNo avec 1 < m< 128 et A=4 ; 3021830 5 la figure 3 présente les variations en décibels de la meilleure énergie hors bande pour un filtre prototype RP de paramètres Mo =8, No =9, Lo =mNo avecl<m<32 et 0=8 ; la figure 4 illustre les coefficients et la réponse fréquentielle d'un filtre prototype RP de paramètres Mo = 32, No = 33, Lo = 128N0, A = 210 d'énergie hors bande -45.97 dB ; 5 la figure 5 illustre les coefficients et la réponse fréquentielle d'un filtre prototype RP de paramètres Mo = 8, No = 9, Lo = 24No, A = 8, L = 1728 d'énergie hors bande -39.69 dB ; la figure 6 illustre les coefficients et la réponse fréquentielle d'un filtre prototype RP de paramètres Mo = 8, No = 9, Lo = 32N0, A = 8, L = 2304 d'énergie hors bande -50 dB ; la figure 7 illustre les coefficients et la réponse fréquentielle d'un filtre prototype RP de 10 paramètres Mo = 8, No = 9, Lo = 32N0, A = 212, L = 1179648 d'énergie hors bande -50 dB. 5. description d'un mode de réalisation particulier 5.1 exemples d'applications Historiquement les systèmes OFDM suréchantillonnés ont déjà été proposés pour des 15 applications de type diffusion, dans le cas de la voie de retour du système DVB-RCT, ainsi que pour de la transmission VDSL. En relation avec le projet FP7 METIS, des applications sont envisagées dans les systèmes de communication mobile 5G. Un des intérêts des solutions OFDM suréchantillonné de dimension minimale est en effet de fournir une excellente sélectivité en fréquence, ce qui assure la meilleure 20 robustesse pour une transmission dans des canaux dispersifs en temps. 5.2 rappels sur la modulation OFDM au sens large L'OFDM, au sens large, définit un système de modulation dans lequel on transmet en parallèle sur M porteuses des symboles complexes de données c,' (m E I = (0,..., M - 1} et n E Z). Les représentations usuelles pour ces symboles correspondent aux alphabets utilisés 25 pour les modulations d'amplitude comme la QAM ou encore la PSK (Phase Shift Keying) et sa variante en codage différentiel la DPSK. En bande de base, le signal OFDM générique s'écrit : M-1 M-1 +o. s(t) = E Sm(t) = E E Cm,nfm,n(t), 771=0 m=0 n=_00 fm,n(t) = f (t - nTo)eizrrnFot - f (t) une fonction de carré intégrable appelée en général fonction prototype ; - To durée symbole ; - F0 espacement entre deux porteuses successives ; - j2 = 1 avec 30 et (1) (2) 3021830 6 Ainsi définie, (f v m,n)(m,n)eixz constitue une famille de Gabor. Le but est de retrouver les symboles c,' à partir du signal s(t). Ceci est possible si et seulement si lf v ntn,(m,n)El.z constitue une famille libre. Ainsi, la densité d = 1/FoTo doit être inférieure ou égale à 1 pour pouvoir démoduler le signal. Or l'efficacité spectrale 1, qui mesure le débit binaire par unité 5 de temps et de fréquence, est liée à la densité par la relation bd, avec b le nombre de bits utilisés pour l'alphabet de la constellation (par exemple QAM ou PSK). On en déduit que l'efficacité spectrale est maximale lorsque d = 1, i.e. Fo = 1/To. Dans ce cas, le théorème de Balian-Low indique que fit) est une fonction nécessairement mal localisée dans le plan temps-fréquence, c'est pourquoi on peut être 10 amené à réduire l'efficacité spectrale en prenant d < 1. On dit alors que le système est à densité sous-critique. Pour reprendre la convention d'écriture du document de brevet WO 2006/004980, on peut représenter un système OFDM par le triplet (f, To,Fo) et on dira qu'un système OFDM est orthogonal si 15 { 1 si m = m' et n -r--- n' (frn'n' fm',n') -= 0 autrement Par le théorème de Balian-Low on sait qu'il est impossible de trouver un triplet (f, To,F0) qui vérifie simultanément les 3 conditions suivantes : 20 1. Les fonctions fm,n sont orthogonales dans le corps des complexes ; 2. La fonction f est bien localisée en temps et en fréquence ; 3. ToF0 = 1. L'OFDM à densité sous-critique introduit une perte d'efficacité spectrale proportionnelle à l/d. Deux cas sont alors envisagés et mis en oeuvre dans des schémas de 25 réalisation efficaces à base de transformée de Fourier discrète (DFT). Dans le premier cas, les symboles utiles de durée To sont prolongés à l'émission d'une durée TA qui, le plus souvent, va correspondre à la recopie d'une partie des échantillons de la sortie de la DFT inverse sous la forme dite de préfixe cyclique (CP). L'efficacité spectrale résultante du CP-OFDM est alors proportionnelle à la densité : 30 d = Tol(To +TA). Dans un deuxième cas, celui de l'OFDM suréchantillonné, on procède à un suréchantillonnage au niveau du modulateur. Ainsi pour un système à M sous- porteuses, on introduit un facteur de suréchantillonnage rationnel tel que p = MIN avec N> M. La densité d = 1/p devient inférieure à 1, mais on a introduit la possibilité d'avoir une forme d'onde f 35 bien localisée en temps et en fréquence, ce qui n'est pas le cas de la forme d'onde (3) 3021830 7 rectangulaire du CP- OFDM. L'invention concerne ce dernier cas, et propose des systèmes OFDM (f, To, F0), ou encore (f N, M) dans leur version à temps discret, ayant des efficacités spectrales comparables à celles des systèmes OFDM à préfixe cyclique (CP) de valeur réduite, c'est-à- 5 dire inférieure à 25%, ce qui correspond à des valeurs de d supérieures à 4/5. Ainsi, nous allons considérer des rapports de suréchantillonnage rationnels notés No / Mo avec No = Mo + 1, avec des valeurs élevées de Mo, c'est-à-dire des rapports présentant le plus grand intérêt du point de vue de l'efficacité spectrale. 5.3 OFDM suréchantillonné sous forme de transmultiplexeur 10 L'OFDM suréchantillonné peut se représenter sous la forme dite de transmultiplexeur (TMUX) telle que décrite dans le document « Oversampled OFDM systems » par R. Hleiss, P. Duhamel, et M. Charbit (In Proc. International Conference on Digital Signal Processing, Santorini, Greece, July 1997) et comme illustré par la figure 1. Dans ce schéma Met N désignent deux entiers vérifiant M < N, avec M le nombre d'entrées 15 et de sortie et N le facteur d'expansion/décimation. Fm(z) et Hm(z), 0 < m < M- 1 désignent des filtres à coefficients complexes, qui ne sont pas supposés causaux, ni même à support fini : Fm(z) = E fm[k]z-k , Hm(z) = E hm[k]z-k, 0 < m < M -1. (4) kEZ kEZ où fm[k] et hm[k] désignent leurs réponses temporelles respectives. Le facteur de suréchantillonnage de ce système est noté p = 14 et de manière équivalente, sa densité est alors telle que d = La partie gauche de la figure 1 représente le banc d'émission et son schéma est désigné par £(M, N, (Frn)0<m<m_1) tandis que la partie droite est le banc de réception qui est désigné par R(M, N,(H,7,)0<m<m_i). Le TMUX est dit à reconstruction parfaite (RP) si -7,.,[n] = 47,[n], n E Z, 0 < m < M - 1 pour tout signal d'entrée, c'est-à-dire si E- kNilim[nN -1] = 8m,m'Sn,k, 0 < m, m' < M - 1, n, k E Z, (5) /EZ où 6i = 1 si i = j et 0 sinon. Dans toute la suite on supposera que les coefficients des Fm(z) et Hm(z) sont liés par la relation hm[n] = fm[-n], 0 < m < M - 1, n E Z, (6) où 7 indique l'opération de conjugaison de f . La relation (6) indique que le TMUX est orthogonal.According to the invention, No = Mo + 1, L = AL ° and Lo is a multiple of No, and the device comprises means for determining the coefficients of said prototype filter P comprising: means for determining the coefficients of a initial prototype filter having a length Lo = No; Means for carrying out at least one iteration for determining the coefficients of an intermediate prototype filter of length Lo = (k + 1) No from the coefficients of an intermediate prototype filter of length Lo = kNo determined at 1 'previous step. The invention also relates to a computer program comprising instructions for carrying out a method for determining at least one filter of a filter bank as described above, and for example according to the method preferred embodiment presented below, when this program is executed by a processor. 4. List of Figures Other features and advantages of the invention will appear more clearly on reading the following description of an embodiment of the invention, given as a simple illustrative and non-limiting example, and annexed drawings, among which: FIG. 1 illustrates a representation of an OFDM system in the form of an oversampled transmultiplexer; FIG. 2 shows the decibel variations of the best out-of-band energy for a prototype RP filter of parameters Mo = 32, No = 33, Lo = mNo with 1 <m <128 and A = 4; FIG. 3 shows the decibel variations of the best out-of-band energy for a prototype RP filter with parameters Mo = 8, No = 9, Lo = mNo with l <m <32 and 0 = 8; FIG. 4 illustrates the coefficients and the frequency response of a prototype filter RP of parameters Mo = 32, No = 33, Lo = 128N0, A = 210 of out-of-band energy -45.97 dB; FIG. 5 illustrates the coefficients and the frequency response of a prototype filter RP of parameters Mo = 8, No = 9, Lo = 24No, A = 8, L = 1728 of out-of-band energy -39.69 dB; FIG. 6 illustrates the coefficients and the frequency response of a prototype filter RP with parameters Mo = 8, No = 9, Lo = 32N0, A = 8, L = 2304 out-of-band energy -50 dB; FIG. 7 illustrates the coefficients and the frequency response of a prototype filter RP of 10 parameters Mo = 8, No = 9, Lo = 32N0, A = 212, L = 1179648 of out-of-band energy -50 dB. 5. DESCRIPTION OF A PARTICULAR EMBODIMENT 5.1 EXAMPLES OF APPLICATIONS Historically oversampled OFDM systems have already been proposed for broadcast-type applications, in the case of the DVB-RCT return channel, as well as for VDSL transmission. In connection with the FP7 METIS project, applications are envisaged in 5G mobile communication systems. One of the advantages of oversampled OFDM solutions of minimal size is indeed to provide excellent frequency selectivity, which provides the best robustness for transmission in time-dispersive channels. 5.2 reminders on the OFDM modulation in the broad sense OFDM, broadly defined, defines a modulation system in which are transmitted in parallel on M carriers complex symbols of data c, '(m EI = (0, ..., M-1} and n EZ) The usual representations for these symbols correspond to the alphabets used for amplitude modulations such as QAM or PSK (Phase Shift Keying) and its variant in DPSK differential coding. base, the generic OFDM signal is written: M-1 M-1 + o, s (t) = E Sm (t) = EE Cm, nfm, n (t), 771 = 0 m = 0 n = _00 fm , n (t) = f (t - nTo) eizrrnFot - f (t) an integrable square function generally called a prototype function - To symbol duration - F0 spacing between two successive carriers - j2 = 1 with 30 and 1) (2) 3021830 6 Thus defined, (fvm, n) (m, n) eixz is a family of Gabor, the goal is to find the symbols c, 'from the signal s (t). and only if lf v ntn, (m, n) El.z constituents e a free family. Thus, the density d = 1 / FoTo must be less than or equal to 1 in order to demodulate the signal. Now the spectral efficiency 1, which measures the bit rate per unit of time and frequency, is linked to the density by the relation bd, with b the number of bits used for the constellation alphabet (for example QAM or PSK). It is deduced that the spectral efficiency is maximal when d = 1, i.e. Fo = 1 / TB. In this case, the Balian-Low theorem indicates that () is a function necessarily badly localized in the time-frequency plane, that is why we can reduce the spectral efficiency by taking d <1. while the system is subcritical density. To resume the writing convention of the patent document WO 2006/004980, an OFDM system may be represented by the triplet (f, To, Fo) and an OFDM system will be orthogonal if 15 {1 if m = m 'and n -r --- n' (frn'n 'fm', n ') - = 0 otherwise By the Balian-Low theorem we know that it is impossible to find a triplet (f, To, F0) which simultaneously checks the following 3 conditions: 1. The functions fm, n are orthogonal in the body of the complexes; 2. The function f is well localized in time and frequency; 3. ToF0 = 1. Subcritical density OFDM introduces a loss of spectral efficiency proportional to l / d. Two cases are then considered and implemented in efficient schemes based on discrete Fourier transform (DFT). In the first case, the useful symbols of duration To are extended to the emission of a duration TA which, most often, will correspond to the copying of a part of the samples of the output of the inverse DFT in the form called cyclic prefix (CP). The resulting spectral efficiency of the CP-OFDM is then proportional to the density: d = Tol (To + TA). In a second case, that of oversampled OFDM, oversampling is carried out at the level of the modulator. Thus for a subcarrier M system, a rational oversampling factor such as p = MIN with N> M is introduced. The density d = 1 / p becomes less than 1, but the possibility of having a shape is introduced. This waveform is well localized in time and in frequency, which is not the case with the rectangular waveform (3) of the CP-OFDM. The invention relates to the latter case, and proposes OFDM systems (f, To, F0), or even (f N, M) in their discrete time version, having spectral efficiencies comparable to those of OFDM systems with cyclic prefix ( CP) of reduced value, that is to say less than 25%, which corresponds to values of d greater than 4/5. Thus, we will consider rational oversampling ratios rated No / Mo with No = Mo + 1, with high Mo values, that is, reports of greatest interest from the point of view of efficiency. spectral. 5.3 oversampled OFDM in the form of a transmultiplexer The oversampled OFDM can be represented in the so-called transmultiplexer (TMUX) form as described in the document "Oversampled OFDM systems" by R. Hleiss, P. Duhamel, and M. Charbit (In Proc. International Conference on Digital Signal Processing, Santorini, Greece, July 1997) and as illustrated in FIG. 1. In this scheme, Met N denote two integers satisfying M <N, with M the number of inputs 15 and output and N the expansion / decimation factor. Fm (z) and Hm (z), 0 <m <M- 1 denote filters with complex coefficients, which are not assumed causal, or even with finite support: Fm (z) = E fm [k] zk, Hm (z) = E hm [k] zk, 0 <m <M -1. (4) kEZ kEZ where fm [k] and hm [k] denote their respective temporal responses. The oversampling factor of this system is noted p = 14 and equivalently, its density is then such that d = The left part of FIG. 1 represents the emission bank and its scheme is denoted by £ (M, N, (Frn) 0 <m <m_1) while the right part is the receiving bench which is designated by R (M, N, (H, 7,) 0 <m <m_i). TMUX is called perfect reconstruction (RP) if -7,., [N] = 47, [n], n EZ, 0 <m <M - 1 for any input signal, that is to say if E-kNilim [nN -1] = 8m, m'Sn, k, 0 <m, m '<M - 1, n, k EZ, (5) / EZ where 6i = 1 if i = j and 0 otherwise . In the following we will assume that the coefficients of Fm (z) and Hm (z) are linked by the relation hm [n] = fm [-n], 0 <m <M - 1, n EZ, (6) where 7 indicates the conjugation operation of f. Relationship (6) indicates that TMUX is orthogonal.
20 3021830 8 Dans le cas de l'OFDM suréchantillonné, le TMUX est dit à modulation exponentielle et par conséquent les filtres F,i(z) sont donnés par Fm(z) = P(4,liz), 0 < m < M - 1, (7) où wm désigne la racine Mième primitive de l'unité wm = e M et P(z) = EnEz p[n]z-n est un filtre de coefficients réels p[n], n E Z. Après quelques calculs, on aboutit ainsi à un résultat qui correspond à la condition RP également donnée dans les documents « Modulating waveforms for OFDM » par Z. Cvetkovié. (In ICASSP (Phoenix, USA), volume II, pages 2463-2466, 1999) et « Oversampled perfect 5 reconstruction DFT modulated filter banks for multi-carrier transceiver systems » par S. Rahimi et B. Champagne (Signal Processing, 93(11) :2942- 2955, November 2013) keZ p[s km]p[s kM nN] = -m8n'0, 0 < s < M -1, n E Z. (8) 10 Des équations (8), on déduit immédiatement que si le filtre prototype P(z) est RP alors il en est de même du filtre translaté zkP(z) où k E Z et du filtre symétrique P(1/z). Si ensuite nous notons A = gcd(M,N) et définissons Mo et No tels que M N = 3,No, nous obtenons la décomposition A-polyphase de type 1 de P(z) sous la forme : A-1 15 P(z) = >2 Pi(z°) z (9) i=o Nous pouvons alors reformuler le théorème de décomposition initialement démontré dans le document « Perfect reconstruction conditions and design of oversampled DFT modulated transmultiplexers » par C. Siclet, P. Siohan, et D. Pinchon (Eurasip Journal on 20 Applied Signal Processing, 2006. Article ID 15756, 14 pages) : Théorème 2.1. P(z) est RP pour les paramètres M et N si et seulement si les P,(z) sont RP pour les paramètres Mo et No pour tout i, 0 < A-1. Ce théorème permet, au lieu de systèmes de taille (m, N, M), de considérer des systèmes (m, No, Mo) de taille réduite. La prise en compte de la taille réelle du système est 25 ensuite facilitée, comme dans nos travaux antérieurs, par l'utilisation d'une représentation compacte de degré K tel que K « A. 5.4 Notations et définitions Dans notre convention de notation les matrices apparaissent en caractères gras. Les ensembles qui leur sont associés utilisent la même lettre en caractères standard.In the case of the oversampled OFDM, the TMUX is said to have exponential modulation and therefore the filters F, i (z) are given by Fm (z) = P (4, liz), 0 <m <M - 1, (7) where wm denotes the primitive root M of the unit wm = e M and P (z) = EnEz p [n] zn is a filter of real coefficients p [n], n E Z. After some calculations, one thus reaches a result which corresponds to the condition RP also given in documents "Modulating waveforms for OFDM" by Z. Cvetkovié. (In ICASSP (Phoenix, USA), volume II, pages 2463-2466, 1999) and "Oversampled perfect 5 reconstruction DFT modulated filter banks for multi-carrier transceiver systems" by S. Rahimi and B. Champagne (Signal Processing, 93 ( 11): 2942-2955, November 2013) keZ p [s km] p [s kM nN] = -m8n'0, 0 <s <M -1, n E Z. (8) 10 Equations (8), it is immediately deduced that if the prototype filter P (z) is RP then the same is true of the translated filter zkP (z) where k EZ and the symmetrical filter P (1 / z). If then we denote A = gcd (M, N) and define Mo and No such that MN = 3, No, we obtain the type 1 A-polyphase decomposition of P (z) in the form: A-1 15 P ( z) => 2 Pi (z °) z (9) i = o We can then reformulate the decomposition theorem initially demonstrated in the document "Perfect reconstruction conditions and design of oversampled DFT modulated transmultiplexers" by C. Siclet, P. Siohan and D. Pinchon (Eurasip Journal on Applied Signal Processing, 2006. Article ID 15756, 14 pages): Theorem 2.1. P (z) is RP for the parameters M and N if and only if the P, (z) are RP for the parameters Mo and No for all i, 0 <A-1. This theorem allows, instead of systems of size (m, N, M), to consider systems (m, No, Mo) of reduced size. Taking into account the real size of the system is then facilitated, as in our previous work, by the use of a compact representation of degree K such that K "A. 5.4 Notations and definitions In our notation convention the matrices appear in bold. The sets associated with them use the same letter in standard characters.
30 Définition 6.1. Soit NO > 2, MO > 0 avec MO < NO, et A(X) une matrice à NO lignes et MO colonnes dont les éléments sont des polynômes en X à coefficients réels, c'est-à-dire dans 3021830 9 R[X]. On dit que la matrice A(z) est paraunitaire si A(1/ X)T A(X) = IMo, (10) où 1M0 désigne la matrice unité de dimension Mo et (.)T l'opération de transposition. On désigne par O(No, Mo, R, l'ensemble des matrices para unitaires de dimensions 5 No x Mo. Si les éléments d'une matrice paraunitaire A(X) sont constants alors la matrice A = A(X) est constante : c'est une matrice orthogonale No x Mo, telle que AT A = 'Mo. Lorsque Mo = No, l'ensemble des matrices paraunitaires constantes est le groupe orthogonal 0(No,R) classique et l'ensemble 0(No, No, R, X) des matrices paraunitaires de dimension No est également un groupe, noté 0(No,R, X). Si A(X) E 0(No, R, X) et B(X) E 0(No, Mo, R, X), alors A(X)B(X) E 0(No, Mo, R, X). Dans toute la suite les indices de lignes et de colonne d'une matrice seront désignés en commençant par l'indice 0. Définition 6.2. . Soit r : [0, 1,..., Mo -1] [0, 1,..., No -1] une application injective.30 Definition 6.1. Let NO> 2, MO> 0 with MO <NO, and A (X) be a matrix with NO rows and MO columns whose elements are real-factor X polynomials, that is, in 3021830 9 R [ X]. We say that the matrix A (z) is paraunitary if A (1 / X) T A (X) = IMo, (10) where 1M0 denotes the unit matrix of dimension Mo and (.) T the transposition operation. We denote by O (No, Mo, R) the set of para-unit matrices of dimensions No x Mo. If the elements of a paraunitary matrix A (X) are constant then the matrix A = A (X) is constant : it is an orthogonal matrix No x Mo, such that AT A = 'Mo. When Mo = No, the set of constant paraunitary matrices is the orthogonal group 0 (No, R) classical and the set 0 (No, No, R, X) of the paraunitary matrices of dimension No is also a group, denoted by 0 (No, R, X) If A (X) E 0 (No, R, X) and B (X) E 0 (No , Mo, R, X), then A (X) B (X) E 0 (No, Mo, R, X) In the rest of the sequence, the row and column indices of a matrix will be designated starting from index 0. Definition 6.2 Let r: [0, 1, ..., Mo -1] [0, 1, ..., No -1] an injective application.
10 On désigne par E = E[r(0), r(1),..., r(Mo -1)] la matrice orthogonale, constante de dimensions No xMo, telle que Er(,),, = 1, 0 < c < Mo -1 et Er,c = 0 sinon. Une telle matrice est dite matrice para unitaire élémentaire. Par exemple, la matrice : 0 0 0 0 15 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 est notée par E[3 2 1 4], le nombre de lignes de cette matrice se déduisant directement 20 du contexte. On note alors E[r(0), r(1), . . . , r(M - 1)] l'ensemble constitué par la seule matrice para unitaire élémentaire E[r(0), 41), , r(M - 1)]. Définition 6.3. Soit No > 2 et i, j, 0 < i, j < No - 1; i # j et B E R La matrice Ri ,j (0) carrée de dimension No définie par : 25 (0)]i,i = [Rij(0)]i,1 = cos 0, (11) = - [Ri,i(0)]ij = sin 0, (12) [Ri,i (e)]r,r = 1, r 2, r j, (13) [Ri j(0)],,, = 0 sinon, (14) est appelée matrice de rotation élémentaire d'indices i, j ou matrice de Givens d'indices i, j.We denote by E = E [r (0), r (1), ..., r (Mo -1)] the orthogonal matrix, constant of dimensions No xMo, such that Er (,) ,, = 1, 0 <c <Mo -1 and Er, c = 0 otherwise. Such a matrix is called elementary unitary para matrix. For example, the matrix: 0 0 0 0 15 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 is denoted by E [3 2 1 4], the number of rows of this matrix being directly deduced from context. We then write E [r (0), r (1),. . . , r (M - 1)] the set consisting of the only elementary para unitary matrix E [r (0), 41),, r (M - 1)]. Definition 6.3. Let No> 2 and i, j, 0 <i, j <No - 1; i # j and BER The matrix Ri, j (0) square of dimension No defined by: 25 (0)] i, i = [Rij (0)] i, 1 = cos 0, (11) = - [Ri, i (0)] ij = sin 0, (12) [Ri, i (e)] r, r = 1, r 2, rj, (13) [Ri j (0)] ,,, = 0 otherwise, ( 14) is called elementary rotation matrix of indices i, j or Givens matrix of indices i, j.
30 Les matrices Rid(0) sont des matrices orthogonales. Définition 6.4. Soit n > 2, i et j deux indices avec 0 < i,j < n-1; i j, on note ou 3021830 10 Ru s'il n'y a pas de confusion possible (n <10), l'ensemble des rotations d'indices i et j : Rif = frki(0), 0 E . (15) 5 Définition 6.5. Soit No > 2 et r, 0 < r < No - 1. La matrice paraunitaire Zr carrée de dimension No, diagonale, telle que [Z,J,,, = X et 1-Z,J k,k = 1 si k # r est appelée matrice de décalage ou matrice de shift de ligne r. On note Zr l'ensemble constitué par l'unique matrice Zr. Si A et B désignent deux ensembles de matrices de dimensions No x Mo et Mo x P 10 respectivement, on note AB l'ensemble des matrices produits AB lorsque A E A et B E B. Cette définition s'étend à un produit quelconque d'ensembles de matrices pourvu que les dimensions des matrices de chaque ensemble soient compatibles. On donne maintenant la définition fondamentale suivante : Définition 6.6. Soient Mo et No deux entiers avec No > 2 et 1 < Mo < No. Un ensemble de 15 Givens de paramètres Mo,N0 est un produit de la forme T1T2 . . . TKE où E est l'ensemble constitué d'une matrice paraunitaire élémentaire et où, pour chaque k, 1< k < K, Tk est un ensemble de rotations ou bien un ensemble Z,.. Les matrices d'un ensemble de Givens sont de façon évidente des matrices paraunitaires de dimensions NoMo.Rid (0) matrices are orthogonal matrices. Definition 6.4. Let n> 2, i and j be two indices with 0 <i, j <n-1; i j, we note or 3021830 10 Ru if there is no possible confusion (n <10), the set of rotations with indices i and j: Rif = frki (0), 0 E. (15) 5 Definition 6.5. Let No> 2 and r, 0 <r <No - 1. Parity matrix Zr square of dimension No, diagonal, such that [Z, J ,,, = X and 1-Z, J k, k = 1 if k # r is called the shift matrix or row shift matrix r. We denote by Zr the set constituted by the single matrix Zr. If A and B denote two sets of matrices of dimensions No x Mo and Mo x P 10 respectively, we denote by AB the set of product matrices AB when AEA and BE B. This definition extends to any product of sets of matrices provided that the dimensions of the matrices of each set are compatible. The following basic definition is now given: Definition 6.6. Let Mo and No be two integers with No> 2 and 1 <Mo <No. A set of 15 Givens of parameters Mo, N0 is a product of the form T1T2. . . TKE where E is the set consisting of an elementary paraunitary matrix and where, for each k, 1 <k <K, Tk is a set of rotations or a set Z, .. The matrices of a set of Givens are obviously paranitary matrices of dimensions NoMo.
20 S'il y a L ensembles de rotations dans la suite {T, 1 < i < K} d'un ensemble de Givens G, soit il < i2 < < iL leurs indices dans cette suite. Si O, 1 < 1 < L sont L nombres réels donnés, on peut alors choisir la rotation d'angle 05 dans l'ensemble de rotations Tu pour 1 < 1 <L. On obtient ainsi une application de ÇG de R1 dans G C 0(No, Mo, R, X), appelée représentation paramétrique de G. D'autre part l'ensemble M(No, Mo)(d) des matrices No x Mo dont les éléments sont des polynômes en X de degré inférieur ou égal à d, d> 0 peut être identifié à R(d+1>moNo comme suit : les matrices Ek,r,c avec 0 < k < d, 0 < r < No - 1, 0 < c < Mo - 1, définies par [Ek,r,e] = Xic et 0 sinon, forment une base de cet ensemble de matrices et l'application linéaire telle que e(Ek,r,c) = en avec n = kMoN0 + mMo + c, où en, 0 < n < (cl(d) +110M:0N. 0 est la base canonique de R(d+l)m°N°, est une bijection de M(No, M0)(d) sur R+1 Dans toute la suite, on identifiera une matrice A de M(No, Mo)(d) et son image 0(A) dans R(d+1)MON0 et l'on dira également que o OG est la représentation paramétrique de G.20 If there are L sets of rotations in the sequence {T, 1 <i <K} of a set of Givens G, let it be <i2 <<iL their indices in this sequence. If O, 1 <1 <L are L real numbers given, we can then choose the rotation of angle 05 in the set of rotations Tu for 1 <1 <L. We thus obtain an application of G of R1 in GC 0 (No, Mo, R, X), called parametric representation of G. On the other hand, the set M (No, Mo) (d) of matrices No x Mo whose the elements are polynomials in X of degree less than or equal to d, d> 0 can be identified with R (d + 1> moNo as follows: matrices Ek, r, c with 0 <k <d, 0 <r < No - 1, 0 <c <Mo - 1, defined by [Ek, r, e] = Xic and 0 otherwise, form a basis of this set of matrices and the linear mapping such that e (Ek, r, c) = in with n = kMoN0 + mMo + c, where en, 0 <n <(cl (d) + 110M: 0N. 0 is the canonical basis of R (d + 1) m ° N °, is a bijection of M (No, M0) (d) on R + 1 In the following, we will identify a matrix A of M (No, Mo) (d) and its image 0 (A) in R (d + 1) MON0 and the we will also say that o OG is the parametric representation of G.
25 3021830 11 Théorème et définition 6.7. Pour un ensemble de Givens G comportant L rotations, le rang de la matrice jacobienne de sa représentation paramétrique /G atteint sa valeur maximum sauf sur un ensemble de mesure nulle dans R". Cette valeur maximum est appelée la dimension de G. Si la dimension de G est égale à L alors, pour tout point P de RL où le rang de la matrice jacobienne est exactement égal à L, il existe un voisinage V de P où le rang est encore égal à L et la restriction de OG à V est injective et c'est même un difféomorphisme de V sur OG(V). Nous dirons qu'il s'agit d'un ensemble de Givens localement injectif, mais il faudrait en toute rigueur dire localement injectif sauf sur un ensemble de mesure nulle. Définition 6.8. L'utilisation d'une représentation compacte suppose que pour chacune des A composantes polyphases le comportement des d paramètres angulaires est très régulier. Ce 5 comportement, observé initialement pour les systèmes de bancs de filtres modulés du document « Design techniques for orthogonal modulated filterbanks based on a compact representation » déjà mentionné et des solutions optimisées suivant les critères FS et TFL, se vérifie également pour les systèmes suréchantillonnés du document « Perfect reconstruction conditions and design of oversampled DFT modulated transmultiplexers » Autrement dit pour la composante polyphase 10 d'indice p et un nombre d de rotations, correspondant à la dimension de la solution, le comportement des angles peut se représenter, par exemple, de manière très précise par la fonction de lissage suivante de ce dernier document : K-1 (2i + 1 k - 1 (16) 15 k=0 où les xp,k désigne les coefficients de ce développement. Ainsi au lieu d'avoir dA paramètres à optimiser la représentation compacte implique dK variables. Ceci présente de l'intérêt dès que K < il. Comme le plus souvent une valeur de K égale à 5 ou 6 peut suffire, et que le nombre de sous-porteuses est assez souvent de plusieurs milliers nous avons, en général, K « A. 20 5.4 Théorème de base Lorsque la longueur Lo de la solution est un multiple de No, Lo = mNo et que l'ensemble Smo,m0+1,L0 des solutions a pu être explicitement calculé, la solution de dimension minimale est de dimension m et prend une forme relativement simple. Le théorème suivant établit que cette forme donne effectivement une solution, c'est-à-dire que l'on obtient bien, pour chaque valeur de Lo 25 mNo, un ensemble de matrices paraunitaires de dimension No x Mo donnant des filtres prototypes à reconstruction parfaite pour les paramètres Mo et No = Mo + 1 et de longueur Lis. Théorème 6.9. Soit Mo > 2 et No = Mo + 1. Pour tout k > 0, on définit les ensembles de matrices Tk par 3021830 12 Tk= Z moRo,m, Rk mod Mo,Mo si k > 0 et k mod Mo = 0, sinon, (17) où Zi et Rij désignent respectivement une matrice de décalage et une matrice de rotation de dimension No. On définit la solution Smo,L0 pour Lo = mNo avec m > 1 par m-1 smo,L. = il Tk E[0,1, , Mo -1]. (18) k=0 On a alors Sm,,,Lo C Smo,m0+1,L,, et S Mo,L0 est de dimension m. Conjecture 6.10. Pour Mo > 2, No = Mo +1 et Lo = mNo avec m > 1, Smo,co est la solution de dimension minimale de Smo.mo+i2,0 dans sa décomposition comme union de solutions localement injectives maximales pour l'inclusion, autrement dit aucune solution n'est incluse 5 dans l'autre. Chaque ensemble Tk dépend d'un angle et l'on note Tk (Ok) la matrice obtenue en donnant la valeur Bk à cet angle. On note alors, pour Lo = mNo, m-1 smo,L0 01, - - - , 0,1) Tk(0k) E[0, 1, ...,m0 - 1]. (19) k=0 Puisqu'une matrice de rotation d'angle nul est la matrice identité de dimension No et que Z mbE[0,1, , Mo - 1] = E[0,1, , Mo - 1], (20) on a donc : Smo,L0 (e01 911 - - em-1) = SM° ,Lo+No (°01 91, - - - Om-15 0), (21) de sorte que Sm',Lo C Smo,Lo+No - Un intérêt de ce théorème repose sur le fait que l'optimisation pour un critère donné d'un 10 filtre prototype RP de longueur AL0, avec Lo = mNo, construit à partir de à composantes A- polyphases de U-matrices : Smo ,L0(e), e), , 1), i = 0, , 0 - 1 peut se faire pour m > 1, avec comme point initial l'optimum obtenu pour m - 1 et des angles initiaux : 15 = 0, , - 1 nuls. Avec la méthode de la représentation compacte, ce ne sont pas A paramètres qui sont ajoutés à chaque étape mais seulement K où K est le degré de la représentation compacte. De plus comme l'optimisation se fait de proche en proche, il apparaît que pour des valeurs élevées de Mo, K = 2 est suffisante. 3021830 13 5.5 Procédé de calcul des coefficients d'un filtre prototype optimal Dans ce paragraphe nous faisons le bilan des résultats des paragraphes précédents en détaillant les étapes du calcul qui conduisent à la détermination des coefficients transversaux d'un filtre prototype à reconstruction parfaite, pour des paramètres donnés, optimal pour le critère de 5 meilleure énergie hors-bande. Nous choisissons ici un exemple plus simple que ceux qui sont présentés dans le paragraphe 8 où les filtres obtenus ont un très grand nombre de coefficients. Les paramètres en entrée du calcul sont Des entiers Mo >1, No = Mo +14> 2 et m > 1, Un entier K > 1 qui est le nombre de coefficients dans la représentation 10 compacte choisie. Le résultat du calcul est un filtre prototype P(z) de longueur mAN0, optimal pour le critère de meilleure énergie hors-bande. Nous faisons ici le choix suivant : Mo = 2, No= 3, m = 3, A = 8 et donc le filtre prototype optimal P(z) est de longueur 72 et ses 8 composantes Apolyphases P,(z), 0 < i <7,sont de longueur N-A1V0=9. On a alors 15 7 (22) P(z) = Epi(z8)z-i. i=o Pour 0 < i < 7 la ième composante 8-polyphase Pi(z) s'obtient à partir d'une U-matrice à 3 lignes et 2 colonnes : 20 Sie), e), 9j)) de Smo,L, = 82,9 avec Lo = InNo = 9, de la forme (cf. équation 19) Si(e), i9j)) = To(e) T1(t92)) T 2(e)) E[0 (23) où les matrices Tk sont définies en (17), et e, e), e sont trois angles. D'après la définition (17), on obtient donc 10 S i(e) , 912), 0i)) = Ro ,2(e) ) R1,2(912)) Z2 R0,2(e) 0 i. . (24) 25 0 0 La U-matrice Si , (42), On permet alors de construire Pi(z) par la formule (équation (12) du document « Oversampled paraunitary DFT filter banks : A general construction algorithm and some specific solutions » pour Mo = 2, No= 3) : Si (e), e), e)) = Z-1 Vi 4 (Z) V,1 (z) V,o(z) (Z) (25) V,2(z) V>5 (z) 3021830 14 où Vi,i(z), 0 < j < 5 sont les composantes 6-polyphases de Pi(z) : 5 Pi(z) = E vi,3(z6)z-3. (26) i=0 Le filtre prototype peut donc être construit à partir de 24 paramètres angulaires indépendants Bi;),e,e) avec 0 < i < 7. On choisit alors une méthode de représentation compacte de degré K = 2 pour obtenir les angles e), 0 <i < 7, c'est-à-dire que l'obtient ces angles à partir de 2 coefficients x0,0 et x0,1 par la formule di) = x0,0--FX01 16 (-), i 0 2i + 1 (27) qui est la formule (16) pour le choix de nos paramètres. De même les angles e), 0 < i < 7 et e), 0 <i < 7 sont calculés par les formules 6+;:i) = X1,0 +x11 (2i + 1 \ (28 ° i 5 7, ) 16 ) 2i + 1 \ B22) 16 x2,0 + X2,1 ( ( ° 5 7, 29) ) où xi,o, x1,1, x2,0, x2,1 sont 4 autres coefficients indépendants. À partir des 6 coefficients indépendants x0,0, xo,i, xi,o, xi,i, x2,0, x2,1 le calcul du filtre prototype P(z) suit donc les étapes suivantes : 1. Calcul des 24 angles e), e), e) avec 0 < i < 7 à l'aide des formules (27), (28) et (29), 2. Calcul des matrice Si(e), 012), e)), 0 < i < 7, à l'aide de la formule (24), 3. Calcul des composantes 6-polyphases Vi,i(z), 0 < i < 7, 0 < j < 5, à l'aide de légalité (25), 4. Calcul des Pi(z), 0 < i < 7, à l'aide de la formule (26), 5. Calcul de P(z) à l'aide de la formule (22). La fonction coût considérée, dépendant donc de x0,0, xo,1, x2,o, x2,1, est alors l'énergie hors-bande E de P(z) calculée par la formule (cf. formule (63) du document 5 « Oversampled paraunitary DFT filter banks : A general construction algorithm and some specific solutions » pour M= AMo= 16) : E = J() avec J(x) = IP(e32"12 dv et fc = 32. (0) 1/2 1 (30) On minimise alors la valeur de E en prenant comme variables indépendantes xo,o, x0,1, x1,0, X1,1, X2,0, X2,1. Cette optimisation peut être effectuée en trois étapes (la valeur de m): 10 1. On fixe à 0 les valeurs de xi,o, x1,1, x2,0, X2,1, et on optimise E en x0,0, x0,1 avec des valeurs initiales nulles, 3021830 15 2. On fixe à 0 les valeurs de x2,0, x2,1, et on optimise E en x0,0, x0,1, x1,0, x1,1 avec pour valeurs initiales pour x0,0, x0,1 les valeurs optimales obtenues dans la première étape et pour x1,0, x1,1 des valeurs nulles, 3. On optimise E en x0,0, xo,1, x1,0, x1,1, x2,0, x2,1 avec comme valeurs initiales pour xo,o, xo,1, 5 x1,0, x1,11es valeurs optimales obtenues à l'étape 2 et pour x2,0, x2,1 des valeurs nulles. Cette technique d'optimisation par palier est justifiée par la formule (21) et donne de meilleurs résultats qu'une optimisation directe sur les 6 variables. Pour le choix de paramètres de cet exemple, les valeurs optimales pour les variables x0,0, x0,1, xi,o, x1,1, x2,0, x2,1 sont données dans la Table 1, les valeurs correspondantes des 24 angles dans 10 la Table 2 et les 72 coefficients p[n] du filtre optimal P(z) = E7.1op[n]z-n dans la Table 3 (un entier entre parenthèses indique le produit par la puissance de 10 correspondante). Ce filtre a pour énergie hors-bande E = 3.9953710-3.Theorem and definition 6.7. For a set of Givens G with L rotations, the rank of the Jacobian matrix of its parametric representation / G reaches its maximum value except on a set of zero measure in R ".This maximum value is called the dimension of G. If the dimension of G is equal to L then, for every point P of RL where the rank of the jacobian matrix is exactly equal to L, there exists a neighborhood V of P where the rank is still equal to L and the restriction of OG to V is injective and it is even a diffeomorphism of V over OG (V) .We say that it is a set of locally injective Givens, but it would be strictly speaking locally injective except on a set of zero measure. Definition 6.8 The use of a compact representation assumes that for each of the A polyphase components the behavior of the angular parameters is very regular This behavior, observed initially for the modulated filterbank systems of the "Design" document Also mentioned for the oversampled systems of the document "Perfect reconstruction conditions and design of oversampled DFT modulated transmultiplexers" is the same for the component. polyphase 10 index p and a number of rotations, corresponding to the size of the solution, the behavior of the angles can be represented, for example, very accurately by the following smoothing function of the latter document: K-1 (2i + 1 k - 1 (16) 15 k = 0 where xp, k denotes the coefficients of this development. So instead of having dA parameters to optimize the compact representation implies dK variables. This is of interest as soon as K <il. As most often a value of K equal to 5 or 6 may suffice, and the number of subcarriers is often several thousand, we have, in general, K "A. 5.4 Basic theorem When the length Lo of the solution is a multiple of No, Lo = mNo and since the set Smo, m0 + 1, L0 of the solutions could be explicitly calculated, the solution of minimum dimension is of dimension m and takes a relatively simple form. The following theorem establishes that this form actually gives a solution, that is to say that we obtain, for each value of Lo 25 mNo, a set of paraunitary matrices of dimension No x Mo giving reconstruction prototype filters. perfect for the parameters Mo and No = Mo + 1 and length Lis. Theorem 6.9. Let Mo> 2 and No = Mo + 1. For all k> 0, sets of matrices Tk are defined by Tk = Z moRo, m, Rk mod Mo, Mo if k> 0 and k mod Mo = 0, otherwise, (17) where Z1 and Rij respectively denote an offset matrix and a rotation matrix of dimension No. We define the solution Smo, L0 for Lo = mNo with m> 1 by m-1 smo, L. = it Tk E [0,1,, Mo -1]. (18) k = 0 We have Sm ,,, Lo C Smo, m0 + 1, L ,, and S Mo, L0 is of dimension m. Conjecture 6.10. For Mo> 2, No = Mo +1 and Lo = mNo with m> 1, Smo, co is the minimum dimension solution of Smo.mo + i2,0 in its decomposition as union of locally maximum injective solutions for inclusion. that is, no solution is included in the other. Each set Tk depends on an angle and we denote Tk (Ok) the matrix obtained by giving the value Bk at this angle. We then note, for Lo = mNo, m-1 smo, L0 01, - - -, 0.1) Tk (0k) E [0, 1, ..., m0 - 1]. (19) k = 0 Since a null angle rotation matrix is the identity identity matrix No and Z mbE [0,1,, Mo - 1] = E [0,1,, Mo - 1], (20) we have: Smo, L0 (e01 911 - - em-1) = SM °, Lo + No (° 01 91, - - - Om-15 0), (21) so that Sm ', Lo C Smo, Lo + No - An interest of this theorem lies in the fact that the optimization for a given criterion of a prototypical filter RP of length AL0, with Lo = mNo, constructed from A-polyphase components of U-matrices: Smo, L0 (e), e),, 1), i = 0,, 0 - 1 can be done for m> 1, with as initial point the optimum obtained for m - 1 and initial angles : 15 = 0, - 1 draws. With the method of the compact representation, it is not A parameters that are added at each step but only K where K is the degree of the compact representation. Moreover, as the optimization is done step by step, it appears that for high values of Mo, K = 2 is sufficient. 5.5 Method for calculating the coefficients of an optimal prototype filter In this paragraph we review the results of the preceding paragraphs by detailing the calculation steps that lead to the determination of the transversal coefficients of a perfect reconstruction prototype filter, for given parameters, optimal for the criterion of best out-of-band energy. We choose here a simpler example than those presented in paragraph 8 where the filters obtained have a very large number of coefficients. The input parameters of the computation are Integers Mo> 1, No = Mo + 14> 2 and m> 1, An integer K> 1 which is the number of coefficients in the selected compact representation. The result of the calculation is a prototype filter P (z) of length mAN0, which is optimal for the criterion of best out-of-band energy. Here we make the following choice: Mo = 2, No = 3, m = 3, A = 8 and therefore the optimal prototype filter P (z) is of length 72 and its 8 components Apolyphases P, (z), 0 <i <7, are of length N-A1V0 = 9. We then have 7 (22) P (z) = Epi (z8) z-i. i = o For 0 <i <7 the eighth 8-polyphase component Pi (z) is obtained from a U-matrix with 3 rows and 2 columns: 20 Sie), e), 9j)) of Smo, L = 82.9 with Lo = InNo = 9, of the form (see equation 19) If (e), i9j)) = To (e) T1 (t92)) T 2 (e)) E [0 ( 23) where the matrices Tk are defined in (17), and e, e), e are three angles. According to the definition (17), we obtain 10 S i (e), 912), 0i)) = Ro, 2 (e)) R1,2 (912)) Z2 R0,2 (e) 0 i. . (24) 25 0 0 The U-matrix Si, (42), We then make it possible to construct Pi (z) by the formula (equation (12) of the document "Oversampled paraunitary DFT filter banks: A general construction algorithm and some specific solutions For Mo = 2, No = 3): If (e), e), e)) = Z-1 Vi 4 (Z) V, 1 (z) V, o (z) (Z) (25) V , 2 (z) V> 5 (z) 3021830 14 where Vi, i (z), 0 <j <5 are the 6-polyphase components of Pi (z): 5 Pi (z) = E vi, 3 (z6 ) z-3. (26) i = 0 The prototype filter can therefore be constructed from 24 independent angular parameters Bi;), e, e) with 0 <i <7. We then choose a compact representation method of degree K = 2 to obtain the angles e), 0 <i <7, that is to say that the angles are obtained from 2 coefficients x0,0 and x0,1 by the formula di) = x0,0 - FX01 16 ( -), i 0 2i + 1 (27) which is the formula (16) for the choice of our parameters. Similarly the angles e), 0 <i <7 and e), 0 <i <7 are calculated by the formulas 6 + ;: i) = X1,0 + x11 (2i + 1 \ (28 ° i 5 7, 16) 2i + 1 \ B22) 16 x2.0 + X2.1 ((° 7, 29)) where xi, o, x1,1, x2,0, x2,1 are 4 other independent coefficients. From the 6 independent coefficients x0,0, xo, i, xi, o, xi, i, x2,0, x2,1 the calculation of the prototype filter P (z) follows the following steps: 1. Calculation of the 24 angles e), e), e) with 0 <i <7 using formulas (27), (28) and (29), 2. Calculation of the matrix Si (e), 012), e)), 0 <i <7, using formula (24), 3. Calculation of 6-polyphase components Vi, i (z), 0 <i <7, 0 <j <5, using legality ( 25), 4. Calculation of Pi (z), 0 <i <7, using formula (26), 5. Calculation of P (z) using formula (22). The cost function considered, thus dependent on x0.0, xo, 1, x2, o, x2,1, is then the out-of-band energy E of P (z) calculated by the formula (see formula (63) of document 5 "Oversampled paraunitary DFT filter banks: A general construction algorithm and some specific solutions" for M = AMo = 16): E = J () with J (x) = IP (e32 "12 dv and fc = 32. ) 1/2 1 (30) The value of E is then minimized by taking as independent variables xo, o, x0,1, x1,0, X1,1, X2,0, X2,1. three steps (the value of m): 1. We set the values of xi, o, x1,1, x2,0, X2,1 to 0, and we optimize E to x0,0, x0,1 with values zero initials, 3021830 15 2. We set the values of x2,0, x2,1 to 0, and we optimize E to x0,0, x0,1, x1,0, x1,1 with initial values for x0,0 , x0,1 the optimal values obtained in the first step and for x1,0, x1,1 of the null values, 3. One optimizes E in x0,0, xo, 1, x1,0, x1,1, x2,0 , x2,1 with as initial values for x o, o, xo, 1, 5 x1,0, x1,11e optimal values obtained in step 2 and for x2,0, x2,1 zero values. This stepwise optimization technique is justified by the formula (21) and gives better results than a direct optimization on the 6 variables. For the choice of parameters of this example, the optimal values for the variables x0.0, x0.1, xi, o, x1,1, x2,0, x2,1 are given in Table 1, the corresponding values of the 24 angles in Table 2 and the 72 coefficients p [n] of the optimal filter P (z) = E7.1op [n] zn in Table 3 (an integer in parentheses indicates the product by the corresponding power of 10). This filter has for energy out-band E = 3.9953710-3.
15 X0,0 5.2942113351975051 10-1 -4.8131737656857138 10-1 X1,0 -1.1292503264161118 X1,1 5.8324678041662081 10-1 X2,0 1.5210025499141939 X2,1 -3.8308150084159459 10-1 TAB. 1 - Valeurs optimales des 6 coefficients de la représentation compacte du filtre P(z) 2 00i) Oii) e) 0 4.9933879748421478 10-1 -1.0927974026400731 1.4970599561115943 1 4.3917412541314338 10-1 -1.0198915550879954 1.4491747685063949 2 3.7900945334207192 10-1 -9.4698570753591782 10-1 1.4012895809011956 3 3.1884478127100052 10-1 -8.7407985998384019 10-1 1.3534043932959963 4 2.5868010919992912 10-1 -8.0117401243176256 10-1 1.3055192056907969 5 1.9851543712885766 10-1 -7.2826816487968493 10-1 1.2576340180855976 6 1.3835076505778626 10-1 -6.5536231732760730 10-1 1.2097488304803983 7 7.8186092986714861 10-2 -5.8245646977552978 10-1 1.1618636428751989 TAB. 2 - Valeurs des 24 angles dans la construction du filtre P(z) 3021830 16 n pEnj n PEni n p[nj n P[n] 0 6.4674469567982923(-2) 18 9.1571680317008597(-1) 36 1.8371223777399870(-1) 54 -1.0228929931049167(-1) 1 1.0980887296533369(-1) 19 9.2724775803928972(-1) 37 1.3126141712546199(-1) 55 -5.9849481449001395(-2) 2 1.5672408543281832(-1) 20 9.3291218029679679(-1) 38 8.4048666538813557(-2) 56 0.0000000000000000(00) 3 2.0481282791265634(-1) 21 9.3267974253197039(-1) 39 4.2964568102871005(-2) 57 0.0000000000000000(00) 4 2.5345368140275126(-1) 22 9.2658814335941364(-1) 40 -6.5412479099699730(-2) 58 0.0000000000000000(00) 5 3.0201834395484950(-1) 23 9.1474266244869706(-1) 41 -1.0337251725099968(-1) 59 0.0000000000000000(00) 6 3.4987896801824175(-1) 24 8.8550446873658906(-1) 42 -1.3692368371223868(-1) 60 0.0000000000000000(00) 7 3.9641549254911562(-1) 25 8.4575733712845325(-1) 43 -1.6541932405760446(-1) 61 0.0000000000000000(00) 8 4.6000330805936873(-1) 26 8.0002583891925316(-1) 44 -1.8828837241260785(-1) 62 0.0000000000000000(00) 9 5.2345835495345705(-1) 27 7.4890180918843763(-1) 45 -2.0504377098492813(-1) 63 0.0000000000000000(00) 10 5.8413231540483701(-1) 28 6.9305174444419981(-1) 46 -2.1528966410682840(-1) 64 1.6227223175390194(-2) 11 6.4170283420179020(-1) 29 6.3320713909548720(-1) 47 -2.1872726189194680(-1) 65 2.7002669456344185(-2) 12 6.9586404443473193(-1) 30 5.7015387715107613(-1) 48 -2.1967182462375012(-1) 66 3.6460170021796391(-2) 13 7.4632819253917293(-1) 31 5.0472083370546672(-1) 49 -2.2092628120204374(-1) 67 4.3385730385990785(-2) 14 7.9282716710413281(-1) 32 4.2517486685425165(-1) 50 -2.1303164885724613(-1) 68 4.6668859407336789( -2) 15 8.3511392332358481(-1) 33 3.6228547201657180(-1) 51 -1.9641992955862647(-1) 69 4.5343542621315638( -2) 16 8.7551385613024868(-1) 34 3.0031395243036801(-1) 52 -1.7177871373065259(-1) 70 3.8624360497759740(-2) 17 8.9841732079267023(-1) 35 2.4041670159244327(-1) 53 -1.4002793043543879(-1) 71 2.5936542200736885(-2) TAB. 3 - Les 72 coefficients du filtre P(z) 5.6 Exemples de résultats Dans ce paragraphe, le procédé est mis en oeuvre pour obtenir des filtres prototypes d'énergie hors-bande minimale avec un rapport de suréchantillonnage atteignant 33/32 et un 5 nombre de sous-bandes M= MoA = 215 égal à celui du système OFDM de la norme DVB-NGH . Supposons tout d'abord que nous voulons déterminer un filtre prototype satisfaisant un critère de type TFL ou FS pour un transmultiplexeur suréchantillonné dans un rapport 5/4 et comprenant 2048 porteuses. Autrement dit, nous avons ici A = 512. La méthode de représentation compacte nous permet de calculer des solutions de 10 longueur L = AL0 avec Lo = mNoMo. Ainsi, dans le document « Oversampled paraunitary DFT filter banks : A general construction algorithm and some specific solutions », il est déterminé de manière exhaustive toutes les solutions de dimension minimale pour m allant de 1 à 3, autrement dit telles que {L0} = {20, 40, 60} . Le nombre de variables à optimiser simultanément est alors égal à Kd-K',M0=4mK avec K de l'ordre de 5 à 6.X1.0 5.2942113351975051 10-1 -4.8131737656857138 10-1 X1.0 -1.1292503264161118 X1.1 5.8324678041662081 10-1 X2.0 1.5210025499141939 X2.1 -3.8308150084159459 10-1 TAB. 1 - Optimum values of the 6 coefficients of the compact representation of the filter P (z) 2 00i) Oii) e) 0 4.9933879748421478 10-1 -1.0927974026400731 1.4970599561115943 1 4.3917412541314338 10-1 -1.0198915550879954 1.4491747685063949 2 3.7900945334207192 10-1 -9.4698570753591782 10-1 1.4012895809011956 3 3.1884478127100052 10-1 -8.7407985998384019 10-1 1.3534043932959963 4 2.5868010919992912 10-1 -8.0117401243176256 10-1 1.3055192056907969 5 1.9851543712885766 10-1 -7.2826816487968493 10-1 1.2576340180855976 6 1.3835076505778626 10-1 -6.5536231732760730 10-1 1.2097488304803983 7 7.8186092986714861 10-2 -5.8245646977552978 10-1 1.1618636428751989 TAB. 2 - Values of the 24 angles in the construction of the filter P (z) 3021830 16 n pEnj n PEni np [nj n P [n] 0 6.4674469567982923 (-2) 18 9.1571680317008597 (-1) 36 1.8371223777399870 (-1) 54 -1.0228929931049167 (-1) 1 1.0980887296533369 (-1) 19 9.2724775803928972 (-1) 37 1.3126141712546199 (-1) 55 -5.9849481449001395 (-2) 2 1.5672408543281832 (-1) 20 9.3291218029679679 (-1) 38 8.4048666538813557 (-2) 56 0.0000000000000000 (-1) 00) 3 2.0481282791265634 (-1) 21 9.3267974253197039 (-1) 39 4.2964568102871005 (-2) 57 0.0000000000000000 (00) 4 2.5345368140275126 (-1) 22 9.2658814335941364 (-1) 40 -6.5412479099699730 (-2) 58 0.0000000000000000 (00) 5 3.0201834395484950 (-1) 23 9.1474266244869706 (-1) 41 -1.0337251725099968 (-1) 59 0.0000000000000000 (00) 6 3.4987896801824175 (-1) 24 8.8550446873658906 (-1) 42 -1.3692368371223868 (-1) 60 0.0000000000000000 (00) 7 3.9641549254911562 (1) -1) 25 8.4575733712845325 (-1) 43 -1.6541932405760446 (-1) 61 0.0000000000000000 (00) 8 4.6000330805936873 (-1) 26 8.0002583891925316 (-1) 44 -1.882883724126 0785 (-1) 62 0.0000000000000000 (00) 9 5.2345835495345705 (-1) 27 7.4890180918843763 (-1) 45 -2.0504377098492813 (-1) 63 0.0000000000000000 (00) 10 5.8413231540483701 (-1) 28 6.9305174444419981 (-1) 46 -2.1528966410682840 (-1) -1) 64 1.6227223175390194 (-2) 11 6.4170283420179020 (-1) 29 6.3320713909548720 (-1) 47 -2.1872726189194680 (-1) 65 2.7002669456344185 (-2) 12 6.9586404443473193 (-1) 5.7015387715107613 (-1) 48 -2.1967182462375012 (-1) -1) 66 3.6460170021796391 (-2) 13 7.4632819253917293 (-1) 31 5.0472083370546672 (-1) 49 -2.2092628120204374 (-1) 67 4.3385730385990785 (-2) 14 7.9282716710413281 (-1) 32 4.2517486685425165 (-1) 50 -2.1303164885724613 (-1) -1) 68 4.6668859407336789 (-2) 15 8.3511392332358481 (-1) 33 3.6228547201657180 (-1) 51 -1.9641992955862647 (-1) 69 4.5343542621315638 (-2) 16 8.7551385613024868 (-1) 34 3.0031395243036801 (-1) 52 -1.7177871373065259 (-1) -1) 70 3.8624360497759740 (-2) 17 8.9841732079267023 (-1) 2.4041670159244327 (-1) 53 -1.4002793043543879 (-1) 71 2.5936542200736885 (-2) TAB. 3 - The 72 coefficients of the filter P (z) 5.6 Examples of results In this paragraph, the method is implemented to obtain prototypes filters of minimum out-of-band energy with an oversampling ratio of up to 33/32 and a number of of M = MoA = 215 sub-bands equal to that of the OFDM system of the DVB-NGH standard. Suppose first of all that we want to determine a prototype filter satisfying a TFL or FS type criterion for an oversampled transmultiplexer in a 5/4 ratio and comprising 2048 carriers. In other words, here we have A = 512. The compact representation method allows us to calculate solutions of length L = AL0 with Lo = mNoMo. Thus, in the document "Oversampled paraunitary DFT filter banks: A general construction algorithm and some specific solutions", it is exhaustively determined all solutions of minimum dimension for m ranging from 1 to 3, in other words such that {L0} = {20, 40, 60}. The number of variables to be optimized simultaneously is then equal to Kd-K ', M0 = 4mK with K of the order of 5 to 6.
15 Notre nouveau procédé nous permet de traiter toutes les longueurs Lo multiples de No donc l'ensemble de longueurs {Lo} = {5, 10, 15, 20,...}. A chaque étape de l'algorithme l'optimisation de K paramètres est suffisante. Un premier avantage est donc de pouvoir traiter un ensemble de longueurs bien plus important et une réduction significative du temps de calcul pour l'optimisation d'un filtre prototype de longueur donnée.Our new process allows us to process all Lo lengths of No, hence the set of lengths {Lo} = {5, 10, 15, 20, ...}. At each stage of the algorithm the optimization of K parameters is sufficient. A first advantage is therefore to be able to process a much larger set of lengths and a significant reduction in the calculation time for the optimization of a prototype filter of given length.
20 On notera également que si la méthode de calcul décrite dans le document « Oversampled paraunitary DFT filter banks : A general construction algorithm and some specific solutions », Théorème VI.4], permet aussi une approche pas à pas, elle impose, à chaque pas, l'optimisation de MoK variables au lieu de K dans le procédé proposé à présent. Ainsi ce nouveau procédé permet d'atteindre un facteur de suréchantillonnage encore 25 plus proche de 1 et ceci pour des nombres de porteuses bien plus élevés que dans l'art antérieur. A titre d'exemple pour Mo = 32, No = 33, L0 = 128N0 et A = 210, on obtient des filtres de longueur 3021830 17 L = 4325376 = 33 x 217. La représentation angulaire correspond à A composantes polyphases décrites chacune par un élément de S32,10 avec Lo = 128N0 dépendant de 128 angles, soit un total de 128A = 216 angles. On notera tout d'abord que la méthode du document « Oversampled paraunitary DFT 5 filter banks : A general construction algorithm and some specific solutions » qui impose ici des longueurs multiples de 276 ne permet pas de traiter ce cas. Supposons toutefois que cela soit possible, de plus avec une représentation compacte de faible degré K = 2. L'optimisation porte alors sur 2 x 128 = 256 paramètres indépendants. C'est un nombre encore trop important de paramètres pour qu'un logiciel d'optimisation globale donne un résultat satisfaisant.It will also be noted that if the calculation method described in the document "Oversampled paraunitary DFT filter banks: A general construction algorithm and some specific solutions", Theorem VI.4], also allows a step-by-step approach, it imposes, at each not, the optimization of MoK variables instead of K in the process proposed now. Thus this new method makes it possible to achieve an oversampling factor even closer to 1 and this for much higher carrier numbers than in the prior art. By way of example for Mo = 32, No = 33, L0 = 128N0 and A = 210, filters of length L = 4325376 = 33 x 217 are obtained. The angular representation corresponds to A polyphase components each described by a element of S32,10 with Lo = 128N0 depending on 128 angles, a total of 128A = 216 angles. It will be noted first of all that the method of the document "Oversampled paraunitary DFT 5 filter banks: A general construction algorithm and some specific solutions" which imposes here lengths multiple of 276 does not make it possible to treat this case. Suppose, however, that this is possible, moreover with a compact representation of low degree K = 2. The optimization then bears on 2 x 128 = 256 independent parameters. It is too important a number of parameters for a global optimization software to give a satisfactory result.
10 Par contre, en utilisant la relation (21), l'optimisation peut être conduite en augmentant m de 1 à 128 et en prenant comme point initial pour une valeur de m > 1 le filtre optimal obtenu pour m - 1. À chaque étape, ce sont seulement K paramètres qui sont ajoutés, avec K = 2 si la valeur de Mo est un peu élevée. La figure 2 montre la variation, pour m allant de 1 à 128, de l'énergie hors bande 15 minimale (critère FS), exprimée en décibels, d'un filtre prototype RP de paramètres Mo = 32, No = 33, Lo = mNo avec A = 4. Des courbes analogues à celles de la figure 2 sont obtenues pour 1 < Mo < 16, No = Mo +1 et Lo = mNo, 1 < k < 4M0. On remarque alors que : 1. Pour Mo > 8, les courbes de meilleures énergies hors-bande sont indistingables lorsque 20 l'on fait croître le degré de la représentation compacte de 2 à 4. 2. Pour A > 4, les courbes sont indistingables des courbes obtenues pour A = 4. Pour obtenir un filtre prototype optimisé pour A = 210, il suffit donc de considérer le filtre prototype optimisé pour A = 4 et un degré égal à 2 pour la représentation compacte, et de remplacer la valeur 4 de A par celle qui est souhaitée.On the other hand, using the relation (21), the optimization can be carried out by increasing m from 1 to 128 and taking as an initial point for a value of m> 1 the optimal filter obtained for m - 1. At each step , only K parameters are added, with K = 2 if the value of Mo is a bit high. FIG. 2 shows the variation, for m ranging from 1 to 128, of the minimum out-of-band energy (criterion FS), expressed in decibels, of a prototype filter RP with parameters Mo = 32, No = 33, Lo = mNo with A = 4. Curves similar to those of Figure 2 are obtained for 1 <Mo <16, No = Mo +1 and Lo = mNo, 1 <k <4M0. We note then that: 1. For Mo> 8, the best out-of-band energy curves are indistinguishable when the degree of the compact representation is increased from 2 to 4. 2. For A> 4, the curves are indistinguishable curves obtained for A = 4. To obtain an optimized prototype filter for A = 210, it is sufficient to consider the prototype filter optimized for A = 4 and a degree equal to 2 for the compact representation, and to replace the value 4 from A by the one that is desired.
25 C'est de cette manière qu'a été obtenu le filtre prototype de la figure 4 dont l'énergie hors bande est égale à 2.521410-5, c'et-à-dire -45.97 dB. Seuls les premiers 106 coefficients du filtre sont représentés dans la partie gauche de la figure. La même méthode peut être utilisée avec des valeurs différentes des paramètres Mo. Par exemple pour Mo = 8, No = 9, Lo = mNo avec 1 < m < 32 et A = 8, on obtient la courbe 30 de meilleure énergie hors bande représentée dans la figure 3. Avec m = 24, on obtient un filtre de longueur L = mN0A = 24 x 9 x 8 = 1728 dont l'énergie hors-bande est égale à 1.0736 x 10-4, c'est-à-dire -39.69 dB, et qui est représenté dans la Figure 5. Il correspond au carré 31 dans la figure 3. Le nombre d'angles d'une représentation angulaire de ce filtre est égal à Am = 192 tandis que l'optimisation a été conduite avec les 2m = 35 48 paramètres d'une représentation compacte de degré 2.This is how the prototype filter of FIG. 4 was obtained, whose out-of-band energy is equal to 2.521410-5, that is to say -45.97 dB. Only the first 106 coefficients of the filter are represented in the left part of the figure. The same method can be used with different values of the Mo parameters. For example for Mo = 8, No = 9, Lo = mNo with 1 <m <32 and A = 8, the curve of the best out-of-band energy represented is obtained. in Figure 3. With m = 24, we obtain a filter of length L = mN0A = 24 x 9 x 8 = 1728 whose out-of-band energy is equal to 1.0736 x 10-4, that is to say -39.69 dB, which is shown in Figure 5. It corresponds to the square 31 in Figure 3. The number of angles of an angular representation of this filter is equal to Am = 192 while the optimization was conducted with the 2m = 35 48 parameters of a compact representation of degree 2.
3021830 18 Ces éléments sont à comparer avec les résultats de l'exemple traité par S. Rahimi et B. Champagne dans « Perfect reconstruction DFT modulated oversampled filter bank transceivers » (In Proc. 19th European Processing Conference (EUSIP- CO'2011), Barcelona, pages 15881592, 2011) et « Oversampled perfect reconstruction DFT modulated filter banks for multi-carrier 5 transceiver systems » (Signal Processing, 93(11) :2942- 2955, November 2013) pour un filtre prototype RP avec des paramètres identiques. Suivant la représentation paramétrique qu'ils ont choisie, le nombre de paramètres permettant de décrire une matrice paraunitaire d'où l'on déduit le filtre est de 576 ou 448. Ce filtre est signalé par un carré 32 dans la figure 3. Toujours avec Mo = 8, No = 9, Lo = mNo et A = 8, on peut choisir la valeur plus élevée m = 10 32 pour obtenir un filtre prototype de longueur L = 2304 correspondant au carré 31 dans la Figure 3 et dont les caractéristiques sont représentées dans la figure 6. Son énergie hors-bande est égale à 9.996 x 10-6, soit -50 dB. En gardant la même représentation compacte du filtre de la figure 6, mais en augmentant la valeur de à à A = 212, on obtient un filtre prototype à 215 sous-bandes, de longueur L = 9.217 =- 15 1179648, d'énergie hors bande 1.0017 x 10-5, c'est-à-dire -50 dB. Les caractéristiques de ce filtre sont représentées dans la figure 7. 5.6 synthèse L'invention propose un nouveau procédé de construction de systèmes de modulation OFDM suréchantilllonné. Nous avons considéré la famille de systèmes à reconstruction parfaite 20 (RP) de dimension minimale, c'est-à-dire réalisable avec un minimum de circuits de rotation. Cette famille de modulateurs permet d'atteindre de très bonnes performances, voire les meilleures, en termes de sélectivité fréquentielle du filtre prototype. Cette nouvelle approche permet de traiter un plus large ensemble de longueurs possibles (telles que Lo = mNo, au lieu de Lo = mNoMo auparavant) et notre méthode de synthèse, pas-à-pas, 25 permet en plus d'optimiser un plus grand nombre de paramètres angulaires. Par rapport à des antériorités récentes, nous avons montré que, pour un système OFDM suréchantillonné donné, nous pouvions réduire à son minimum le nombre de paramètres est optimiser pour le design du filtre prototype et, en plus, améliorer significativement, avec plus de 10 dB de gain, sa sélectivité fréquentielle.These elements are to be compared with the results of the example treated by S. Rahimi and B. Champagne in "Perfect reconstruction DFT modulated oversampled filter bank transceivers" (In Proc., 19th European Processing Conference (EUSIP-CO'2011), Barcelona, pages 15881592, 2011) and "Oversampled perfect reconstruction DFT modulated filter banks for multi-carrier 5 transceiver systems" (Signal Processing, 93 (11): 2942-2955, November 2013) for a prototype RP filter with identical parameters. According to the parametric representation they have chosen, the number of parameters making it possible to describe a paraunitary matrix from which the filter is deduced is 576 or 448. This filter is indicated by a square 32 in FIG. Mo = 8, No = 9, Lo = mNo and A = 8, we can choose the higher value m = 10 32 to obtain a prototype filter of length L = 2304 corresponding to the square 31 in Figure 3 and whose characteristics are shown in Figure 6. Its out-of-band energy is 9.996 x 10-6, or -50 dB. By keeping the same compact representation of the filter of FIG. 6, but increasing the value from to to A = 212, a prototype filter with 215 subbands, length L = 9.217 = - 1179648, of energy out is obtained. band 1.0017 x 10-5, that is -50 dB. The characteristics of this filter are shown in FIG. 7. 5.6 synthesis The invention proposes a new method of construction of oversampled OFDM modulation systems. We have considered the family of perfect reconstruction systems (RP) of minimum size, that is to say achievable with a minimum of rotation circuits. This family of modulators makes it possible to achieve very good performances, even the best, in terms of frequency selectivity of the prototype filter. This new approach makes it possible to process a larger set of possible lengths (such as Lo = mNo, instead of Lo = mNoMo before) and our synthesis method, step-by-step, 25 also makes it possible to optimize a larger size. number of angular parameters. Compared to recent anteriorities, we have shown that, for a given oversampled OFDM system, we can minimize the number of parameters to optimize for the design of the prototype filter and, in addition, significantly improve, with more than 10 dB gain, its frequency selectivity.
30 Au final, nous pouvons ainsi générer à présent des solutions d'OFDM suréchantillonné satisfaisant dans le cas de DVB-NGH, les contraintes les plus sévères à l'heure actuelle en termes de nombre de porteuses (215) et d'efficacité spectrale (32/33, c'est-à-dire l'équivalent d'un préfixe cyclique de CP-OFDM égal à 1/32).Ultimately, we can now generate oversampled OFDM solutions satisfying in the case of DVB-NGH, the most severe constraints at present in terms of number of carriers (215) and spectral efficiency ( 32/33, that is the equivalent of a CP-OFDM cyclic prefix equal to 1/32).
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