Engeometria euclidiana, untriangle es unefigura plana, formada de trespunts nomenatvertèxes, pels tressegments que los ligan, nomenatcostats, terminant un domeni del plan nomenatinterior.Quand los vertèxes son distinctes dos a dos, dins cada vertèx los costats delimitant unangle interior, que lo nom de « triangle ».
Lo triangle es tanben lopoligòn mai simple que délimita una partida del plan e servís atal d'element fondamental pel decopatge e l'aproximacion desuperfícias.
Fòrça construccions geometricas de punts,drechas ecercles associats a un triangle son ligadas per de propriatats qu'èran plan sovent ja enonciats dins losElements d'Euclides, prèp de 300 ans abans Crist. Las relacions entre las mesures dels angles e las longors dels costats son sobretot a l'origina de tecnicas de calcul dedistàncias pertriangulacion. Lo desvolopament d'aquelas tecnicas constituís encara una branca de las matematicas nomenadatrigonometria.
Fòra de la geometria euclidiana, los costats d'un triangle son remplaçat per d'arcs geodesics e fòrça de las siás proprietats son modificada.
La forma triangulara se torna trobar dins fòrça objèctes, matematics o non, e se carguèt de simbolicas divèrsas. fòrça caractèrs tipografics presentan una forma meteissa.
Un triangle es completament determinat per la donada de sos tres vertèxes e se nota en general ne juxtapausant las tres letras (a prioricapitalas) que los designan. L'òrdre d'aquelas letras a pas d'importéncia pasmens se l'òrdre d'enonciacion correspond en general a un parcors dins losens trigonometric a l'entorn del triangle. La longor d'un costat es classicament notada amb la letra minuscula correspondent al vertèx oposat.
Se totes los vertèxes son distinctes[1], cada angle geometric pòt èsser identificat per la letra del vertèx correspondent, amb un accent circonflèx. Dins lo cas que la figura comprend d'autres segments passant pels vertèxes, los costats de l'angle son precizats per las letras designant los dos autres vertèxes de cada costat de l'accent circonflèx. Aqueles angles pòdon tanben èsser notats amb una letra grèga en minuscula.
Lo postulateuclidian segon que«la linha drecha es lo camin mai cort d'un punt cap a l'autre» s'illustra pel fach que dins un triangle, la longor de cada costat es inferiora a la soma de las longors dels dos autres costats:
Lo cas d'egalitat caracteriza los triangles plans, ont un dels vertèxes aparten al segment que liga los dos autres.
Recipròcament, donadas tres longors (donadas per tresnombres realspositius) que cap es superiora a la soma dels dos autres, es possible de construire un triangle avent aquelas longors de costat. La verificacion d'aquelas inegalitats se pòt far sonque comparant la mai granda de las tres longors amb la soma de las doas autras, perque las doas autras inegalitats son necessàriament vertadièras.
Sufís alara de construire d'en primièr un segment d'una de las tres longors volgudas, puèi de traçar dos cercles centrats sus las extremitats d'aquel segment amb per rai cada de las doas autres longors. Ambedós cercles an alara dos punts d'interseccion e quin que siá d'aquel dos punts definís lo triangle de dimensions volguda amb lo vertèx inicial.
La soma dels angles d'un triangle es egala a unangle plan, d'una autra mena la soma de lors mesuras val 180° (gra) es a direπradians. Aquela proprietat es una caracteristica de lageometria euclidiana. Existís d'autras geometrias, dichasgeometrias non euclidianas, ont la soma dels angles d'un triangle es totjorn superiora a 180° (se diche alara degeometria elliptica) o al contrari inferiora (la geometria es alara dichageometria iperbolica).
Recipròcament, essent donadas tres mesuras (non nullas) d'angles geometrics que la soma val un angle plan, existís un triangle avent aquelas mesuras d'angles. Sufís de traçar un segment d'una longor quina que siá e de traçar una miègdrecha en cada extremitat masdel meteis costat del segment, de biais que forme dos dels angles volguts amb lo segment inicial. Ambedoas miègdrechas aurán un punt d'interseccion que l'angle interior será lo tresen angle volgut.
Un triangle qu'al mens dos vertèxes son confonduts es dichdegenerat oen agulha.
Un triangle plan es un triangle que los vertèxes son alinhats.
Un triangle isocèl es un triangle avent al mens dos costats de meteissa longor. Ambedós angles adjacents al tresen costat son alara de meteissa mesura. Recipròcament, tot triangle avent dos angles de meteissa mesura es isocèl. Los triangles isocèls son los sols a aver unaxe de simetria levat los triangles plans.
Untriangle equilateral es un triangle que los tres costats an la meteissa longor. Aqueles tres angles an alara la meteissa mesura que val doncas 60° e admet tres axes de simetria.
Un triangle qu'es ni isocèl (exclusissent tanben lo cas equilateral) ni plan se sonascalèn (delgrècσκαληνός (skalenos) : garrèl, inegal, desequilibrat, de biais...) S'agís donca d'un triangle avent tres costats de longors diferentas, tres angles de mesuras diferentas e ges d'axe de simetria.
Triangle isocèl.
Triangle equilateral.
Triangle scalèn.
Untriangle rectangle es un triangle avent unangle drech, es a dire que mesura 90°. Satisfacha alara loTeorèma de Pitagòras.Coma la soma dels angles d'un triangle val 180°, sonque pòt aver pas qu'unangle obtús (superior a l'angle drech). S'i a un, lo triangle esobtusangle oambligòn. S'i a pas, esacutangle ooxigòn (A alara tresangles aguts).
Triangle obtusangle o ambligòn
Triangle rectangle
Triangle acutangle o oxigòn
Qualques triangles recebèron de denominacion particularas que determina lors angles:
lomiègcarrat es un triangle isocèl rectangle, que pòt s'obtenir ne ligant tres vertèxes d'un carrat;
lo triangle dels arpentaires o triangle « 3-4-5 » es un triangle rectangle que los costats son de longors 3, 4 et 5 en foncion d'une unitat fixada;
lo triangle de l'escolan o triangle miègequilateral es un triangle rectangle que las mesuras dels angles son de 30°, 60° e 90° ;
lo triangle d'aur es un triangle isocèl que los angles a la base valon dos cinquens de l'angle plat, siá 72° ;
un triangle de Kepler es un triangle rectangle que las longors de costat seguisson unaprogression geometrica.
Miègcarrat.
Triangle dels arpentaires.
Triangle de l'escolan.
Triangle d'aur.
Triangle de Kepler.
Un triangle se sonabisocèl s'una de sas bissectriças lo partatja en dos triangles isocèls. Sonque pòt s'agir que d'un miègcarrat o d'un triangle d'aur[2].
L'aira d'un triangle es donada per mai d'una formulas, la primièra essent foncion de la longor d'un costat, nomenadabasa, e de la distància del vertèx opausat a la drecha que porta aquel costat, nonenadanautor.
D'autres formulas fan apèl a la longor dels costats (formula d'Eron) o a las coordonadas dels vertèx dins unrepèri ortonormat.
Loperimètre d'un triangle es simplament la soma de las tres longors de costat. Per un perimètre donat, l'aira interiora del triangle es majorada per aquela del triangle equilateral correspondent:
Las longors dels costats d'un triangle e las mesuras dels sièus angles satisfaran mai d'una relacions que permeton totas de las calcular dempuèi calque d'unas.S'agís d'un costat, en mai de la formula de la soma dels angles, d'una relacion entre l'aira, la mesura d'un angle e la longor dels dos cestats adjacents:
Las relacions metricas dins lo triangle permeton d'evaluar de distàncias dempuèi de mesuras angularas, coma per la navigacion maritima, engeodesia e enastronomia. Es segon aquel principi que foguèt mesurat lo meridian terrèstre per la definicion delmètre.
Los tres polièdres regulars convèxes de fàcias triangularas
Sul plan, lo calcul de l'aira d'un domeni pòt èsser evaluada en raprochant aquel domeni per una reünion de triangles disjonches.
Mai generalament, de superfícias de l'espaci pòdon èsser aproximada per une reünion de triangles nomenasafacietas. Aquela tecnica es utilizada enanalisi numerica dins lometòde dels elements finits, mas tanben enimatgeriá numerica. L'analisi vectoriala permet encara de calcular aviadament l'orientacion d'una quina facieta e de ne deduire la reflexion de la radiacion luminosa d'una font ponctuala dins una direccion donada.
Encara, tot poligò se pòt descopar en un nombre finit de triangles que forman alara unatriangulacion d'aquel poligòn. Lo nombre minimal de triangles necessari per çò far es, quen es lo nombre de costats del poligòn. L'estudi dels triangles es fondamental per aquela dels demai poligòns, per exemple per la demonstracion delteorèma de Pick.
Lo triangle ligant los tres mitans dels costats d'un triangle es nomenattriangle median. Segon loteorèma dels mitans, aquel triangle median a de costats parallèls al triangle inicial e de longors de costat proporcionalas dins un rapòrt de 1/2.
Dins un triangle scalèn, unamediana es un segment que liga un vertèx almitan del costat oposat. Cada mediana divisa un triangle en dos triangles d'airas egalas.
Se lo triangle es non plan, las tres medianas sonconcorentas en un punt nomenatcentre de gravitat. Aquel punt, sovent notatG e situat als dos tresens de cada mediana partent del vertèx, es a l'encòp l'isobaricentre dels tres vertèxes e locentra de massa de l'interieur del triangle.
Las tres medianas concorentas divisan lo triangle en sièis triangles de meteissa aira.
La longor de la mediana es ligada a las longors dels autres costats pelteorèma de la mediana ou teorèma d'Apolloni.
Se lo triangle es non plat, las tresmediatriças dels costats (las drechas copant los costats a angle drech a lor mitan) son concorentas en un punt nomenat centre ducercle circonscrich, perqu'es lo sol equidistant dels tres vertèxes, es a dire qu'es lo centre del sol cercle passant pels tres vetèxes. Aquel centre es souvent notatO o (« omega »).
Un triangle es rectangle se e pas que se son centre del cercle circonscrich es lo mitan de l'un de sos costats (qu'es alara son ipotenusa).
Per un triangle acutangle, lo centre del cercle circonscrich es a l'interior del quita triangle. Per un triangle obtusangle, aquel centre es a l'exterior.
Lo produch del rai del cercle circonscrich e de l'aira del triangle es lo quart del produch de las longors dels costats del triangle.
Se los tres vertèxes son distinctes, unanautor es una drecha passant per un vertèx eperpendiculara al costat oposat. Se lo triangle es non plat, las tres nautors sont concorentas en un punt nomenatortocentre, sovent notatH.
Un triangle es rectangle se e pas que se son ortocentre es l'un dels vertèxes (ont se tròba alara l'angle drech).Per un triangle acutangle, l'ortocentre es a l'interior del triangle. Per un triangle obtusangle, es a l'exterior.
Las tres mediatriças d'un triangle son las tres nautors de son triangle median e en consequéncia, lo centre del cercle circonscrich a un triangle es l'ortocentre del triangle median.
Lo punt de Longchamps es losimetric de l'ortocentre al repècte del centre del cercle circonscrich.
So lo triangle es non plat, las tresbissectriças de sos angles (las miègdrechas que partejan los angles en dos angles de meteissa mesura) son concorantas en un punt nomenat centre delcercle inscrich, perqu'es lo centre del sol cercletangent als tres costats. Aquel centre es en general notatI oJ.
Segon loteorèma de Steiner-Lehmus, las longors de doas bissectriças dans un triangle son egalas se e pas que se los angles correspondents an la meteissa mesura.
Los punts de contacte d'aquel cercle inscrich amb los costats forman lo triangle deGergonne. Los segments ligant aqueles punts de contacte amb los vetèxes oposats dins lo triangle son concorentas en un punt nomenat punt de Gergonne.
Cada bissectritz divisa lo costat oposat en dos segments que las longors son ligadas a aquelas dels costats de l'angle mercé a lalei dels sinus.
Lo rai del cercle inscrich es lo quocient de l'aira del triangle per son miègperimètre.
Lo centre de gravitat, lo centre del cercle circonscrich e l'ortocentre son alinhats sus una drecha nomenadadrecha d'Euler e satisfason la relacionvectoriala:
E mai, los mitans dels costats, los pés de las nautors e los mitans dels segments ligant l'ortocentre als vertèxes son totes sus un meteis cercle nomenatcercle d'Euler.
Dos triangles son dichesisometrics, superposables s'an las meteissas longors de costat. Dins aquel cas es possible farcorrespondre los vertèxes de l'un amb los vertèxes de l'autre per unaisometria (per exemple unatranslacion, unerotacion o unasimetria) e aquela correspondéncia liga alara d'angles de meteissa mesura. Aqueles triangles an doncas tanben la meteissa aira.
Aquela premièra definicion es equivalenta a cada de las tres seguentas:
las tres longors dels costats del primièr triangle son losmeteisses qu'aquelas del segond (abrejat per CCC);
Ambedós triangles an un angle de meteissa mesura compresa entre dos costats de meteissas longors (abrejat per CAC);
Ambedós triangles an un costat de meteissa longor compresa entre dos angles de meteissas mesuras (abrejat per ACA).
Dos triangles avent las meteissas mesuras d'angle son dichssemblables. Son pas necessàriament isometrics, mas lors longors de costats son proporcionalas amb un meteis coeficient de proporcionalitat. Lors airas son alara ligadas per un factor.
Existís en efècte unasimilitud (qu'es la compausada d'una isometria e d'un omotecia) que transforma l'un en l'autre. Aquela definicion equival a:
los tres angles del primier an meteissas mesuras qu'aqueles del segond (abrejat per AAA), (de fach dos angles sufison: lo tresen se'n deduís)
o encora a:
las tres longors dels costats del primièr sonproporcionalas a aquelas del segond.
Dos triangles isometrics son totjorn semblables. Dos triangles equilaterals (non necessàriament isometrics) tanben.
Existís tres autres cercles tangents a las drechas que pòrtan los costats d'un triangle, e sont totes tres exteriors a aquel triangle. Los punts d'interseccion d'aqueles cercles amb los costats del triangle forman lo triangle de Nagel. Los segments ligant aqueles punts de contacte amb los vertèxes del triangle son concorents en un punt nomenat punt de Nagel.
Lo cercle qu'un diamètre liga lo punt de Nagel a l'ortocentre es nomenat cercle de Fuhrmann e son rai es egal a la distància entre los centres dels cercles inscrich e circonscrich.
Los centres dels tres cercles forman lo triangle de Bevan, qu'es omotetic al triangle de Gergonne. Lo centre de son cercle circonscrich se nomena punt de Bevan.
Los tres cercles exinscriches son tangents interiorament a un cercle nomenat cercle d'Apolloni. Las drechas ligant los punts de contacte als vertèxes correspondents del triangle son concorents en un punt nomenat punt d'Apolloni.
Lo cercle inscrich e los tres cercles exinscriches son totes tangents al cercle d'Euler. Los punts de contacte son nomenats punts de Feuerbach.
Unasimediana es una drecha simetrica de la mediana al repècte a una bissectritz eissida del quita vertèx. Las tres simedianas son concorentas en un punt nomenat punt de Lemoine.
Dins un triangle acutangle, existís un unic punt que minimisa la soma de las distàncias als vertèxes. Dins aquel punt, nomenatpunt de Fermat, los angles formats pels segments cap al vertèxes del triangle son totes de 120°.
Se un triangle es non plat, existís dos punts nomenatspunts de Brocard per quines los segments cap als vertèxes subdivisan lo triangle en tres triangles avent un angle de meteissa mesura per permutacion dels vertèxes del triangle inicial.La mesura d'aquel angle es alara la meteissa pels dos punts.
La drecha de Brocard es la drecha que passa per aqueles dos punts.
Los punts de Brocard apartenon alcercle de Brocard qu'un diamètre a per tèrmes lo centre del cercle circonscrich e lo punt de Lemoine.
Segon loteorèma d'Alasia, la drecha de Brocard es parallèla a un dels costats se e pas que se lo triangle es isocèl amb aquel costat per basa.
Loteorèma de Talés liga las longors de costats de dos triangles semblables avent un vertèx comun e los costats oposats parallèls.
Loteorèma de Napoleon afirma que los centres dels triangles equilaterals formats exteriorament suls costats d'un triangle son quitament los vertèxes d'un triangle equilateral.
Loteorèma de Carnot liga los rais dels cercles inscrich e circonscrich a las distàncias dels vertèxes al centre del cercle circonscrich.
Loteorèma de Menelaús dona une condicion necessària e sufisenta per l'alinhament de tres punts alinhats respectivament amb los costats d'un triangle.
Loteorèma de Morley afirma que las interseccions de las trissectriças dels angles d'un triangle forman un triangle equilateral.
Loteorèma de Nagel mòstra que la bissectritz d'un angle d'un triangle es la meteissa qu'aquela de l'angle dins aquel vertèx que los costats passan per l'ortocentre e lo centre del cercle circonscrich.
Loteorèma de Neuberg establís que los centres de tres carrats obtenguts per una construccion geometrica particulièra sus un triangle que los mitans dels costats d'aquel triangle.
Loteorèma d'Hamilton dich que lo cercle d'Euler es lo meteis pels quatre triangles formats par un grope ortocentric.
Lo teorèma d'Euler en geometria exprima la distància entre los centres dels cercles inscrich e circonscrich en foncion de lors rais respectius e per. Se deduís que lo rai del cercle inscrich es al mens dos còps mai pichon qu'aquel del cercle circonscrich (inegalitat d'Euler).
Loteorèma de Ceva dona una condicion necessària e sufisenta per que tres drechas (nomenadascevianas) passant respectivament pels tres vertèxes d'un triangle sián parallèlas o concorentas.
Loteorèma de Gergonne dona alara una relacion entre las longors de las cevianas e las longors dels segments que ligan lor pint d'interseccion als vertèxes.
Loteorèma de Stewart liga la longor d'una ceviana a las longors dels costats dels dos triangles que forma.
Loteorèma de Terquem mòstra que lo cercle pedal, circonscrich al triangle pedal format pels tres pés de cevianas concorentas, copa los costats del triangle en tres punts que son tanben los pés de cevianas concorentas.
Loteorèma dels sièis cercles mòstra qu'una seguida de cercles successivament tangents exteriorament e tangents interiorament a dos costats d'un triangle (los costats variant per permutacion circulara) es 6-periodic.
La recipròca delteorèma dels tres cercles de Miquel mòstra que tres cercles passant respectivament pels vertèxes d'un triangle e secants lo long dels costats correspondents son concorents en un punt nomenat punt de Miquel.
Un triangle essent un poligòn de tres costats, qualques proprietats se generalizan per un mai grand nombre de costats, coma l'inegalitat triangulara o la soma dels angles (per un poligòn non crosat), mas l'aira e los angles dependent pas mai que de las longors dels costats. I a tanben mens de resultats valables en tota generalitat sus las drechas o punts remarcables. Pasmens, qualques condicions permeton de'n tornar trobar coma dins le cas de quadrilatèrs particulièrs (parallelograms subretot) o inscriptibles dins un cercle.
Dins l'espaci, tres punts son totjorncoplanaires e sufison doncas pas per definir un element devolum. Mas quatre punts non coplanaires forman untetraèdre. Mai generalament, unsimplèx es une figura geometricaconvèxe eissit den punts dins un espaci d'al mensn−1dimensions.
Problèmas R49→R55 delpapyrus Rhindfigura del triangle representada dins lo problèma R51 delpapyrus Rhind
Cap de document matematic de l'Ancian Empèri nos es conegut. Mas l'arquitectura monumentala de las dinastias egipsianaIII eIV constituís una pròba remarcable que los egipcians d'aquela epòca avián de coneissenças relativament elaboradas en geométria, e subretot dins l'estudi dels triangles.
Lo calcul de l'aira d'aquela figura es estudiada dins los problèmas R51 delpapirus Rhind, M4, M7 e M17 delpapirus de Moscòu e datant totes delEmpèri Mejan. Lo problèma R51 constituís, dins l'istòria mondiala de las matematicas, lo primièr testinòni escrich tractant del calcul de l'aira d'un triangle.
«Exemple de calcul d'un triangle de tèrra. Se qualcun te ditz: Un triangle de 10 khet sus sonmryt e de 4 khet sus sa basa. Quina es sa superfícia? Calcula la mitat de 4 qu'es 2 per ne far un rectangle. Fa de biais que multiplicar 10 per 2. Aquò es sa superfícia.»
Lo tèrmemryt significa benlèu nautor, o costat. Mas la formula utilizada pel calcul de l'aira fa penjar l'interpretacion en favor de la premièra solucion[4]. L'escriba prengava la mitat de la basa del triangle e calculava l'aira del rectangle format per aquel costat e la nautor, siá
equivalenta a la formula generala utilizada ara:
Lo fach qu'un triangle de costats 3-4-5 es rectangle èra tanben conegut dels Egipcians ancians emesopotamians.
Euclides, dins lo libre I de sosElements, vèrs 300 AbC, enoncia la proprietat sus la soma dels angles del triangle e los tres casses d'egalitat dels triangles (vejatz çò naut lo paragrafe suls triangles isometrics).
.png)
