Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Vejatz lo contengut
Wikipèdial'enciclopèdia liura
Recercar

Ellipsa

Un article de Wikipèdia, l'enciclopèdia liura.
Aquela pagina presenta d'ambigüitats amb l'article «ellipsi».
Exemple de movement elliptic.
Leis anèus deSaturne son circulars, mai en perspectiva, apareisson coma d'ellipsas. Fotografia de l'ESO.

En geometria, l’ellipsa (engrèc ancian: ἔλλειψις, significant «mancança») es una corba plan barrat apertenent a la familha de las còniques que pòt s'obténer es a dire coma seccion d'un con circular amb un plan; o la figura formada per l’ombra d'undisc sus unasuperfícia plana.

Enmatematicas, e pus particularament engeometria euclidiana de dimension tres, una ellipsa es unacorba plana sarrada obtenguda comaprojeccion d'uncercle sus unplan - pron que la direccion de la projeccion siá pas parallèla au plan dau cercle - , o comainterseccion d’uncòn drech amb un plan; fau alora que lo plan siá pas trop«clinat», valent a dire que l'angle entre la normala au plan e l'axe dau còn siá inferior au complementari de l'angle dau còn[1]. Locercle es una ellipsa particulara.

En geometria euclidiana plana, l'ellipsa es lo luòc dei ponchs que la soma de sei distàncias en dos ponchs fixes, dichsfòcus, es constanta (sa construccion per lometòde dau jardinier es fòrça simpla).

S'atròba tanben, en premiera aproximacion[2], d'ellipsas dins leitrajectòrias deicòrs celèsts (planetas,cometas osatellits artificiaus) enorbita a l'entorn d'unaestela o d’una autraplaneta. Ansin, l'orbita de laTèrra es una ellipsa que loSoleu n'es un fòcus.

Definicions geometricas

[modificar |modificar lo còdi]

Directritz e fòcus

[modificar |modificar lo còdi]
Construccion d'una ellipsa per fòcus e directritz. Excentricitat 1/2

Lo quadre es un plan afin euclidianP{\displaystyle P}. Sián dins aqueu plan:(d){\displaystyle (d)} unadrecha, eF{\displaystyle F} unponch qu'apartèn pas a(d){\displaystyle (d)}; estent un nombre reaue{\displaystyle e} de l'interval]0,1[{\displaystyle ]0,1[}, se sòna ellipsa dedrecha directritz(d){\displaystyle (d)}, defòcusF{\displaystyle F} e d'excentricitate{\displaystyle e} l'ensemble dei ponchsM{\displaystyle M} dau planP{\displaystyle P} taus que:

d(M,F)d(M,(d))=e{\displaystyle {\frac {d(M,F)}{d(M,(d))}}=e}

onted(M,F){\displaystyle d(M,\,F)} es ladistància dau ponchM{\displaystyle M} au ponchF{\displaystyle F} ed(M,(d))=d(M,H){\displaystyle d(M,\,(d))=d(M,\,H)} esaquela deM{\displaystyle M} a la drecha(d){\displaystyle (d)}.

NotemK{\displaystyle K} la projeccion ortogonala deF{\displaystyle F} sus(d){\displaystyle (d)}. Es clar que la drecha(KF){\displaystyle (KF)} es un axe de simetria de l'ellipsa, dichaxe focau oaxe major.

Definicion bifocala de l'ellipsa

[modificar |modificar lo còdi]
Construccion de l'ellipsa per dos fòcus e una còrda de longor constanta
Fòcus e vertèx de l'ellipsa

SiánF1{\displaystyle F_{1}} eF2{\displaystyle F_{2}} dos ponchs distints dau plan, ea un reau tau que

2a>d(F1,F2){\displaystyle 2a>d(F_{1},\,F_{2})}

Se sòna ellipsa de fòcusF1{\displaystyle F_{1}} eF2{\displaystyle F_{2}} l'ensemble dei ponchsM{\displaystyle M} dau plan que verifican la proprietat seguenta:

d(M,F1)+d(M,F2)=2a{\displaystyle d(M,\,F_{1})+d(M,\,F_{2})=2a}

D'elements de simetria de l'ellipsa (axes de simetria, centre de simetria) apareisson immediatament:

Lei ponchs d'interseccion (A,B) de l'ellipsa amb son axe major son dichsvertèx principaus; lei ponchs d'interseccion (C,D) de l'ellipsa amb son axe menor son dichsvertèx segondaris. Alora:

d(A,B)=2a{\displaystyle d(A,\,B)=2a\;} : se ditz[3] que 2a es la longor de l'axe major

Se definís:

d(C,D)=2b{\displaystyle d(C,\,D)=2b\;} : se ditz que 2b es la longor de l'axe menor
d(F1,F2)=2c(c>0){\displaystyle d(F_{1},\,F_{2})=2c\qquad (c>0)}

Coma:

d(C,F1)=d(C,F2) e d(C,F1)+d(C,F2)=2a{\displaystyle d(C,\,F_{1})=d(C,\,F_{2}){\text{ e }}d(C,\,F_{1})+d(C,\,F_{2})=2a}

se'n dedutz:

d(C,F1)=d(C,F2)=a{\displaystyle d(C,\,F_{1})=d(C,\,F_{2})=a}

e resulta dauteorèma de Pitagòras que

a=b2+c2{\displaystyle a={\sqrt {b^{2}+c^{2}}}}

Imatge d'un cercle per unaafinitat

[modificar |modificar lo còdi]
L'ellipsa e lei dos cercles de l'afinitat.

Sián(C1){\displaystyle (C_{1})} un cercle de centreO{\displaystyle O} e de raia{\displaystyle a},(C2){\displaystyle (C_{2})} un cercle de centreO{\displaystyle O} e de raib{\displaystyle b} (b<a{\displaystyle b<a}) e(xx′){\displaystyle (xx')} una drecha passant perO{\displaystyle O}. Se sòna ellipsa de centreO{\displaystyle O}, desemiaxe majora{\displaystyle a} e de semiaxe menorb{\displaystyle b} l'imatge dau cercle(C1){\displaystyle (C_{1})} per l'afinitat d'axe(xx′){\displaystyle (xx')}, de direccion perpendiculara a(xx′){\displaystyle (xx')} e de repòrtb{\displaystyle b} /a{\displaystyle a}.

Per construire lo ponchM{\displaystyle M} de l'ellipsa, imatge dau ponchm1{\displaystyle m_{1}} dau grand cercle, se construtz lo ponchm2{\displaystyle m_{2}} dau cercle(C2){\displaystyle (C_{2})} situat sus[Om1]{\displaystyle [Om_{1}]}. Se traça perm1{\displaystyle m_{1}} la perpendiculara a(xx′){\displaystyle (xx')} e perm2{\displaystyle m_{2}} la parallèla a(xx′){\displaystyle (xx')}. Lei drechas se copan enM{\displaystyle M}. D'efiech, sem′{\displaystyle m'} es la projeccion ortogonala dem1{\displaystyle m_{1}} sus(xx′){\displaystyle (xx')}, alora, d'après loteorèma de Talès,

m′Mm′m1=Om2Om1=ba{\displaystyle {\frac {m'M}{m'm_{1}}}={\frac {Om_{2}}{Om_{1}}}={\frac {b}{a}}}

Seccion conica

[modificar |modificar lo còdi]
Una ellipsa obtenguda coma l'interseccion d'un còn amb un plan.

L’ellipsa es unacorba plana de la familha deiconicas. S'obtèn coma l’interseccion d'unplan amb uncòn de revolucion quand aqueu plan travèrsa lo còn de part en part. Locercle apareis coma una ellipsa particulara (plan de copa perpendicular).

Entre lei conicas, leis ellipsas se caracterizan per una excentricitat estrictament compresa entre 0 e 1.

Proprietats geometricas

[modificar |modificar lo còdi]

Elements de simetria

[modificar |modificar lo còdi]

S'es ja mencionat

  • l'« axe focau », o « axe major », passant per lo fòcus e perpendicular a la directritz, axe de simetria de l'ellipsa
  • l'«axe menor», perpendicular a l'axe major, autre axe de simetria
  • lo«centre», interseccion deis axes major e menor, centre de simetria de l'ellipsa

Tangenta e bisectritz

[modificar |modificar lo còdi]
Labisectritz dau sector angular format per lei drechas reliant un ponch de l'ellipsa ai fòcus es perpendiculara a latangenta en aqueu ponch.

Siá una ellipsa que sei fòcus sonF{\displaystyle F} eF′{\displaystyle F'}. En un ponchM{\displaystyle M} d'aquela ellipsa, se considèra la bisectritz dau sector angular(FMF′){\displaystyle (FMF')}. Alora, aquela bisectritz es perpendiculara a la tangenta enM{\displaystyle M} (se ditz qu'es normala enM a l'ellipsa).

Aquela proprietat s'utiliza enoptica geometrica dins leimiraus elliptics: unrai luminós que passa per un dei fòcus, quand es reflectit, passa per l'autre fòcus. Ansin, se se plaça una ampola a un fòcus d'un mirau elliptic, lo fais luminós se concentra sus l'autre fòcus.

Aiçò explica tanben lo fach que lei sons se propagan fòrça ben d'un quai a l'autre dau mètro parisenc. D'efiech, la màger part deis estacions an una forma elliptica. Se la fònt d'un son s'atròba en un dei fòcus, totei lei sons reflectits convergiràn vèrs l'autre fòcus (sus l'autre quai).Aquela proprietat de l'ellipsa s'explica en se servent de la tangenta en un ponch de l'ellipsa: d'aqueu biais, un son o un rai luminós emés d'un dei fòcus serà reflectit sus l'autre fòcus. Aquela proprietat s'utiliza dins la concepcion de cèrts instruments d'optica. Es de segur presenta dins una galariá amb ressòn, valent a dire dins una pèça que son plafon, per sa forma elliptica, fa qu'una persona que chuchoteja en un dei fòcus s'ause a l'autre fòcus. La rotonda dau Capital Building a Washington e lo Mormon Tabernacle a Salt Lake City son d'exemples d'aquela mena de galariás[4].

Relacions entre lei grandors

[modificar |modificar lo còdi]
Una ellipsa amb seis axes, son centre, un fòcus e la directritz associada

Lei grandors (geometricas o numericas) d'una ellipsa son

  • la longor dau grand rai (o semiaxe major), generalament notadaa ;
  • la longor dau pichon rai (o semiaxe menor), generalament notadab ;
  • la distància separant lo centre de l'ellipsa e un dei fòcus, generalament notadac ;
  • la distància separant un fòcusF de sa directritz (d) associada, generalament notadah ;
  • l'excentricitat de l'ellipsa (estrictament compresa entre 0 e 1), generalament notadae ;
  • lo paramètre de l'ellipsa, generalament notép.

Existisson de relacions entre aquelei grandors:

Eqüacions caracteristicas

[modificar |modificar lo còdi]

Eqüacion cartesiana

[modificar |modificar lo còdi]

Eqüacion reducha

[modificar |modificar lo còdi]

Dins lo sistèma de coordenadas definit per l'axe major e l'axe menor de l'ellipsa, son eqüacion es (se l'axe focau es aqueu deis abscissas):

x2a2+y2b2=1{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}

(se l'axe focau es aqueu deis ordenadas, se deu escambiara eb).

Eqüacion generala

[modificar |modificar lo còdi]

Dins un sistèma quin que siá de coordenadas cartesianas, totaconica, e en particular tota ellipsa, a una eqüacion de la forma:

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0{\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0\,}
(onte lei reausA,B,C son pas totei nuls)

Una condicion necessària e sufisenta per qu'una tala eqüacion siá la d'una ellipsa es que:

|ABBC|>0 e A|ABDBCEDEF|<0{\displaystyle {\begin{vmatrix}A&B\\B&C\end{vmatrix}}>0{\text{ e }}A\,{\begin{vmatrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{vmatrix}}<0}
(leis expressions entre lei barras verticalas son de determinants)

autrament dich:

AC−B2>0 e A(CD2−2BDE+AE2+B2F−ACF)>0{\displaystyle AC-B^{2}>0{\text{ e }}A\,(CD^{2}-2BDE+AE^{2}+B^{2}F-ACF)>0}

SeB = 0, leis axes de l'ellipsa son parallèls ais axes de coordenadas, e reciprocament.

demostracion

Es classic que se l'ensemble definit per l'eqüacion

(1)Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0{\displaystyle (1)\qquad Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0}

es una ellipsa, aloraAC−B2>0{\displaystyle AC-B^{2}>0}, e que reciprocament, seAC−B2>0{\displaystyle AC-B^{2}>0}, alora l'ensemble definit per aquela eqüacion (çò es: l'ensemble dei ponchs dau plan que sei coordenadas (x,y) la complisson) es una ellipsa, o unsingleton, o es vuege.

Se supausa desenant que:

(2)AC−B2>0{\displaystyle (2)\qquad AC-B^{2}>0}

AloraA ≠ 0. Se pòt definir:

(3)b=BA,c=CA,d=DA,e=EA,f=FA{\displaystyle (3)\qquad b={\frac {B}{A}},\,c={\frac {C}{A}},\,d={\frac {D}{A}},\,e={\frac {E}{A}},\,f={\frac {F}{A}}}

L'eqüacion (1) es equivalenta a:

(4)x2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0{\displaystyle (4)\qquad x^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0}

o

(5)(x+by)2+(c−b2)y2+2dx+2ey+f=0{\displaystyle (5)\qquad \left(x+by\right)^{2}+\left(c-b^{2}\right)y^{2}+2dx+2ey+f=0}

Se remarca que:

c−b2=CA−B2A2=AC−B2A2>0{\displaystyle c-b^{2}={\frac {C}{A}}-{\frac {B^{2}}{A^{2}}}={\frac {AC-B^{2}}{A^{2}}}>0} (d'après l'ipotèsi (2))

Per aleujar lei notacions, se pausa:

(6)u=x+by e v=c−b2y{\displaystyle (6)\qquad u=x+by{\text{ e }}v={\sqrt {c-b^{2}}}\,y}

Inversament:

y=1c−b2v e x=u−bc−b2v{\displaystyle y={\frac {1}{\sqrt {c-b^{2}}}}\,v{\text{ e }}x=u-{\frac {b}{\sqrt {c-b^{2}}}}\,v}

Amb aquelei notacions, l'eqüacion (5) es equivalenta a:

(7)u2+v2+2du−2bdc−b2v+2ec−b2v+f=0{\displaystyle (7)\qquad u^{2}+v^{2}+2du-{\frac {2bd}{\sqrt {c-b^{2}}}}\,v+{\frac {2e}{\sqrt {c-b^{2}}}}\,v+f=0}

o

(8)u2+2du+v2+2(e−bdc−b2)v+f=0{\displaystyle (8)\qquad u^{2}+2du+v^{2}+2\left({\frac {e-bd}{\sqrt {c-b^{2}}}}\right)\,v+f=0}

o

(9)(u+d)2+(v+e−bdc−b2)2+f−d2−(e−bd)2c−b2=0{\displaystyle (9)\qquad \left(u+d\right)^{2}+\left(v+{\frac {e-bd}{\sqrt {c-b^{2}}}}\right)^{2}+f-d^{2}-{\frac {\left(e-bd\right)^{2}}{c-b^{2}}}=0}

e finalament, d'après (6), l'eqüacion (1) equivau a la seguenta:

(10)(x+by+d)2+(c−b2y+e−bdc−b2)2=S{\displaystyle (10)\qquad \left(x+by+d\right)^{2}+\left({\sqrt {c-b^{2}}}\,y+{\frac {e-bd}{\sqrt {c-b^{2}}}}\right)^{2}=S}

onte

(11)S=d2+(e−bd)2c−b2−f{\displaystyle (11)\qquad S=d^{2}+{\frac {\left(e-bd\right)^{2}}{c-b^{2}}}-f}.

D'après (3) e un calcul que se detalharà pas aicí:

(12)S=CD2−2BDE+AE2+B2F−ACFA(AC−B2){\displaystyle (12)\qquad S={\frac {CD^{2}-2BDE+AE^{2}+B^{2}F-ACF}{A\,(AC-B^{2})}}}.

Se remarca alora que, segon l'ipotèsi (2),S a meteis signe que lo produch seguent:

(13)T=A(CD2−2BDE+AE2+B2F−ACF){\displaystyle (13)\qquad T=A\,(CD^{2}-2BDE+AE^{2}+B^{2}F-ACF)}

Se conclutz ara la demostracion. D'après (10) (qu'es ren qu'una reescritura de (1)):

  • seT < 0 (doncasS < 0), l'ensemble definit per l'eqüacion (1) es vuege (la soma dei carrats de nombres reaus es necessariament positiva o nulla)
  • seT = 0 (doncasS = 0) l'ensemble definit per l'eqüacion (1) es constituit d'un element unic (se la soma dei carrats de nombres reaus es nulla, cadun d'aquelei reaus es nul, çò qu'aicí determina completamentx ey)
  • seT > 0 (doncasS > 0), l'ensemble definit per l'eqüacion (1) es constituit de mai d'un element: es una ellipsa.
Aiçò pròva que lei doas condicionsAC−B2>0 e T>0{\displaystyle AC-B^{2}>0{\text{ e }}T>0} son necessàrias e sufisentas per que (1) siá l'eqüacion d'una ellipsa, QED.
 
M{x=acos⁡ty=bsin⁡t(t∈R){\displaystyle M\quad {\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}\quad (t\in \mathbb {R} )}

dins lo sistèma de coordenadas definit per l'axe major e l'axe menor; lo reaut es l'anomalia excentrica dau ponchM de l'ellipsa.

Eqüacion polara

[modificar |modificar lo còdi]
r(θ)=p1+ecos⁡θθ∈R{\displaystyle \qquad r(\theta )={\frac {p}{1+e\cos \theta }}\qquad \theta \in \mathbb {R} }

dins lo sistèma de coordenadas definit per lo fòcus e l'axe focau.

o

r2(θ)=b21−e2cos2⁡θθ∈R{\displaystyle \qquad r^{2}(\theta )={\frac {b^{2}}{1-e^{2}\cos ^{2}\theta }}\qquad \theta \in \mathbb {R} }

dins lo sistèma de coordenadas definit per lo centre e l'axe focau.

Circonferéncia

[modificar |modificar lo còdi]

Lacirconferénciac{\displaystyle c} d'una ellipsa es4aE(e){\displaystyle 4aE(e)},onteE{\displaystyle E} es unaintegrala elliptica complèta de segonda espècia.

Sota forma d'unaseria, s'escriu:

c=2πa[1−(12)2e2−(1⋅32⋅4)2e43−(1⋅3⋅52⋅4⋅6)2e65−⋯]{\displaystyle c=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}e^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{e^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{e^{6} \over 5}-\cdots }\right]}

Una bòna aproximacion es balhada per una formula deRamanujan:

c≈π[3(a+b)−(3a+b)(a+3b)]{\displaystyle c\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]}

que se pòt tanben escriure:

c≈πa[3(1+1−e2)−(3+1−e2)(1+31−e2)]{\displaystyle c\approx \pi a\left[3(1+{\sqrt {1-e^{2}}})-{\sqrt {(3+{\sqrt {1-e^{2}}})(1+3{\sqrt {1-e^{2}}})}}\right]}

ontea{\displaystyle a} es la semilongor de l'axe major eb{\displaystyle b} la semilongor de l'axe menor.

Pus generalament, lalongor de l'arc en foncion de l'angle sostendut es balhada per unaintegrala elliptica incomplèta de segonda espècia. La foncion recipròca, l'angle sostendut en foncion de la longor de l'arc, es balhada per leifoncions ellipticas.

Aira dau domeni interior an una ellipsa

[modificar |modificar lo còdi]

L'aira dau domeni interior an una ellipsa que sei semiaxes an per longors respectivasa eb es:

S=πab{\displaystyle S=\pi \,a\,b}

Se remarca que pera=b{\displaystyle a=b}, se retròba l'airaS=πa2{\displaystyle S=\pi a^{2}} dau domeni interior an un cercle de raia (odisc de raia).

demostracion

Existisson divèrsei manieras de calcular l'aira dau domeni interior an una ellipsa. Òm se pòt plaçar dins lo sistèma de coordenadas cartesianas onte l'eqüacion de l'ellipsa s'escriu:

x2a2+y2b2=1{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}

Amb lei simetrias establidassupra, sufís de calcular per exemple l'aira de la porcion dau domeni situada dins lo quart superior drech dau plan (definit segon aqueu sistèma de coordenadas). L'eqüacion de l'arc d'ellipsa correspondent es:

y=b1−(xa)2{\displaystyle y=b\,{\sqrt {1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}}}

perx{\displaystyle x} dins[0,a]{\displaystyle [0,\,a]}.D'onte l'aira dau quart superior drech:

I=∫0ab1−(xa)2dx=ab∫011−t2dt=ab∫0π2cos2⁡udu{\displaystyle I=\int _{0}^{a}b\,{\sqrt {1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=ab\int _{0}^{1}{\sqrt {1-t^{2}}}\,\mathrm {d} t=ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}u\,\mathrm {d} u}
(la darriera escritura s'obtèn amb lo cambiament de variablau↦sin⁡u=t{\displaystyle u\mapsto \sin u=t} de[0,π/2]{\displaystyle [0,\,\pi /2]} sus[0,1]{\displaystyle [0,1]})

Rèsta de linearizarcos2⁡u{\displaystyle \cos ^{2}u} per acabar aqueu calcul:

I=ab∫0π21+cos⁡2u2du=πab4{\displaystyle I=ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1+\cos 2u}{2}}\,\mathrm {d} u={\frac {\pi ab}{4}}}

Enfin, l'aira entiera dau domeni interior a l'ellipsa es:

S=4I=πab{\displaystyle S=4I=\pi ab}
 

Dessenhar una ellipsa: lo metòde dau jardinier

[modificar |modificar lo còdi]
Lo metòde dau jardinier.

Segon ladefinicion bifocala, lei ponchs de l'ellipsa son lei ponchsM{\displaystyle M} dau plan taus que la somad(M,F1)+d(M,F2){\displaystyle d(M,\,F_{1})+d(M,\,F_{2})} de sei distàncias ai dos fòcusF1{\displaystyle F_{1}} eF2{\displaystyle F_{2}} es constanta. Ansin, per traçar l'ellipsa, se planta dos piquets dins lo sòu (lei dos fòcus), se pren una còrda non elastica (que sa longor es la soma constanta) e se n'estaca leis extremitats ai piquets; se mantèn la còrda tesada per mejan d'una cavilha (per plantar): la cavilha dessenha una ellipsa.

An aquela tecnica, se li ditz « l'ellipsa daujardinier ».

L'ellipsa en mecanica celèsta

[modificar |modificar lo còdi]

Enmecanica celèsta, un còrs somés a l'atraccion gravitacionala d'un autre e que vira a son entorn, descriu unaorbita elliptica. Un dei fòcus de l'ellipsa coïncidís amb lo còrs atractor. L'excentricitat de la trajectòria depend dei condicions inicialas. Cf. l'article subre leilèis de Kepler.

Vejatz tanben

[modificar |modificar lo còdi]

Liames intèrnes

[modificar |modificar lo còdi]

Nòtas e referéncias

[modificar |modificar lo còdi]

Suls autres projèctes Wikimèdia :

  1. ↑Angle entre l'axe dau còn e una directritz.
  2. ↑Vejatzproblèma dei dos còrs eproblèma dei N còrs.
  3. ↑Terminologia usuala, mai abusiva, que l'axe major es la drecha (A,B) e non pas lo segment [A,B].
  4. ↑Swokowski. Analyse. Traduccion: Micheline Citta. 5ena edicion. 
Recuperada de « https://oc.wikipedia.org/w/index.php?title=Ellipsa&oldid=2467536 »
Categoria de la pagina :
Categorias amagadas :
[8]ページ先頭
©2009-2026 Movatter.jp