Egenskapene til tensorer kan defineres på flere forskjellige måter. De representerer en generalisering av vanligevektorrom, men kan også betraktes somfunksjoner som har vanligevektorer som argument. Deres bruk og egenskaper ble spesielt utviklet av de italienske matematikerneGregorio Ricci Curbastro og hans elevTullio Levi-Civita i forbindelse med videreutviklingen avRiemannsk geometri forikke-euklidsk rom. I denne sammenhengen blir ofte tensorregning omtalt som «Ricci-kalkulus».
Egenskapene til en vanlig, matematiskfunksjon av en variabel kan sies å tilsvare en slags innretningf hvor man kan putte inn et tallx og få ut et annet (eller det samme) tally =f(x). Funksjonen erlineær hvis den for vilkårlige talla ogb oppfyllerf(ax1 +bx2) =af(x1) +bf(x2). En funksjonF med plass til to argument kan ta imot to tallx1 ogx2 og derav produsere et nytt tally =F(x1,x2). På tilsvarende vis kan man definere en funksjon av et vilkårlig antall variable.
Man kan definere en tensor som en slik funksjon med plass for flere variable. Men disse må værevektorer, mens funksjonverdien skal fortsatt være et tall. I tillegg må denne generaliserte funksjonen være lineær i hvert av sine argument. Argumentene for en tensor er derfor vektoreru,v, ... som tilhører etvektorrom med et visst antall basisvektorere1,e2, ...avhengig av dimensjonen til vektorrommet. En vilkårlig vektoru kan derfor skrives som
Vektorer og kovektorer er forbundet via det fundamentale indreproduktet
uttrykt vedKronecker-deltaet. Disse to settene med basisvektorer står derfor på et bestemt visvinkelrett på hverandre.[2] Det indre produktet av en vektor og en kovektor blir dermed
Denne summasjonen over en kovariant og samme kontravariante indeks er svært vanlig i tensorregning og kalles ofte for enkontraksjon. I etkartesisk koordinatsystem behøver man ikke å skille mellom vektorer og kovektorer og derfor heller ikke mellom kovariante og kontravariante vektorkomponenter da basisvektorene sammenfaller med sine duale partnere.
Vanligvis kalles antall argument en tensor har plass til, dens «rang». Betegner man den med symboletA og den kan bare ha et vektorargument, vil den være av første rang ogA(u) er et tall. Siden tensoren er lineær i dette argumentet, må derfor
for vilkårlige talla ogb. Det betyr at man kan skrive
hvor talletAμ =A(eμ) er en kovariant komponent til tensoren. Den kan derfor identifiseres med en kovektor og skrives som
slik atAμ =A⋅eμ. Da tensoren er av rang en og gitt ved kovariante komponenter, kalles den også for en (0,1)-tensor. Alternativet er en (1,0)-tensorV som er gitt ved kontravariante komponenter og kan derfor bare ha kovektorer som argument,
Denne (1,0)-tensoren kan derfor skrives som
og er ekvivalent med en vanlig vektor med komponenterVμ =V⋅eμ. Kontraksjonen av denne vektoren og en (0,1)-vektor er daV⋅A =Vμ Aμ og er enskalar størrelse, det vil si et tall.[3]
Mens tensorer av første rang oppfører seg som vektorer, vil de med høyere rang ha nye egenskaper. Er rangen lik med to, vil det være tre typer som nå kan betegnes ved (2,0), (1,1) og (0,2) avhengig av hva slags argument de tar. Kalles tensorenT og den tar to vektorargument, er
hvor nå de kovariante komponentene erTμν =T(eμ,eν). Den er derfor en (0,2)-tensor. Hadde den derimot vært av (2,0)-typen, villeT(a,b) =aμ bν Tμν med de kontravariante komponenteneTμν =T(eμ,eν). Den tredje typen (1,1) har komponenter med en øvre og en nedre indeks. Den tar derfor en vektor og en kovektor som argument. Betegner man den igjen med samme symbol, vil daT(a,u) =aμ uν Tμν hvor nå komponenteneTμν =T(eμ,eν) sies å være «blandet» da de har både kovariante og kontravariante indekser.
Selv om alle tensorer kan betraktes som multilinære funksjoner, er det mest vanlig i tensorregningen å angi dem ved komponentene. En (0,2)-tensor vil da betegnes ved komponenteneTμν. I dette tilfellet med rang to, kan disse så fremstilles i en vanligmatrise
Dette er for eksempel vanlig forspenningstensoren som brukes ielastisitetsteorien. Den er eksempel på en «symmetrisk tensor» hvor komponentene oppfyllerTμν =Tνμ. I det motsatte tilfellet med en «antisymmetrisk tensor» vilTμν = -Tνμ som for Faraday-tensoren ikovariant elektrodynamikk.
På denne måten kan man definere tensorer av stadig høyere rang. Har komponentenep kontravariante (eller øvre) indekser ogq kovariante (eller nedre) indekser, er dens rangr = p + q. På samme måte som at vektorer adderes sammen og at kovektorer kan legges sammen, kan også tensorer adderes sammen når de har de samme verdier forp ogq. Er for eksempelR ogS to kovariante tensorer med rang to og komponenterRμν ogSμν, så er komponentene til den nye tensorerenT =R +S gitt ved den normale summenTμν =Rμν +Sμν.
Tensorkomponentene er avhengige avkoordinatene som benyttes påmangfoldigheten hvor vektorrommet befinner seg. Basisvektorene er tangentvektorer til koordinatlinjene, mens de duale basisvektorene er normaler til koordinatflatene.[2] Hvis man i stedet for de opprinnelige koordinatenexμ vil benytte andre koordinaterxμ' =xμ'(xν), vil basisvektorenetransformere som
Det betyr at de kontravariante komponentene til vektorenu =uμeμ må transformere på den motsatt måten
for at vektoren skal forbli uforandret. Det følger fra
når man benytter at
som erKronecker-deltaet. En vektor er dermed et «geometrisk objekt» uavhengig av koordinatene som benyttes. Det gjelder også for tensorer. På den måten finner man at komponentene til en kovektora =aμeμ må transformere som
Samme argumentasjon kan anvendes på tensorer. Verdien de gir som funksjoner av vektorer må være uavhengig av koordinatsystemet. Ser man for eksempel på en (0,2)-tensor som gir verdienT(u,v) =uμ vν Tμν, kan dette skrives i det nye koordinatsystemet som
der de transformerte komponentene er
På samme måte vil komponenteneTμν for en blandet (1,1)-tensor transformere som[1]
Dette gjelder også for Kronecker-deltaetδμν som kan betraktes som en (1,1)-tensor representert ved elementene tilenhetsmatrisen. De forblir uforandret under et slikt skifte av koordinater.
Hvis man i en blandet tensor som for eksempelTμν setter den øvre indeksen lik med den nedre indeksen, må man summere over denne slik at størrelsenTμμ fremkommer. Under en koordinattransformasjon vil den transformere som
og er derfor uforandret. Fra en rang to tensor har man på denne måten fått frem enskalar størrelse som dermed kan omtales som en (0,0)-tensor eller en tensor med rang null. Det er en vanlig funksjon hvis verdier er invariante under koordinattransformasjoner
Denne operasjonen er her et eksempel på en «kontraksjon» som kan utføres på alle blandete tensorer. Den reduserer rangen til den opprinnelige tensoren med to og benyttes ofte i tensorregningen.
Under en koordinattransformasjon vil produktetuμvν av komponentene til to vektoreru ogv forandres til
Produktet transformerer som komponentene til en (2,0)-tensor som skrives som ettensorprodukt av vektoreneu ogv,
Med bruk av denne notasjonen kan en (2,0)-tensorT uttrykkes ved sine komponenter som
Danner man tensorproduktet mellom denne og en kovektora =aμeμ, fremkommer en (2,1)-tensor
En generell tensor med rangr = p + q kan nå skrives som[4]
I tensorproduktet av basisvektorer tilsvarer hver av dem en åpning for et argument som er enten en vanlig vektor eller en kovektor. Gis denp kovektorer ogq vektorer som argument, blir resultatet
som er et tall. Denne funksjonsverdien er nå uavhengig av hvilket koordinatsystem som benyttes for å angi komponentene til tensoren og vektorargumentene. En kontraksjon av tensorenT fremkommer ved å gi den en basisvektor sammen med en dual basisvektor i samme retning som argument. Tensorens rangr = p + q reduseres dermed med to slik at den resulterende tensoren bare har plass tilr - 2 vektorargument.
I de fleste anvendelser av tensorer vil de virke i vektorrom som har enmetrikkgμν =eμ⋅eν. Det betyr at det eksisterer etindreprodukt mellom to vilkårlige vektoreru ogv slik at
Dette skalare produktet sies å væreinvariant når det er uavhengig av koordinatsystemet som blir brukt. Da mågμν være komponentene til en (0,2)-tensor som fra definisjonen er symmetrisk. Den kalles «den metriske tensoren» og har den generelle formen
Da det skalare produktet er invariant, vilgμν vν transformere som en (0,1)-tensor. Det er derfor konsistent å definere denne ved de kovariante komponentene
slik at den opprinnelige vektorenv gir opphav til kovektorenv =vμeμ. Tilstedeværelsen av en metrikk opphever dermed det strenge skillet mellom kontravariante og kovariante komponenter for vektorer og tensorer. Man har frihet til å selv velge hvilke man vil gjøre bruk av.
Ved å betrakte sammenhengenvμ = gμνvν som en matriseligningen, kan man invertere den og finne de kontravariante komponentene fra de kovariante,
hvor matrisen med komponentenegμν er deninverse matrisen til matrisen med de kovariante komponentenegμν.[3] Det betyr at
På denne måten kan den metriske tensoren også skrives som å de alternative formene
Likedan kan det skalare produktet mellom to vektorer uttrykkes på den ekvivalente måten
og har samme form som det tidligere produktet mellom en vektor og en kovektor. Dette nye, metriske indreproduktet er derfor konsistent med det opprinnelige.
Ved hjelp av den metriske tensoren kan man nå heve og senke indeksene til komponentene for en vilkårlig tensor. For eksempel kan de kontravariante komponenteneTμν til en annenrangs tensor skrives som
og på tilsvarende vis for tensorer av høyere rang og med kovariante indekser.[3] Alle tensorer med rang større enn to kan nå via kontraksjon reduseres til en ny tensor med rang to mindre. For eksempel er kontraksjonen av de kontravariante tensorkomponenteneTμν gitt vedgμνTμν =Tμμ. Igenerell relativitetsteori erRicci-tensoren med rang to en kontraksjon avRiemanns krumningstensor som er av fjerde rang.
En skalar funksjonφ = φ(x) sies å være invariant under en koordinattransformasjonxμ' =xμ'(xν). Verdien til funksjonen forblir den samme i hvert punkt selv om punktet får nye koordinater slik atφ' (x') =φ(x) hvor man skriverφ' for den samme funksjonen uttrykt i de nye koordinatene. Funksjonsverdien er den samme, mens funksjonsformen forandres. Derimot vil denpartielt deriverte ellergradienten av funksjonen forandres,
men på en slik måte at den transformerer som komponentene til en kovektor. Så i dette tilfellet kan man si at derivasjon øker rangen fra null til en når den virker på en funksjon som her kan betraktes som en (0,0)-tensor. I fysikken kalles en slik funksjon for etskalarfelt.
Vektorfeltetu(x) =uμ(x) eμ(x) har kontravariante komponenter som transformerer på den vanlige måten
med en tilsvarende transformasjon av basisvektorene. Den partielt deriverte av disse vektorkomponentene får nå to bidrag,
Det første leddet transformerer på normalt vis som en (1,1)-tensor, mens det siste leddet ikke gjør det og skaper derfor en komplikasjon. Man innfører derfor en ny derivasjonsoperator ∇μ i stedet for den vanlige partiellderiverte operator∂μ = ∂/∂xμ. Den er definert ved at den deriverte ∇λuμ av komponentene til et vektorfelt skal transformere nøyaktig som en (1,1)-tensor, det vil si
Da det kompliserende leddet i den deriverte av vektorkomponenten inneholder en lineærkombinasjon av alle komponentene, vil den nye deriverte ha formen
hvor størrelsene Γμνλ og kalles forkonneksjonskoeffisienter og kan uttrykkes ved transformasjonsmatrisene mellom de to koordinatsystemene. Da vil man se at de ikke transformerer som en tensor av tredje rang, men er derimot komponentene til et geometrisk objekt som må innføres for å kunne derivere vektorer og tensorer på en veldefinert måte. Dette kalles vanligvis for «konneksjonen» for den underliggendemangfoldigheten.[4]
Den kovariante deriverte av en kovektora(x) =aμ(x) eμ(x) kan finnes ved å derivere kontraksjoenaμuμ, som er en skalar størrelse, melloma og vektorenu. Da finner man at
Utfra dette kan også beregne kovariante deriverte av høyere rangs tensor. Det er da noen ganger vanlig å skrive den på den alternative måten∇λaμ =aμ;λ som kalles en «semikolonderivert». Det er på samme måte som at den vanlige partielderiverte ofte skrives som en «kommaderivert»∂λaμ =aμ,λ. For eksempel, den kovariant deriverte av en (2,0)-tensor blir nå
som utgjør komponentene til en (2,1)-tensor. Hver kovariant derivasjon øker rangen med en.
Kovariant derivasjon kan også defineres på en litt annen måte slik at den virker direkte på tensoren og ikke på dens enkelte komponenter. Virkningen skal være slik at derivasjonen gir en tensor av samme rang. Den kovariant deriverte av en vektor skal derfor være en ny vektor. Betegner man denne operasjonen med symbolet∇λ når det virker i retningλ, skal virkningen på et produkt av to tensorerR ogS oppfylle «Leibniz' lov»
som er et vanlig krav til allderivasjon. Når den virker på en skalar funksjonf(x), har den samme effekt som vanlig partiell derivasjon. Med en tensorT(x) er da
Når man skriver en vektoru uttrykt ved sine komponenter somu =uμeμ , vil disse nå opptre som skalare funksjoner, mens det er basisvektoreneeμ som gir dette geometriske objektet vektorkarakter. Den kovariante deriverte av denne vektoren vil da ha formen
Overensstemmelse med den forrige definisjonen av den kovariante deriverte fås nå ved å innføre konneksjonskoeffisientene ved den fundamentale forbindelsen
Derved blir
når man bytter om summasjonsindekseneμ ogν i det siste leddet. Uttrykt ved den tidligere deriverte, er derfor nå
På samme måte kan man nå finne den deriverte av kontravariante tensorer av høyere rang.
Ved å ta den kovariante deriverte av den fundamentale kontraksjonen, finner man at
Den deriverte av en kovektor blir derfor
mens den kovariant deriverte av en blandet tensor av andre rang blir
På denne måten kan den kovariant deriverte av en tensor med vilkårlig høy rang beregnes.
Når den underliggende mangfoldigheten har en metrikk, kan kontravariante komponenter av en tensor beregnes direkte fra de kovariante og omvendt. Dette vil ha konsekvenser for hva slags konneksjonskoeffisienter som kan benyttes ved kovariant derivasjon. Betrakter man igjen en tensor av rang to, vil da
som betyr at
I dette tilfellet må derfor den kovariante deriverte kommutere med metrikken, det vil si
Denne betingelsen er ikke nok til å bestemme konneksjonskoeffisientene. Men eksistensen av en metrikk tilsier vanligvis at den underliggende geometrien til mangfoldigheten erriemannsk. Det betyr igjen at konneksjonskoeffisientene er symmetriske i de to nedre indeksene,Γμσρ = Γμρσ. Når disse kravene er oppfylt, har man enLevi-Civita-konneksjon.[1] Den følger nå fra å skrive ut den kovariante deriverte av metrikken,
hvor den partiellderiverte er skrevet som en kommaderivasjon. Benytter man de to andre ligningene som følger ved syklisk ombytte av indeksene, følger så atΓλμν =gλσΓσμν hvor
kalles etChristoffel-symbol av første sort. Tilsvarende er Γλμν et slikt symbol av andre sort. De er begge symmetriske i de to siste indeksene og ble først innført i forbindelse med beregning avRiemanns krumningstensor som dermed lot seg gjøre å skrive på en mer kompakt måte.
Divergensen av en vektoru er en skalar størrelse som i tensoranalysen er definert som kontraksjonen til den kovariante deriverte til vektoren,
Fra definisjonen av dette Christoffel-symbolet ser man at de to siste leddene kansellerer da metrikken er symmetrisk. Dermed blir det
Dette kan forenkles ytterligere ved å benytte at de kontravariante komponentenegμν er definert å være elementene i enmatrise som er invers til matrisen med komponentenegμν.Determinanten til denne matrisen kan skrives som
hvorγμν erkofaktoren til elementetgμν. Her er indeksenμ vilkårlig, men skal ikke summeres over. Sammenlignes denne summen med definisjonen avgμν, ser man at
Dermed er
slik at
Benyttes nå dette resultatet i divergensen, tar denne den mer kompakte formen[2]
Når metrikkengμν er diagonal, er dette i overensstemmelse med hva som kommer frem ved en tilsvarende beregning ikrumlinjete koordinater.
Laplace-operatoren ∇2 er definert som divergensen tilgradienten til en skalar funksjon. Kalles denne Φ(x), er gradienten gitt ved kovektorenu =eμ∂μΦ som har de kontravariante komponenteneuλ = gλμ∂μΦ. Dermed tar Laplace-operatoren i tensoranalysen den generelle formen
som kan benyttes i alle koordinatsystem og ble først funnet avEugenio Beltrami. I slike sammenhenger blir den da noen ganger angitt ved symbolet Δ.
Et typisk eksempel er bruk avkulekoordinater (r,θ,φ). De kovariante komponentene avmetrikken er da
Da denne matrisen er diagonal med √g =r2sinθ, finnes de kontravariante komponentene direkte fra de inverse elementene somgrr = 1,gθθ = 1/r2 oggφφ = 1/r2sin2θ. Den generelle formen for Laplace-operatoren gir dermed
Innføring av tensorer kan føres tilbake tilBernhard Riemann og hans etablering av en generell beskrivelse avikke-euklidske rom som han i1854 fremla i etHabilitasjonsforedrag. Det ble publisert i 1868 og dermed kjent for et videre publikum. Den matematiske formalismen som han hadde bygd opp i denne forbindelsen, ble presentert i en avhandling pålatin omvarmeledning han skrev i 1861 i en priskonkurranse utlyst avdet franske vitenskapsakademiet, men som først ble offentliggjort i 1876 etter hans død. På den måten var grunnlaget for hva som i dag omtales somRiemanns differensialgeometri, ferdig oppstilt.[5]
Det sentrale objektet i Riemanns geometri var enkvadratisk form som i dag omtales som den metriske tensor. Selve begrepet «tensor» kom ikke i bruk før helt på slutten av det århundret, og da i forbindelse med de fysiske egenskapene tilkrystaller. Riemann hadde vist at et rom eller generellmangfoldighet kunne beskrives vedeuklidsk geometri bare når visse størrelser som han betegnet med symbolet, var null. Innholdet i parentesen bestod av firearabiske bokstaver som kunne ta verdiene 1,2,...,n hvorn erdimensjonen tilrommet. Disse størrelsene sier man i dag er komponentene tilkrumningstensor. Han kom frem til dette resultatet ved å benytte hjelpestørrelsene som tilsvarer det første Christoffel-symbolet.[6]
En av de første matematikere som tok opp Riemanns nye idéer, varEugenio Beltrami. Han studerte spesielt de mangfoldighetene som er beskrevet ved Riemann-geometri som har konstantkrumning. Det ga en bedre forståelse avhyperbolsk geometri i høyere dimensjoner. Omtrent samtidig i 1869 publiserteElwin Bruno Christoffel to arbeid hvor han undersøkte hvordan Riemanns resultat forandret seg under koordinattransformasjoner. Det er akkurat denne oppførselen som senere skulle vise seg å karakterisere tensorer. Det var også her han innførte sine nye symbol for de størrelsene Riemann hadde brukt.[5] I stedet for definerte han
hvor indeksene nå er greske i stedet for arabiske. Senere ble dette også skrevet som, kanskje ut fra typografiske hensyn. Dette er Christoffels første symbol og tilsvarer i moderne notasjon. Hans andre symbol er
og tilsvarer. Alternativt kan man i eldre litteratur se dette symbolet skrevet som.[7] Komponentene til Riemanns krumningstensor ble i samme notasjon skrevet som.
Etter bidragene til Beltrami ble Riemannsk geometri videre utforsket spesielt vedScuola Normale Superiore iPisa. Her haddeGregorio Ricci Curbastro studert og etter at han ble ansatt ved universitetet iPadova, bidro han med flere viktige arbeid angående bruk av tensorer idifferensialgeometri. Det ble etterhvert navnet for denne mer generelle geometrien. Ricci utvidet forståelsen av kovariant derivasjon og spesielt dennes virkning på komponentene til en tensor. Da resultatene var gyldig i alle koordinatsystem, ble denne nye matematikken kalt for «absolutt differensialregning» ellerRicci-kalkulus.[8] I flere arbeid viste han den praktiske nytte av tensoranalysen og hvordan fysiske lover kunne skrives på en koordinat-uavhengig måte ved bruk av tensorer.
Sammen med sin tidligere studentTullio Levi-Civita, ble alt dette samlet i en større verk som kom ut i 1900.[9] I de følgende årene fikk det stor betydning og gjorde tensoranalysen kjent. Det er også her at den moderne notasjonen stammer med øvre indekser for kontravariante og nedre indekser for de kovariante tensorkomponentene.
Senere viste Levi-Civita hvordan kovariant derivasjon er forbundet med muligheten for å definere parallelle vektorer i krumme rom. Dette førte i sin tur til en mer generell forståelse av «konneksjon» på en mangfoldighet, noe som i ettertid har knyttet Levi-Civitas navn til dette begrepet. I moderneelementærpartikkelfysikk tilsvarer en konneksjon et «gaugefelt», mens en koordinattransformasjon spiller samme rolle som engaugetransformasjon.
DaEinstein arbeidet med å utvikle singenerelle relativitetsteori, manglet han i begynnelsen et matematisk begrepsapparat som kunne sammenfatte hans idéer. Men da han i1912 ble ansatt vedden tekniske høyskolen ETH iZürich, fikk han hjelp avMarcel Grossmann som var matematiker ved samme institusjon. Deres samarbeid viste etter kort tid at tensoranalysen som utviklet av Christoffel, Ricci og Levi-Civita, var ideell for dette formålet. Det var også de som i sine arbeid gjorde navnettensor kjent i stedet for det mer almene ordetsystem som var brukt av de italienske matematikerne. Den fundamentale størrelsen både i Riemannsk geometri og generell relativitetsteori er den metriske tensorengμν. Også denne betegnelsen ble innført av Einstein og Grossmann.[10] MedEinsteins summekonvensjon fra denne tiden ble også all annen notasjon gjort mer kompakt og oversiktlig. For eksempel, komponentene til Riemanns krumningstensor er gitt ved
Gjennom sine arbeid hadde Ricci og Levi-Civita vist at man i hvert punkt på en krum mangfoldighet kunne opprette et ortogonalt aksekors. På tysk omtales det som etvielbein ellervierbein hvis dimensjonen er fire som i generell relativitetsteori. Ved å benytte tensorkomponentene utregnet i slike aksekors kunne ofte beregninger forenkles og knyttes tettere til fysiske størrelser.
Med et litt annet utgangspunkt ble noe tilsvarende lansert av den franske matematikerÉlie Cartan rundt århundreskiftet. Han undersøkte hvordan slike aksekors forandret seg fra punkt til punkt og kalte dem forrepère mobile. Dette var en generalisering av lignende aksekors som tidligere var benyttet avFrenet ogSerret for beskrivelse avkurver i det euklidske rommet. I utgangspunktet er denne betraktningsmåten uavhengig av metrikken til mangfoldigheten og derfor mer generell enn tidligere formuleringer. I stedet for kovariant derivasjon opptrer nå «ytre derivasjon» som virker pådifferensielle former. Disse er nye, geometriske objekt med komponenter som tilsvarer antisymmetriske tensorer.[11]
Den nye differensialgeometrien til Cartan er mer abstrakt og derfor også mer kompakt enn den vanlige bekrivelsen med bruk av tensorer. Men beregningsmessig er den ofte mer effektiv og er idag en sentral del av moderne matematikk og teoretisk fysikk.[4]
