En vanlig skrivemåte for et slikt trippel er, med tallene ordnet i stigende rekkefølge. Et velkjent eksempel er (3,4,5).Ved å kreve heltallsløsninger blir Pytagoras ligning en ikkelineærdiofantisk ligning.
Navnet «pytagoreisk trippel» har opphav i den greske matematikerenPytagoras ogPytagoras’ læresetning. Dersom alle sidelengdene i enrettvinklet trekant er heltallsverdier, så danner sidelengdene et pytagoreisk trippel dera ogb utgjør katetene ogc hypotenusen. Omvendt vil en trekant med sidelengder lik et pytagoreisk trippel være rettvinklet. Mens hypotenusenc alltid er etoddetall, vil de to katetenea ogb alltid være et like og et ulike tall.
I etprimitivt pytagoreisk trippel har tallene, og ingen felles faktorer. Det eksisterer flere formler for å konstruere pytagoreiske tripler, bådeprimitive og ikke-primitive.
Dersom er et pytagoreisk trippel, så vil også være det, for et vilkårlig heltall. Fra dette følger det automatisk at det finnes uendelig mangepytagoreiske tripler. Dersom de tre tallene,, og ikke har noen felles faktor, så kalles de tre tallene for etprimitivt trippel.[2] Tallene er darelativt primiske. Mens (3, 4, 5) er et primitivt trippel, er (6, 8, 10) et trippel med en felles faktor 2.
Formler for å konstruere pytagoreiske tripler har vært kjent i svært lang tid. I bok X avEuklidsElementer beskrives hvordan man kan beregne pytagoreiske tripler.[3] I moderne notasjonen tilsvarer denne fremgangsmåten uttrykket
hvor og er to vilkårlige, positive heltall som ikke begge er oddetall. Dessuten er, og de to tallene skal ikke ha noen felles faktor.
En lignende formel var tidligere funnet avPytagoras,
derm er etoddetall. En lignende formel ble foreslått avPlaton ved å doble sidelengdene i Pytagoras' formel og så tillate både like og ulike verdier for heltalletm. Begge formlene er spesielle utgaver av den mer generelle formelen til Euklid.[4]
En enkel omforming av ligningen for et pytagoreisk trippel gir
Å finne pytagoreisk tripler svarer altså til å finne et punkt påenhetssirkelenx 2 +y 2 = 1, der koordinatene er gitt ved torasjonale tall.[5]
Slike rasjonale punkt på enhetssirkelen kan finnes ved å skjære den med enrett linjey =t (x + 1) gjennom punktet (-1,0) og med etstigningstallt som er er rasjonalt tall. Innsatt i sirkelligningen, finner man dermedx-koordinaten til skjæringspunktet fra
Bortsett fra den trivielle løsningenx = -1, er den andre løsningen
.
Ved å uttrykke det rasjonale tallett ved to heltallu ogv somt =v/u, får man fra denne løsningen (x,y) = (a/c,b/c) at
som er innholdet av Euklids formel for pytagoreiske trippel.[6]
Hypotenusenc i en rettvinklet trekant med sider gitt ved et pytagoreisk trippel (a,b,c) er alltid et oddetall. Mange av dem erprimtallp. De ti første erp = 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73 og 89. De kalles for «pytagoreiske primtall» og er alle på formen 4n + 1 hvorn et etnaturlig tall. Det som gjør dem spesielle, er at hvert av dem kan skrives på en entydig måte som summen av to kvadrat,
i overensstemmelse med Euklids formel. For eksempel er 5 = 12 + 22 og 89 = 52 + 82.
Generelt er summen av et kvadrert liketall og et kvadrert oddetall av formen 4n + 1 eller 4n + 3 dern et et naturlig tall. Allerede rundt 1640 påpekteFermat at primtall av formen 4n + 1 kan skrives som summen av to kvadrat.[6]
Pytagoreiske tripler er løsninger av den diofantiske ligningen
når.Pierre de Fermat skrev i 1637 i margen til en bok at han hadde funnet et bevis for at ligningen ikke har løsninger for, uten senere å gi noe bevis. Påstanden er i ettertiden kaltFermats siste teorem. Et bevis for dette teoremet ble først gitt avAndrew Wiles i 1994.
