Plücker-koordinater beskriver retningen og posisjonen til en vilkårlig,rett linje i det tredimensjonalerommet. De utgjør sekshomogene koordinater som benyttes iprojektiv geometri. Da de tilfredsstiller en ekstra betingelse, er der fire slike uavhengige koordinater for linjer i tre dimensjoner.
Linjekoordinater ble innført avJulius Plücker på midten av 1800-tallet. En viktig anvendelse er å kunne beskrive hvordan linjer i rommet er plassert i forhold til hverandre. Det er en grunn for at de i dag benyttes innenrobotikk,digital fotografering ogdataassistert konstruksjon.
Ved å ta i bruk metoder fra projektiv geometri som kan føres tilbake tilHermann Grassmann, kan lignende koordinater innføres til å beskrive hvordan forskjelligeunderrom kan legges inn i rom med høyere antalldimensjoner enn tre.
En rettlinje i tre dimensjoner er entydig gitt ved å angi to punkt med koordinaterx = (x1,x2,x3) ogy = (y1,y2,y3) som ligger på den. Av det kunne man tro at det behøves seks koordinater eller parametre for å gi dens plassering og retning i rommet. Men hvis koordinatene til det ene punktet forandres på en slik måte at det ligger på den samme linjen, behøver man i alle fall ikke mer enn fem koordinater.
Det riktige antallet er fire. Det kan man se ved å angi retningen til linjen ved retningen til en parallell linje gjennom origo. Til det trenges to koordinater. For å bestemme dens posisjon, kan man gi dens skjæringspunkt med et plan gjennom dette punktet og normalt på linjen. Det krever to nye koordinater. Tilsammen behøves det derfor fire uavhengige parametre. Alternativt kunne man brukt skjæringspunktene mellom linjen og to gitte plan. De er gitt ved de to koordinatene i hvert plan, det vil si ialt fire koordinater. Plücker valgte å benytte skjæringspunktene i to av de trekartesiske koordinatplanene.[1]
Punktenex ogy kan betraktes somposisjonsvektorer i et tredimensjonalt,euklidsk romE3. Retningen til linjen mellom disse to punktene er gitt ved vektorend =y -x. For å kunne angi dens posisjon i rommet, kan man benyttekryssproduktetm =x × y. Det representerer arealet avtrekanten som de to punktene danner sammen med origo. Vektorenm stårvinkelrett på dette planet, og man hard ⋅ m = 0. Men da arealet av trekanten også er gitt ved lengden avd multiplisert ved avstanden fra origo til linjen, vilm også inneholde informasjon om denne avstanden i rommet.[2]
Plückers sekslinjekoordinater er nå gitt som
De er ikke alle uavhengige av hverandre da de må tilfredsstille ligningend⋅m = 0. På komponentform gir denPlücker-betingelsen
som er identisk oppfylt for alle verdier av koordinatene. Men i tillegg er de uavhengig av nøyaktig hvilke punktx ogy man velger på linjen. Med et annet valgx' =x +α d ogy' =y +β d slik at retningsvektorend forandres tild' = (1 +β -α)d. Samtidig vil avstandsvektorenm forandrestil(x +α d) × (y +β d) som ved direkte utregning girm' = (1 +β -α)x × y. Begge vektorene multipliseres derfor med samme konstant slik at Plücker-koordinatene erhomogene av samme type som benyttes iprojektiv geometri. Disse to egenskapene ved de seks Plücker-koordinatene betyr at bare fire av dem kan variere fritt.
To linjer med Plücker-koordinater (d : m) og (d' : m' ) som skjærer hverandre, definer et plan. Legger man origo til i koordinatsystemet i deres skjæringspunkt, kan man vise at deres linjekoordinater må være knyttet sammen ved ligningen
Da denne må være uavhengig av hvordan origo legges, må den være generelt gyldig og kan benyttes for å sjekke om linjene er koplanare.[2]
Når man er gitt Plücker-koordinatene (d : m), kan man lett finne linjens parameterform ved å ta utgangspunkt i dens minste avstand fra origo. Den opptrer for et punktx0 på linjen som er karakterisert ved atd⋅x0 = 0 da disse to vektorene står vinkelrett på hverandre. Dette punktet må som alle andre punkt på linjen oppfyllex × d =m. Ved å kryssmultiplisere medd finner man dermed for punktet som har den minste avstanden,
Siden retningen til linjen er gitt ved vektorend, kan dens Plücker-koordinater benyttes til å skrive den påstandard form som
derλ er en parameter.
Med flere linjer tilstede kan man på lignende måte beregne deres relative beliggenhet og avstander fra Plücker-koordinatene. Ofte gir dette en mer direkte fremgangsmåte enn med mer konvensjonelle metoder.[3]
En linje som har en retningsvektor med lengded = |d| = 0, har en avstand fra origo som formelt er uendelig stor. Den sies å ligge i det uendelige fjerne. Selv om slike linjer vanligvis har liten praktisk interesse, kan de likevel behandles på samme måte som linjer med endelig avstand ved å tenke seg at de befinner seg i etprojektivt rom. På den måten kan man utvide deteuklidske rommetE3 hvor hvert punkt har koordinaterx = (x1,x2,x3), til det tredimensjonale, projektive rommetRP3 hvor hvert punkt har fire koordinater,X = (x,x4). Disse erhomogene slik at effektivt er dette rommet også gitt ved tre, uavhengige koordinater. Punkter i det euklidske rommet kan da gjenfinnes ved å settex4 = 1.
De homogene koordinatene til punktetX = (x1,x2,x3,x4) iRP3 kan betraktes som å gi retningen til en linje gjennom origo i det euklidske rommetE4. Likedan er en linje iRP3 bestemt av et todimensjonalt plan gjennom origo iE4. Dette skjærer planetx4 = 1 i det som kan betraktes som den euklidiske delen av linjen.[4]
Denne sammenhengen gjør det mulig å karakterisere en generell linje i tre dimensjoner ved koordinatene som spesifiserer et plan gjennom origo iE4. Et slikt plan som tilsvarer en linje gjennom de euklidske punktenex ogy, er definert ved det antisymmetriskeytreproduktetX ∧ Y. Hvis nåe1,e2,e3 oge4 erbasisvektorer iE4, blir denne bivektoren
og derfor har komponenter
De utgjør en antisymmetrisk, 4×4matrise hvor alle diagonale komponenter er null og kallesPlücker-matrisen.
For en euklidsk linje mellom punktenex ogy som begge har fjerde komponentx4 =y4 = 1, gjenfinner man dermed de tidligere Plücker-koordinatene. Retningsvektoren er gitt somd = (P41,P42,P43), mens de resternde komponentene utgjør avstandsvektorenm = (P23,P31,P12).
Planet som bivektorenX ∧ Y definerer, kan likså godt formes av to andre vektorer som ligger i samme planet. Disse er da gitt som lineærkombiniasjoneneX' =α X +β Y ogY' =δ X +γ Y. Deres kileprodukt gir nå en ny bivektor
når man benytter at kileprodukteneX ∧ X =Y ∧ Y = 0. Alle komponentene vil dermed blir multiplisert ved den samme konstanten, uten at bivektorens geometriske innhold forandres. De seks Plücker-koordinatene er derfor homogene koordinater i et projektivt romPR5. Hver linje i det tredimensjonale rommet tilsvarer derfor et punkt i dette femdimensjonale rommet.[3]
Plücker-matriseneP' som tilsvarer de to vektoreneX' ogY' i samme planet somX ogY, vil nå måtte oppfylleP ∧ P' = 0. Da dette kileproduktet bare har en komponent i retninge1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4, må den være null. Ved direkte utregning finner man da at
Ved here å sette innP = (d : m) og tilsvarende forP', kan dette skrives somm⋅d' +m'⋅d = 0. Det er betingelsen for at de to tilsvarende, tredimensjonale linjene skal ligge i samme planet.
På samme måte må man for en og samme linje ha atP ∧ P = (X ∧ Y)∧(X ∧ Y) = -Y ∧ X ∧ X ∧ Y = 0. Ved å setteP =P' i resultatet forP ∧ P' må Plücker-koordiantene oppfylle
Denne ekstra betingelsen er ekvivalent medd ⋅ m = 0 i det euklidske rommetE3. Når man derfor betrakter de seks komponentene til Plücker-matrisenP som homogene koordinater for et punkt i det femdimensjonale rommetPR5, vil bare de punktene som oppfyller denne ekstra betingelsen tilsvare en linje i det tredimensjonale rommet. De tillatte punktene danner derfor et firedimensjonalt underrom. Da det er gitt ved enkvadratisk ligning som koordinatene må oppfylle, kalles det vanligvis forKlein-kvadrikken etterFelix Klein.[5]
Man kan få et bedre bilde av denne firedimensjonale kvadrikken ved å benytte et nye koordinater som ble innført av Klein.[6] Da Plücker-koordinatene er antisymmetriske, kan man skriveP23 =p +q,P41 =p -q,P31 =s +t,P42 =s -t,P12 =u +v ogP43 =u -v. Plücker-betingelsen tar da formen
som er ligningen for Klein-kvadrikken iPR5. Den kan derfor oppfattes som definert ved de to ligningenep 2 +s 2 +u 2 =R 2 ogq 2 +t 2 +v 2 =R 2 derR er en parameter. Da hver av disse beskriver en todimensjonal kuleflate S2, kan man tenke seg Klein-kvadrikken som den firedimensjonale mangfoldigheten S2× S2. Det må forstås på lignende måte som at en todimensjonaltorus eller smultring kantopologisk betraktes som produktet S1× S1 av to sirkler.[5]
Den firedimensjonale Klein-kvadrikken er et eksempel på det som i dag omtales som en Grassmann-mangfoldighet etterHermann Grassmann. Den kom frem ved å betrakte vilkårlige linjer iE3 som ekvivalent med todimensjonale plan gjennom origo iE4. Man kan derfor betegne dennemangfoldigheten somGr(2,4) for å klargjøre at den kommer frem ved å betrakte alle 2-dimensjonale underrom i et 4-dimensjonalt vektorrom. Det er herE4, men kunne likså godt værtR4 da man ikke behøver det euklidskeindreproduktet.[7]
En generell Grassmann-mangfoldighetGr(k,n) er definert som mangfoldigheten av allek-dimensjonale underrom i etn-dimensjonalt vektorrom. Det kan væreRn ellerCn hvisvektorrommet erkomplekst. Hvis det reelle vektorrommet benyttes, vil derforGr(1,n) =RPn - 1 som er det (n - 1)-dimensjonale,projektive rommet definert ved alle linjer som går gjennom origo iRn. Kanskje det mest kjente eksempel erGr(1,3) som er detprojektive planet. Da hvert plan i et tredimensjonalt vektorrom kan angis ved vektoren vinkelrett på planet, vilGr(2,3) ogGr(1,3) være de samme og betraktes som kuleflater der motsatte punkt identifiseres med hverandre.[7]
Hvertk-dimensjonalt underrom iRn kan angis vedk lineært uavhengige vektorerv1,v2, ... ,vk. Deresytre produkt tilhører vektorrommet Λk(Rn) av den tilsvarendeGrassmann-algebraen. Vektorrommet har en dimensjon gitt vedbinomialkoeffisientenC(k,n) som dermed også angir antall, generaliserte Plücker-koordinater som karakteriserer et slikt underrom. De inngår som elementer i enk ×k Plücker-matrise. For Plückers opprinnelige koordinater varn = 4 ogk = 2, som girC(2,4) = 4!/2!⋅2! = 6.
Beskrivelsen av underrommet må være uavhengig av valg av basisvektorer i dette rommet. Det medfører at disse koordinatene er homogene da alle komponentene forandres med den samme størrelsen ved et slikt basisskifte. Hvert underrom tilsvarer derfor et punkt i et projektivt romRPN med dimensjonN =C(k,n) - 1. Men i det generelle tilfellet vil det også være et visst antall Plücker-betingelser som må være oppfylt. Tar man hensyn til disse, er antall uavhengige koordinaterk(n -k) som dermed er dimensjonen til Grassmann-mangfoldighetenGr(k,n). Fork = 2 ogn = 4 gir dette 4 som er i overensstemmelse med dimensjonen til Klein-kvadrikken.[8]