De Broglies bølgelengde er ikvantefysikken enbølgelengde som kan tilordnes alle massive partikler som beveger seg. Enhver slik partikkel er derfor knyttet til en tilsvarendemateriebølge. Denne fundamentale egenskapen danner grunnlaget forbølge-partikkel-dualiteten som er det sentrale innholdet av bådekvantemekanikken ogkvantefeltteorien.

For en partikkel medimpulsp er de Broglies bølgelengde

${\displaystyle \lambda =\frac{h}{p}}$

hvorh erPlancks konstant. Formelen er også gyldig når partikkelen beveger seg medrelativistiske hastigheter som nærmer seglyshastigheten.

Dette uttrykket for bølgelengden ble utledet av denfranskefysikerLouis de Broglie i 1924 basert på lovmessigheter som tidligere var funnet avMax Planck ogAlbert Einstein. Bare noen få år senere ble denne bølgeegenskapen ved partikler eksperimentelt påvist veddiffraksjon avelektroner som ble sendt motkrystaller. Nøyaktige målinger som også omfattet andre partikler, bekreftet innholdet i den matematiske formelen til de Broglie.

Enbølgeligning for slike materiebølger ble utledet av denøsterrikske fysikerErwin Schrödinger i 1926. Den gjelder for ikke-relativistiske partikler. For relativistiske partikler medspinnS = 1/2 gjelderDirac-ligningen, mens relativistiske partikler uten spinn er beskrevet vedKlein-Gordon-ligningen. Denne ble også først funnet av Schrödinger, men forkastet da den ikke syntes å stemme med egenskapene tilhydrogenatomet.

Allerede i1905 haddeAlbert Einstein foreslått at energien i en lysbølge med frekvensν er konsentrert i småkvant med energiE = hν hvorh erPlancks konstant. Dette forklarte egenskaper ved denfotoelektriske effekt, og han ble for dette belønnet medNobelprisen i fysikk i1921. Da var det blitt klart at disse kvantene måtte betraktes som vanlige partikler da Einstein hadde vist at de også har en veldefinertimpulsp = h/λ hvorλ = c/ν er bølgelengden til lyset. Disse lyspartiklene kalles i dag forfotoner.^[1]

I sin opprinnelige utledning betraktet de Broglie en partikkel med massem i sitt hvilesystem. Som følge av Einsteinsmasseenergilov har partikkelen derfor energienE = mc². Ved å anta at hva som gjelder for et foton også må gjelde for en partikkel, kunne han dermed tilordne denne partikkelen en frekvens som generelt må væreν = E/h og representerer enoscillasjon i partikkelen. Når den så beveger seg, viste han ved bruk av denspesielle relativitetsteorien at den blir fulgt av enbølge i samme retning og medbølgelengdeλ = h/p. Her erpimpulsen til partikkelen som generelt kan skrives somp = γmv når den har hastighetv ogγ = 1/√(1 -v²/c²) erLorentz-faktoren. De Broglies bølgelengde er derfor

${\displaystyle \lambda =\frac{h}{mv}\sqrt{1-v^2/c^2}}$

Denne materiebølgen har enfasehastighetu =λν  =E/p der energien nå erE =γmc², for partikkelen i bevegelse. Fasehastighten til bølgen er derfor i alminnelighet forskjellig fra partikkelens fysiske hastighetv og er gitt somu = c²/v. Den er alltid større enn lyshastigheten. Kun for fotonet medv = c blir fasehastigheten den samme som partikkelhastigheten.^[2].

Samme fasehastighet ble funnet avHamilton i hansbølgebeskrivelse avklassisk mekanikk. Selv om hans utgangspunkt var ganske annerledes enn de Broglies, skulle det vise seg at hans betraktninger likevel skulle spille en viktig rolle i den videre utvikling av kvantemekanikken.

Materiebølgen for en partikkel med impulsp har en bølgelengdeλ = h/p og derfor etbølgetallk = 2π /λ. Det kan skrives somk = p/ħ  derħ = h/2π  er den redusertePlanck-konstanten. Da bølgen beveger seg i samme retning som impulsvektorenp, er den tilsvarende bølgevektoren gitt somk =p/ħ.Vinkelfrekvensenω = 2π ν  til bølgen kan på samme måte skrives somω = E/ħ  daν = E/h.

I denspesielle relativitetsteorien utgjør energienE og impulsenp til en fri partikkel enfirevektor som blir

${\displaystyle p^{\mu }=(E/c,\mathbf{p})=\hslash (\omega /c,\mathbf{k})=\hslash k^{\mu }}$

hvor bølgefirevektorenk^μ  karakteriserer dens materiebølge. Denne kovariant sammenhengen mellom impuls og bølgetall gjelder også for etfoton som har null masse. Enplan bølge på formen

${\displaystyle \mathrm{\Psi }(\mathbf{x},t)=e^{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}-\omega t)}=e^{i(\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}-Et)/\hslash }}$

beskriver derfor likså godtelektromagnetiske bølger som materiebølger. Her kan nå fasen til bølgen skrives påkovariant form somk^μx_μ  der firevektorenx^μ = (ct,x) og man benytterEinsteins summekonvensjon og summerer over like indekser.

Materiebølgene som de Broglie foreslo, skulle være like fysiske somelektromagnetiske bølger for fotonet. Men når bølgen har en gitt bølgelengde tilsvarende en gitt impuls for partikkelen, strekker den seg ut over hele rommet, mens partikkelen har en bestemt posisjon. Denne konflikten omtales som enbølge–partikkel-dualitet.

For å forstå hvordan en lokalisert partikkel kan beskrives ved hjelp av bølgeformalismen, forslo de Broglie at den skulle tilsvare enbølgepakke av plane bølger. En slik pakke beveger seg med engruppehastighetv_g = dω/dk  som nå kan skrives somv_g = dE/dp.

For enrelativistisk partikkel er sammenhengen mellom energi og impuls i alminnelighet

${\displaystyle E^2=p^2{c}^2+m^2{c}^4}$

Derfor erEdE = c²pdp slik at gruppehastigheten blirv_g =c²p/E. Nå kan man i alminnelighet også skrive energien somE =γmc² og impulsen somp = γmv slik at gruppehastigheten blirv_g =v og er lik den fysiske hastigheten.

Uttrykketc²p/E  for gruppehastigheten gjelder også for en ikke-relativistisk partikkel som har hastighetv << c  slik at dens energi blir

${\displaystyle E=m{c}^2+\frac{p^2}{2m}}$

Dropper man her hvileenergienmc², er fortsatt gruppehastighetenv_g = dE/dp = p/m = v. Men fasehastigheten til bølgen blir dau = E/p =p/2m =v/2 og er derfor mindre enn lyshastigheten. Vanligvis har et konstant tillegg til energien ingen konsekvens i ikke-relativistisk fysikk. Men at det ikke gjelder for disse materiebølgene, er en annen indikasjon på at de ikke kan ha en virkelig eksistens.^[3]

Allerede i sine første arbeid i 1923 diskuterte de Broglie muligheten for at bølgeegenskapene til materielle partikler kunne påvises eksperimentelt vedinterferens ellerdiffraksjon som for mer vanlige bølger. Slike effekter avhenger sterkt av bølgelengden som blir spesielt stor for lette partikler. Etelektron med massem  som blir akselerert ved å gjennomløpe enelektrisk potensialforskjellV, får en impuls gitt vedeV =p²/2m  der -e er den elektriske ladningen til elektronet. Dermed får den tilsvarende materiebølgen bølgelengden

${\displaystyle \lambda =\frac{h}{\sqrt{2meV}}=\frac{1.23}{\sqrt{V}}\text{nm}}$

når spenningsforskjellenV måles iVolt. For eksempel, nårV = 100 V, blir bølgelengden 0.123 nm = 1.23 Å. Dette er av samme størrelsesorden som avstanden mellom de regulært plasserteatomene i enkrystall. De kan derfor benyttes til å påvise bølgeegenskapene til en elektronstråle på samme måte som for spredning avrøntgenstråling.^[4]

Bruk av elektronstråler i mikroskop gjør det mulig å se mindre detaljer i et mikroskop. Mens et elektron med enkinetisk energi på 100 eV, kan skille to punkt med en avstand 0.123 nm, vil bruk av elektromagnetisk stråling med fotoner av samme energi kun gi en oppløsning på 12.4 nm. Det er derforelektronmikroskop gjør det mulig å studere de aller minste egenskaper i forskjellige materialer.

Den aller første påvisning av bølgeegenskapene til elektroner ble gjort av de amerikanske fysikerneClinton Davisson ogLester Germer i perioden 1925-1927. Uavhengig av dem ble en lignende undersøkelse utført av den engelske fysikerGeorge Thomson omtrent på samme tid. Han var sønn avJ.J. Thomson som oppdaget elektronet i1897. De Broglie kunne presentere deres verifikasjon av den teoretiske bølgelengden allerede påSolvaykonferansen i 1927. Han fikkNobelprisen i fysikk i1929 for sin teori om materiebølger, mens Davisson og Thomson delteNobel-prisen i fysikk i1937 for deres eksperimentelle påvisning.^[1]

I årene som fulgte ble avbøyning av tyngre partikler somnøytroner og forskjelligeatomer observert og funnet å stemme med de Broglies forutsigelser.^[2]. Bølgeegenskapene ser ut til å være tilstede for alle partikler, uavhengig av deres masse. I nyere tid har man til og med påvist dette hosbuckminsterfullerenet C₆₀ som består av sekstikarbonatom. Det ble gitt en hastighet på om lag 120 m/s som tilsvarer en bølgelengde på4.6×10^-3 nm. Partiklene ble sent mot etgitter laget av stående lysbølger med en gitteravstand på257 nm. En avbøyning på 18 μrad ble observert i full overensstemmelse med de Broglies formel.^[5]

Idéene til de Broglie vakte stor interesse. Ved en forelesning iZürich nevnte den nederlandske fysikerDebye at når det finnes en bølgelengde, må det også finnes enbølgeligning.Erwin Schrödinger hørte dette og gikk i gang med å finne en slik ligning.^[6] Han tok utgangspunkt iHamiltons formulering avklassisk mekanikk som han mente kunne være en slags approksimasjon til en underliggende bølgemekanikk.

Bølgeligningen for enbølge medamplitude Ψ(x,t) og fasehastighetu er

${\displaystyle {\mathbf{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }-\frac{1}{u^2}{\left(\frac{\mathrm{\partial }\mathrm{\Psi }}{\mathrm{\partial }t}\right)}^2=0}$

En materiebølge for en partikkel med energiE og impulsp har en frekvensω = E/ħ. Bølgeamplituden vil derfor variere med tiden som

${\displaystyle \mathrm{\Psi }(\mathbf{x},t)=\psi (\mathbf{x})e^{-i\omega t}}$

når man skriver den påkompleks form hvori = √(-1) er denimaginær enhet ogψ(x) er den «stasjonære bølgefunksjonen». Da fasehastigheten eru = E/p, går bølgeligningen over idifferensialligningen∇²ψ + (p/ħ)²ψ = 0. Den har samme form somHelmholtz-ligningen.

For en ikke-relativistisk partikkel som beveger seg i et statisk potensialV(x), er impulsen gitt vedp² = 2m(E - V) slik at ligningen kan omskrives på formen

${\displaystyle \frac{-{\hslash }^2}{2m}{\mathbf{\nabla }}^2\psi +V(\mathbf{x})\psi =E\psi }$

Dette erbølgeligningen til Schrödinger han lanserte i1926. Kort tid etterpå viste han at den ga de riktige energiene for energinivåene ihydrogenatomet.^[7]

For en relativistisk partikkel følger impulsen frap² = (E - V)²/c² -m²c². Innsatt i ligningen for den stasjonære bølgefunksjonen tar den nå formen

${\displaystyle {\hslash }^2{\mathbf{\nabla }}^2\psi +(\frac{E-V}{c}{)}^2\psi =m^2{c}^2\psi }$

Denne ligningen hadde også Schrödinger funnet, men forkastet den da den ikke ga riktige verdier for de relativistiske energitilstandene iH-atomet. Noen år senere ble det klart at for å beregne disse energiene korrekt, må man også inkludere effektene avspinnet til elektronet i atomet. Den beregningen ble først gjennomført noen år senere ved innføringen avDirac-ligningen.^[1]

I det enklere tilfellet med en fri partikkel er potensialetV = 0. Da energien kan finnes ved å la operatoreniħ ∂/∂t virke på den tidsavhengige bølgefunksjonen, kan den relativistiske ligningen skrives som

${\displaystyle {\mathbf{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }-\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial }}^2\mathrm{\Psi }}{\mathrm{\partial }{t}^2}=(\frac{mc}{\hslash }{)}^2\mathrm{\Psi }}$

Den ble etterhvert kalt forKlein-Gordon-ligningen etter to av de fysikerne som fant den kort tid etter at Schrödinger hadde forkastet den. På høyre side inngår lengdenλ_C = ħ/mc som er den reduserteCompton-bølgelengden for partikkelen. Ved bruk avkovariant notasjon, kan man skrive denne bølgeligningen som(∂^μ∂_μ + (mc/ħ)²)Ψ = 0  hvor den kovariante deriverte er∂_μ = ∂/∂x^μ =(∂/∂ct, ∇ ). På denne kompakte formen er det tydelig at ligningen er invariant underLorentz-transformasjoner som alle relativistiske bølgeligninger må være.^[8]

Materiebølgene som de Broglie hadde forseslått og beskrevet ved bølgefunksjoner Ψ(x,t) som følger fra Schrödingers ligning, var opprinnelig ment å være fysiske bølger som skulle erstatte det gamle bildet av partikler som små, harde kuler. Schrödinger hadde også den første tiden et slikt håp. Hver partikkel skulle kunne beskrives med sin bølge. Kvadratet av bølgefunksjonen skulle være et uttrykk for tettheten avenergi/masse i et punkt i rommet på samme måte som kvadratet av detelektriske feltet gir den elektriske energitettheten i rommet.

Men allerede på slutten av året1926 var det klart at dette klassiske bølgebildet ikke kunne være riktig.Max Born foreslo at denkomplekse bølgefunksjonen er ensannsynlighetsamplitude hvor detreelle produktet Ψ^*Ψ(x,t) gir sannsynligheten for å finne partikkelen i punktetx ved tident. Med en slik interpretasjon har den ikke noen veldefinert posisjon før denne blir målt. Dette er direkte i motstrid med det klassiske bildet av en partikkel.

På samme måte finnes det tilsvarende en sannsynlighetsamplitude Ψ(x₁,x₂,x₃, ...,t) som beskriver en samling av flere partikler. Denne ene funksjonen har i alminnelighet lite å gjøre med en vanlig bølgebeskrivelse i vårt 3-dimensjonale rom. Den oppfyller den generelleSchrödinger-ligningen og tar komplekse verdier basert på konfigurasjoner i et multidimensjonalt «konfigurasjonsrom». Det er med denneKøbenhavn-interpretasjonen at moderne kvantemekanikk i dag blir forstått av de fleste.^[9]

En alternativ interpretasjon ble lansert av de Broglie allerede ved Solvay-konferansen i 1927 og tatt opp igjen avDavid Bohm i 1952.^[10] Denne gir en mer «realistisk» beskrivelse av kvantefenomen ved at hver partikkel følger en bestemt banex(t) som i det klassiske bildet. Den er styrt av bølgefunksjonen som dermed gir en bevegelse som er forskjellig fra den som følger fraNewtons lover. Bølgefunksjonen er derfor enpilotbølge som reflekterer den eksperimentelle usikkerheten som ligger i å bestemme posisjonen til partikkelen. Selv om denne interpretasjonen fortsatt har noen tilhengere, har den fått lite gjennomslag.

Det som i dag ligger tettest opp til den opprinnelige beskrivelsen av partikler som materiebølger i moderne kvantemekanikk, erkvantefeltteori hvor partiklene opptrer somkvant av et klassiskfeltΦ(x,t). Dette oppfyller sin egen feltligning som er enbølgeligning.Maxwells ligninger er de klassiske feltligningene forfotonet,Dirac-ligningen er feltligningen for elektronet ogfermioner medspinnS = 1/2, mensKlein-Gordon-ligningen beskriverHiggs-partikkelen og andre partikler uten spinn. De tilsvarende feltfunksjonene kan nå betraktes som en slags materiebølger. Men til forskjell fra de opprinnelige idéene til de Broglie og Schrödinger, så er det nå kun ett felt for alle partikler av samme sort. For eksempel beskriverDirac-feltet alle elektroner og deres antipartikler (positronene) i hele Universet. Det er derfor alle elektroner er like, uansett hvor de finnes.^[9]

Fra klassisk,kinetisk teori vet man at i en samling identiske partikler med massem itermisk likevekt vedabsolutt temperaturT  har hver partikkel en midlere energi av størrelsesordenk_BT  hvork_B  erBoltzmanns konstant. Det tilsvarer at partikkelen har en typisk impuls gitt vedp²/2m =k_BT.

Etterhvert som temperaturen blir lavere, vil de Broglies bølgelengdeλ =h/p  derp = √(2mk_BT)  bli større og større. Det betyr at bølgefunksjonene for partiklene ved tilstrekkelig lave temperaturer vil få en så stor utstrekning at partiklene ikke lenger kan skilles fra hverandre. Man må da brukekvantestatistikk for å beskrive deres egenskaper. Hvis det dreier seg omHe⁴-atomer som erbosoner, ville det væreBose-Einstein-statistikk. De Broglies bølgelengde vil da opptre automatisk på formen

${\displaystyle \mathrm{\Lambda }=\frac{h}{\sqrt{2\pi m{k}_{B}T}}}$

Bortsett fra en numerisk faktor som er litt forskjellig, er dette det samme uttrykket som allerede ble funnet. Det er dentermiske bølgelengden Λ  for partiklene.^[11] For He⁴-atomer ved romtemperatur er den om lag 1Å som er av samme størrelsesorden som atomets utstrekning og derfor ikke av betydning. Men ved mye lavere temperaturer nær detabsolutte nullpunktet blir denne bølgeegenskapen ved partiklene avgjørende og resulterer iBose-Einstein-kondensasjon.

• L. de Broglie,Radiations - Ondes et quanta, Comptes Rendus177, 507 - 510 (1923).
• L. de Broglie,La Nouvelle Dynamique des Quanta, inÉlectrons et Photons: Rapports et Discussions du Cinquième Conseil de Physique, pp. 105 - 141, Gauthier-Villars, Paris (1928). Presentert vedSolvaykonferansen 1927.
• E. Schrödinger,An undulatory theory of the mechanics of atoms and molecules, Physical Review28, 1049–1070 (1926).

• Teoretisk fysikk
• Kvantemekanikk
• Vitenskap i 1926

• Sider som bruker magiske ISBN-lenker
• Artikler uten autoritetsdatalenker fra Wikidata