Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Hopp til innhold
Wikipedia
Søk

Integrasjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Områder ianalyse
Differensialligninger
Funksjonalanalyse
Funksjoner av flere variable
Matematisk analyse

Kontinuitet
Grenseverdier
Følger
Rekker
Derivasjon
Integrasjon

Komplekse funksjoner
Det bestemte integralet avf(x){\displaystyle f(x)} i intervallet[a,b]{\displaystyle [a,b]} er lik arealetS{\displaystyle S} mellom kurva og x-aksen.
Sesosial integrasjon for ordets betydning i samfunnsfagene

Integrasjon er en matematisk operasjon som utføres på en matematiskfunksjon. Ved å utføre denne operasjonen finner man en ny funksjon, man sier at man finner funksjonensintegral. Integrasjon brukes blant annet til å beregne areal og volum.

Integrasjon er på mange måter det motsatte avderivasjon, og kalles i noen sammenhenger også forantiderivasjon. Forreelle funksjoner er sammenhengen mellom det ubestemte og det bestemte integralet gitt ved den såkaltefundamentalsatsen for matematisk analyse. Sammen med derivasjon utgjør integrasjon det området man kallermatematisk analyse. Integrasjon kalles også forintegrasjonsregning, og derivasjon fordifferensialregning; samlet betegnet dette sominfinitesimalregning. Ligninger som inneholder integral kalles forintegralligninger.

Det ubestemte integralet til en reell funksjon er en ny funksjon med egenskapen at denderiverte er lik den opprinnelige funksjonen. Et slik integral kalles også enantiderivert og enprimitiv til den opprinnelige funksjonen. En gitt funksjon kan ha en hel familie av primitiver, der differansen mellom to primitiver er en konstant.

Det bestemte integralet til en funksjonf(x){\displaystyle f(x)} er en generalisert sum av elementerf(x)δx{\displaystyle f(x)\delta x}, der summasjonen foregår mellom to funksjonsargumenta{\displaystyle a} ogb{\displaystyle b}. Definisjonen bygger på en grenseprosess der antall ledd i summasjonen går mot uendelig, mens størrelsen av hvert elementδx{\displaystyle \delta x} går mot null. For reelle funksjoner av en variabel representerer det bestemte integralet arealet mellomfunksjonsgrafen og x-aksen, regnet med fortegn.

Formell definisjon av ubestemt integral

[rediger |rediger kilde]

Laf:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } være en reell funksjon av en reell variabel, og laF(x){\displaystyle F(x)} være en ny funksjon med egenskapen at den deriverte avF{\displaystyle F} er likf{\displaystyle f}

dF(x)dx=f(x){\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F(x)}{\mathrm {d} x}}=f(x)}.

Det ubestemte integralet avf{\displaystyle f} skrives med en langstrakt «s» som i ordet «sum» og er definert ved

∫f(x)dx=F(x)+C{\displaystyle \int f(x)\,\mathrm {d} x=F(x)+C}.

Her erC{\displaystyle C} en vilkårlig konstant. Funksjonenf(x){\displaystyle f(x)} kallesintegranden i integralet. Dersom funksjonenF{\displaystyle F} eksisterer sies funksjonenf{\displaystyle f} å væreintegrerbar.

Eksempler på ubestemte integral

[rediger |rediger kilde]
∫xndx=xn+1n+1+C hvis n≠−1{\displaystyle \int x^{n}\,\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ hvis }}n\neq -1}
∫1xdx=ln⁡|x|+C{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\ln {\left|x\right|}+C}

Formell definisjon av bestemt integral

[rediger |rediger kilde]

Definisjonen av et bestemt integral bygger på definisjonen av enpartisjon (oppdeling) av det lukkede intervallet[a,b]{\displaystyle [a,b]}.

Det eksisterer flere ulike definisjoner av et bestemt integral, og presentert her er definisjonen av etRiemannintegral, som igjen er ekvivalent med etDarbouxintegral. For en videre klasse av funksjoner kan en også definereRiemann-Stieltjesintegral ogLebesguesintegral.

Partisjoner

[rediger |rediger kilde]

En partisjon er en endelig mengde

P={x0,x1,x2,…,xn}{\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}

slik at

a=x0<x1<x2<…<nn=b{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <n_{n}=b}

Bredden til partisjonenμ(P){\displaystyle \mu (P)} er definert som den største avstanden mellom to påfølgende element:

μ(P)=maxiΔxi  der  Δxi=xi−xi−1{\displaystyle \mu (P)=\max _{i}\Delta x_{i}\ {\text{ der }}\ \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}

Videre sier en at partisjonen ermerket dersom det til hvert par av påfølgende elementer i partisjoneni−1{\displaystyle i-1} ogi{\displaystyle i} er definert en verditi{\displaystyle t_{i}} slik at

xi−1≤ti≤xi{\displaystyle x_{i-1}\leq t_{i}\leq x_{i}}

Riemann-integrasjon

[rediger |rediger kilde]

EnRiemannsum for en gitt merket partisjon er definert ved

∑i=1nf(ti)Δxi{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}}

Det bestemte integralet av funksjonenf(x){\displaystyle f(x)} over intervallet[a,b]{\displaystyle [a,b]} er definert likS{\displaystyle S} dersom det for et hver positivt tallε{\displaystyle \varepsilon } eksisterer en verdiδ{\displaystyle \delta } slik at for alle partisjoner med bredde mindre ennδ{\displaystyle \delta }, så er

|S−∑i=1nf(ti)Δxi|<ε{\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}\right|<\varepsilon }

Notasjon for verdien av integraletS{\displaystyle S} er på forma

S=∫abf(x)dx{\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}.

Noe mer uformelt kan en si at integralet er lik grenseverdien for Riemannsummen når bredden av partisjonen går mot null, dersom en slikgrenseverdi eksisterer. Grenseverdien er lik arealet under grafen til funksjonen, dersom denne er positiv, slik som vist på figurene under.

Lesbegue-integrasjon

[rediger |rediger kilde]

Riemann-integrasjon kan generaliseres vedLesbegue-integrasjon. Denne generaliseringen danner grunnlaget formålteori.

Integrerbare funksjoner

[rediger |rediger kilde]

En funksjon der grenseverdien for Riemannsummen eksisterer sies å være(Riemann-)integrerbar.

Eksempel på bestemt integral

[rediger |rediger kilde]

Det følgende eksemplene på bestemt integral er basert på det tilsvarende eksempelet for ubestemt integral:

∫121xdx=[ln⁡|x|]12=ln⁡2−ln⁡1=ln⁡2{\displaystyle \int \limits _{1}^{2}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\left[\;\ln {\left|x\right|}\;\right]_{1}^{2}=\ln 2-\ln 1=\ln 2}

Her er brukt den følgende notasjonen, som er vanlig i forbindelse med utregning av bestemte integral:

[f(x)]ab=f(b)−f(a){\displaystyle \left[\;f(x)\;\right]_{a}^{b}=f(b)-f(a)\,}

Egenskaper til integral

[rediger |rediger kilde]

Linearitet

[rediger |rediger kilde]

Integralet er en lineær funksjon med hensyn på integranden:

∫ab(αf(x)+βg(x))dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,\mathrm {d} x=\alpha \int \limits _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\beta \int \limits _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x}

Additivitet

[rediger |rediger kilde]

Integral av samme funksjon over to nabointervall kan summeres:

∫abfdx+∫bcfdx=∫acfdx{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x+\int \limits _{b}^{c}f\,\mathrm {d} x=\int \limits _{a}^{c}f\,\mathrm {d} x}

Monotonisitet

[rediger |rediger kilde]

Hvisf{\displaystyle f} ogg{\displaystyle g} er to funksjoner som begge er integrerbare på intervallet[a,b]{\displaystyle [a,b]}, og derf≤g{\displaystyle f\leq g}, så er

∫abfdx≤∫abgdx{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x\leq \int \limits _{a}^{b}g\,\mathrm {d} x}

Absoluttverdi-integrasjon

[rediger |rediger kilde]

Dersomf{\displaystyle f} er integrerbar på intervallet[a,b]{\displaystyle [a,b]}, så er absoluttverdi-funksjonen|f|{\displaystyle |f|} integrerbar, og

|∫abfdx|≤∫ab|f|dx{\displaystyle {\big |}\int \limits _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x{\big |}\leq \int \limits _{a}^{b}|f|\,\mathrm {d} x}

Uekte integral

[rediger |rediger kilde]
Utsnitt av grafen til en funksjon hvis integral konvergerer: Ved å la grensene gå mot uendelig, kan man beregne integralet ved å finne grenseverdiene.

Etuekte integral er et integral der integrandenf{\displaystyle f} går mot uendelig når argumentet nærmer seg en verdi i integrasjonsområdet, eller der integrasjonsområdet er uendelig. I begge tilfeller må verdien av integralet defineres ved en grenseprosess. For eksempel kan en definere

∫a∞fdx=limb→∞∫abfdx{\displaystyle \int \limits _{a}^{\infty }f\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\int \limits _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x}.

Et eksempel på et uekte integral av denne typen er

∫1∞1x2dx=limb→∞[−1x]1b=1{\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\left[-{\frac {1}{x}}\right]_{1}^{b}=1}

Numerisk integrasjon

[rediger |rediger kilde]
Illustrasjon avtrapesintegrasjon: Man deler opp arealet i mindre trapeser, og beregner summen av arealet av alle disse.

Vanligvis kan ikke et integral beregnes eksakt. Man er derfor ofte henvist til å brukenumeriske metoder ogelektroniske regnemaskiner. Disse tar vanligvis utgangspunkt i Riemann-summen som definerer integralet. Det er også hensiktsmessig å beregne funksjonsverdiene i diskrete punktxi{\displaystyle x_{i}} med konstant avstandh{\displaystyle h}.

Da integrasjon av en funksjony=f(x){\displaystyle y=f(x)} som beskriver enkurve ixy{\displaystyle xy}-planet, gir arealet under kurven, kan dette deles opp i mindre deler som kan beregnes mer nøyaktig.Trapesintegrasjon er basert på å dele arealet opp i mindretrapeser. Deles hele integrasjonen opp in{\displaystyle n} slike interval, har man for integralet

∫abf(x)dx≈h2(f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+2f(x3)+…+2f(xn−1)+f(xn)){\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\approx {\frac {h}{2}}(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\ldots +2f(x_{n-1})+f(x_{n}))}

hvorx0=a{\displaystyle x_{0}=a} ogxn=b{\displaystyle x_{n}=b}. Denne fremgangsmåten kan gjøres mer nøyaktig i form avSimpson-integrasjon ellerRomberg-integrasjon.

Generaliseringer

[rediger |rediger kilde]

For funksjoner av flere variable eksisterer det en rekke generaliseringer av integralet, som i hovedsak skiller seg fra hverandre i elementet som funksjonen summeres over.

Multippelintegral

[rediger |rediger kilde]
Volumet begrenset av en kurve gitt som dobbeltintegral.

For en funksjon av én variabel utføres integrasjonen over et intervall. Tilsvarende kan funksjoner av flere variable integreres over en regionD{\displaystyle D} i definisjonsområdet til funksjonen, og resultatet av slik integrasjon kalles etmultippelintegral:

∫…∫Df(x1,x2,…,xn)dx1…dxn{\displaystyle \int \ldots \int _{D}\;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,\mathrm {d} x_{1}\ldots \mathrm {d} x_{n}}

For funksjoner i to variable kalles integralet etdobbeltintegral. Verdien av et dobbeltintegral til en positiv funksjon svarer tilvolumet av legemet mellom kurva og planet definert vedz=0{\displaystyle z=0} innenfor integrasjonsområdet.Fubinis teorem gir vilkår for når et dobbeltintegral kan beregnes ved suksessivt å integrere over en og en variabel.

Et multippelintegral over et tredimensjonalt område kalles et trippelintegral eller et volumintegral. Et volumintegral over områdetD{\displaystyle D} kan skrives med både ett og tre integraltegn:

S=∫DfdV=∭Dfdxdydz{\displaystyle S=\int \limits _{D}f\,\mathrm {d} V=\iiint \limits _{D}f\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z}

Linjeintegral

[rediger |rediger kilde]

I et linjeintegral utføres integrasjonen av etvektorfelt over lengde-elementer langs enkurve. Også navnetkurveintegral er vanlig brukt. LaC{\displaystyle C} være en kurve i et flerdimensjonaltrom og anta at kurva er definert med en parametriseringr=r(t){\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}, der parameterent{\displaystyle t} er inneholdt i intervallet[a,b]{\displaystyle [a,b]}. Laf{\displaystyle \mathbf {f} } være et vektorfelt definert i et område som inneholderC{\displaystyle C} og med komponenter i det samme rommet(f1,f2,…,fn){\displaystyle (f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})}. Da er linjeintegraletS{\displaystyle S} langsC{\displaystyle C} definert ved

S=∫Cf(r)⋅dr=∫abf(r(t))⋅r′(t)dt{\displaystyle S=\int _{C}\mathbf {f} (\mathbf {r} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {f} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,\mathrm {d} t}

Alternativt skrives linjeintegralet også som

S=∫C(f1dr1+f2dr2+…+fndrn){\displaystyle S=\int _{C}(f_{1}\,\mathrm {d} r_{1}+f_{2}\,\mathrm {d} r_{2}+\ldots +f_{n}\,\mathrm {d} r_{n})}

nårr=(r1,r2,…,rn){\displaystyle \mathbf {r} =(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})}.

Flateintegral

[rediger |rediger kilde]

I etflateintegral utføres integrasjon av etskalarfelt over et elementer av en parametriserbarflate. LaS=r=r(u,v){\displaystyle S=\mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v)} være enflate definert for en regionT{\displaystyle T} i(u,v){\displaystyle (u,v)}-planet. Laf{\displaystyle f} være en skalar funksjon definert og begrenset påS{\displaystyle S}. Flateintegralet avf{\displaystyle f} overS{\displaystyle S} er da definert ved

∫SfdS=∬Tf(r(u,v))‖∂r∂u×∂r∂v‖dudv{\displaystyle \int _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (u,v)){\begin{Vmatrix}{\partial \mathbf {r} \over \partial u}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial v}\end{Vmatrix}}\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}

Historie

[rediger |rediger kilde]

Den moderne notasjonen for et ubestemt integral ble innført avGottfried Leibniz i 1675. Han innførte integrasjonssymbolet som en forlenget «S».

Litteratur

[rediger |rediger kilde]

Eksterne lenker

[rediger |rediger kilde]
Hovedområder imatematikk
Oppslagsverk/autoritetsdata
Hentet fra «https://no.wikipedia.org/w/index.php?title=Integrasjon&oldid=23891392»
Kategorier:
Skjulte kategorier:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp