Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Hopp til innhold
Wikipedia
Søk

Hyperbel

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
To hyperbelgrener dannet ved et snitt mellom et plan og en kjegleflate

Enhyperbel er imatematikk en typekjeglesnitt, en plankurve dannet som skjæringslinjen mellom etplan og enkjegleflate.[1] Andre typerkjeglesnitt erellipser ogparabler.

En hyperbel kan defineres geometrisk som en samling av punkt der avstanden til et gitt punkt og avstanden til en gitt rett linje har et konstant proporsjonalitetsforhold, ogder proporsjonalitetskonstanten er større enn 1. Proporsjonalitetskonstanten kalleseksentrisiteten, og hyperbelen er et kjeglesnitt med eksentrisitet større enn 1.

Alternativt kan en hyperbel defineres som en kurve der avstanden til to gitte punkt har en konstant differens.

Hyperbel består av togrener, separate kurver som ligger symmetrisk om et punkt kalt sentrum. Begrepet «hyperbel» brukes både om en enkelt gren og om samhørende par av grener. Kurven har toasymptoter, som skjærer hverandre i hyperbelens sentrum.

Analytisk kan en hyperbel beskrives ved hjelp av en andregradsligning i to variable. For at ligningen skal framstille en hyperbel mådiskriminanten definert ved ligningskoeffisientene være positiv. I visse tilfeller kan hyperbelen degenerere til to kryssende linjer. Standardformen for en hyperbel med sentrum i origo og halvaksera{\displaystyle a} ogb{\displaystyle b} er

x2a2−y2b2=1{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}

Geometrisk definisjon

[rediger |rediger kilde]

En hyperbel kan defineres som detgeometriske sted for et punkt der avstanden til et gitt punkt og avstanden til en gitt rett linje har et konstant proporsjonalitetsforhold, ogder proporsjonalitetskonstanten er større enn 1. Punktet kalles forbrennpunktet ellerfokus,og linjen kallesstyrelinje ellerdirektrise. Generelt er et kjeglesnitt det geometriske sted for et punkt der avstanden fra brennpunktet er proporsjonal med avstanden til styrelinjen,og proprosjonaliteteskonstanten kalleseksentrisiteten. En hyperbel er altså et kjeglesnitt med eksentrisitet større enn 1.

Et plan som skjærer en rett kjegleflate med sirkulær basis vil framstille en hyperbel dersom toppvinkelen i kjeglen erstørre enn vinkelen som planet danner med kjegleaksen. Når kjegleflaten består av tokapper med et felles toppunkt, vil skjæringskurven ha to adskilte hyperbelgrener.

De to hyperbelgrenene dannes av hvert sitt sett av brennpunkt og styrelinjer, som ligger symmetrisk om sentrum. En hyperbel har altsåto brennpunkt. Linjen gjennom disse to brennpunktene kalleshyperbelaksen ellerhovedaksen.

Polarform

[rediger |rediger kilde]
Terminologi knyttet til hyperbelen
Parametre for en hyperbel

Gitt en styrelinje og et brennpunktF, og la avstanden mellom disse væreh{\displaystyle h}. For et vilkårlig punkt på hyperbelgrenenP er avstanden til styrelinjen alltid proporsjonal med avstanden til brennpunktet:

|FP|=e|SP|{\displaystyle |FP|=e|SP|}

Proporsjonalitetsfaktorene{\displaystyle e} kalleseksentrisiteten, og for en hyperbel er denne større enn 1. Linjen normalt på styrelinjen gjennom brennpunktet kallesaksen til hyperbelen. Ipolarkoordinater(r,θ){\displaystyle (r,\theta )}, med polen definert i brennpunktet og akse langs hyperbelaksen, kan dette skrives som

r=e(h+rcos⁡θ)=eh1−ecos⁡θ|θ|<θ∗{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}r&=e(h+r\cos \theta )\\&={\frac {eh}{1-e\cos \theta }}\qquad |\theta |<\theta ^{\ast }\end{alignedat}}}

Vinkelenθ∗{\displaystyle \theta ^{\ast }} er definert vedecos⁡θ∗=1{\displaystyle e\cos \theta ^{\ast }=1}. Dette er lik vinkelen en asymptote danner med hyperbelaksen. Hyperbelgrenen skjærerx{\displaystyle x}-aksen i etttoppunkt, forθ=180∘{\displaystyle \theta =180^{\circ }}. Avstanden fra dette toppunktene til brennpunktetF er

g=r(θ=180∘)=eh1+e{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}g=r(\theta =180^{\circ })={\frac {eh}{1+e}}\\\end{alignedat}}}

Korden mellom to punkt på hyperbelen, parallelt med styrelinjen og gjennom brennpunktet, kalleslatus rectum. Lengdenl{\displaystyle l} av denne er

l=2r(θ=90∘)=2eh{\displaystyle l=2r(\theta =90^{\circ })=2eh}

Halve korden kallessemi-latus rectum, med lengdep=l/2=eh{\displaystyle p=l/2=eh}.

Dobbelt sett av brennpunkt og styrelinje

[rediger |rediger kilde]
Hyperbelgren med to sett av brennpunkt og styrelinjer

Polarformen av hyperbelen kan brukes til å vise at kurven har et alternativt sett av brennpunkt og styrelinje. La et valgt brennpunkt væreF1{\displaystyle F_{1}} i en avstandh{\displaystyle h}fra styrelinjenL1{\displaystyle L_{1}}, og lae{\displaystyle e} være en valgt eksentrisitet. Definer et punktF2{\displaystyle F_{2}} på hyperbelaksen, i avstandens{\displaystyle s} fra brennpunktetF1{\displaystyle F_{1}}, der

s=2e2he2−1(A){\displaystyle s={\frac {2e^{2}h}{e^{2}-1}}\qquad (A)}

PunktetF2{\displaystyle F_{2}} skal velges slik at styrelinjen liggermellom punkteneF1{\displaystyle F_{1}} ogF2{\displaystyle F_{2}}. En linjeL2{\displaystyle L_{2}} legges parallelt medL1{\displaystyle L_{1}}, mellomde to punkteneF1{\displaystyle F_{1}} ogF2{\displaystyle F_{2}}, i en avstandh{\displaystyle h} fraF2{\displaystyle F_{2}}.

LaP{\displaystyle P} være et vilkårlig punkt på hyperbelen, og lar1{\displaystyle r_{1}} ogr2{\displaystyle r_{2}} være avstandene fra punktetP{\displaystyle P} til de to punkteneF1{\displaystyle F_{1}} ogF2{\displaystyle F_{2}}. LinjestykkeneF1P{\displaystyle F_{1}P} ogF2P{\displaystyle F_{2}P} danner vinkleneθ1{\displaystyle \theta _{1}} ogθ2{\displaystyle \theta _{2}} med hyperbelaksen. Fra den geometriske definisjonen er

r1=e(h+r1cos⁡θ1){\displaystyle r_{1}=e(h+r_{1}\cos \theta _{1})}

Fracosinussetningen er

r12=r22+s2−2r2scos⁡θ2r22=r12+s2−2r1scos⁡(π−θ1)=r12+s2+2r1scos⁡θ1{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}r_{1}^{2}&=r_{2}^{2}+s^{2}-2r_{2}s\cos \theta _{2}\\r_{2}^{2}&=r_{1}^{2}+s^{2}-2r_{1}s\cos(\pi -\theta _{1})=r_{1}^{2}+s^{2}+2r_{1}s\cos \theta _{1}\end{alignedat}}}

Ved å kombinere disse to ligningene finner en

r1cos⁡θ1=−r2cos⁡θ2+r22−r12s(B){\displaystyle r_{1}\cos \theta _{1}=-r_{2}\cos \theta _{2}+{\frac {r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{s}}\qquad (B)}

Avstanden fra punktetP{\displaystyle P} til hyperbelaksen gir ligningen

r1sin⁡θ1=r2sin⁡θ2(C){\displaystyle r_{1}\sin \theta _{1}=r_{2}\sin \theta _{2}\qquad (C)}

Fra kvadratet av den geometriske definisjonen finner en

r12=e2(h2+2hr1cos⁡θ1+r12cos2⁡θ1)(D){\displaystyle r_{1}^{2}=e^{2}(h^{2}+2hr_{1}\cos \theta _{1}+r_{1}^{2}\cos ^{2}\theta _{1})\qquad (D)}

Kombinasjon av ligningeneA-D gir relasjonen

r22=e2(r2cos⁡θ2−h)2{\displaystyle r_{2}^{2}=e^{2}(r_{2}\cos \theta _{2}-h)^{2}}

Avstanden mellom de to punkteneF2{\displaystyle F_{2}} ogP{\displaystyle P} err2{\displaystyle r_{2}}, og størrelsen i parantesen på høyre side i ligningen over er avstanden fra linjenF2{\displaystyle F_{2}} til punktetP{\displaystyle P}. Ligningen viser altå at disse to avstandene er proporsjonale, med samme proporsjonalitetskonstante{\displaystyle e} som det valgte brennpunktetF1{\displaystyle F_{1}} og styrelinjenL1{\displaystyle L_{1}}. ParetF2{\displaystyle F_{2}} ogL2{\displaystyle L_{2}} er altså et alternativt sett av brennpunkt og styrelinje for hyperbelgrenen. Tilsvarende vil begge to settene også være brennpunkt og styrelinjer foren hyperbelgren som ligger symmetrisk om sentrum i hyperbelen, det vil si symmetrisk om midtpunktet mellom de to brennpunktene.

Avstanden fra sentrum og et brennpunkt er gitt ved lengdens/2{\displaystyle s/2}.

Effekt av eksentrisiteten

[rediger |rediger kilde]
Hyperbler med felles brennpunkt, men varierende eksentrisitet

Når eksentrisiteten øker mot uendelig vil toppunktet i hyperbelgrenen nærme seg styrelinjen. For en fast avstand mellom brennpunktet og styrelinjen vil latus rectum gå mot uendelig, det vil si athyperbelen vier seg mer og mer ut.

Når eksentrisiteten går mot 1, så vil toppunktet nærme seg brennpunktet. Latus rectum avtar mot grenseverdienh{\displaystyle h}, slik at hyperbelen klapper mer og mer sammen.

Sammenheng mellom geometriske definisjoner

[rediger |rediger kilde]

Polarformen kan brukes til å vise at de to geometriske definisjonene for hyperbelen er ekvivalente. Gitt et vilkårlig punktP på hyperbelen, og la avstanden fra dette punktettil de to styrelinjene være henholdsvisl1{\displaystyle l_{1}} ogl2{\displaystyle l_{2}}. Tilsvarende lar1{\displaystyle r_{1}} ogr2{\displaystyle r_{2}} være avstanden fra punktet til de to brennpunktene. Fra definisjonen med brennpunkt og styrelinje følger det at

r1=el1r2=el2{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}r_{1}=el_{1}\\r_{2}=el_{2}\end{alignedat}}}

Siden|l1−l2|{\displaystyle |l_{1}-l_{2}|} er lengden mellom styrelinjene følger det direkte at differensen av avstandene fra brennpunktet er konstant:

|r1−r2|=e|l1−l2|{\displaystyle |r_{1}-r_{2}|=e|l_{1}-l_{2}|}

Standardformer i kartesiske koordinater

[rediger |rediger kilde]

Det eksisterer flere standardformer for hyperbelen, også kalt kanoniske former. En kanonisk form er ligning i kartesiske koordinatene(x,y){\displaystyle (x,y)} som framstiller hyperbelen på en enklest mulig måte. Et alternativ for en kanonisk form framkommer nårx{\displaystyle x}-aksen defineres langs hovedaksen,y{\displaystyle y}-aksen defineres parallelt med styrelinjen ogorigo velges i sentrum av hyperbelen:[2]

x2a2−y2b2=1{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}

Ligningen har to parametre, lengdenea{\displaystyle a} ogb{\displaystyle b} av de tohalvaksene. For hyperbelen er det ikke et krav ata≥b{\displaystyle a\geq b}. Kurven har reelle verdier bare når|x|≥a{\displaystyle |x|\geq a}.

En korde gjennom sentrum, mellom to punkt på hver sin hyperbelgren, kalles endiameter i hyperbelen. Diameteren mellom de to toppunktene kalles denreelle aksen og har lengden2a{\displaystyle 2a}.[3]Denimaginære aksen står normalt på denne og har lengden2b{\displaystyle 2b}. Dette er også lengden av en korde mellom asymptotene, normalt på hovedaksen og gjennom toppunktet på en hyperbelgren. Asymptotene har ligningene

ax±by=0{\displaystyle ax\pm by=0}

Brennpunktene ligger i en avstandae{\displaystyle ae} og styrelinjene i avstandena/e{\displaystyle a/e} fra origo. Eksentrisiteten er gitt fraligningskoeffisientene ved

e=a2+b2a2{\displaystyle e={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}}}.

En alternativ kanonisk form framkommer ved å legge origo i det ene brennpunktet:[2]

(x−ae)2a2−y2b2=1{\displaystyle {(x-{\frac {a}{e}})^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1}

En hyperbel dera=b{\displaystyle a=b} kalleslikesidet,ekvilateral ellerrektangulær, og for en slik hyperbel brukes også en tredje kanonisk form:[2]

xy=k2{\displaystyle xy=k^{2}}

Parametrisk form

[rediger |rediger kilde]

En hyperbel på standardformen med origo i sentrum kan skrives som enparameterframstilling på formen

x(t)=±acosh⁡ty(t)=bsinh⁡tt∈(−∞,∞){\displaystyle x(t)=\pm a\cosh t\qquad y(t)=b\sinh t\qquad t\in (-\infty ,\infty )}

Konjugerte hyperbler

[rediger |rediger kilde]
Konjugerte hyperbler med felles asymptoter

To hyperbler erkonjugerte dersom hovedaksene til hver av hyperblene står normalt på hverandre, samt at den reelle aksen i den ene er lik den imaginære aksen i den andreog omvendt.[3] To konjugerte hyperbler har identiske asymptoter. På standardformen med origo i sentrum kan ligningene for de to konjugerte hyperblene skrives

x2a2−y2b2=1x2a2−b2a2=−1{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}&=1\\{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}&=-1\end{alignedat}}}

Dersom de to hyperblene har eksentrisitet henholdsvise1{\displaystyle e_{1}} oge2{\displaystyle e_{2}}, så vilae1=be2{\displaystyle ae_{1}=be_{2}}. De fire brennpunktene til de to hyperblene liggerpå en sirkel med radiusae1{\displaystyle ae_{1}}.

Generell kvadratisk form

[rediger |rediger kilde]

En generell kvadratisk form

f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0{\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}

vil framstillen en hyperbel dersomdiskriminantend{\displaystyle d} er positiv:[4]

d=B2−4AC>0{\displaystyle d=B^{2}-4AC>0}

Ligningen kan overføres til standardformen ved hjelp av en koordinattransformasjon: en translasjon og en rotasjon.

Degenerert hyperbel

[rediger |rediger kilde]

En hyperbel med diskriminant lik null vil degenerere til to kryssende rette linjer dersom determinanten til matriseformen av ligningen er lik null.[2] Matriseformen er

xRxT=0{\displaystyle {\mathsf {x}}{\mathsf {R}}{\mathsf {x}}^{\operatorname {T} }=0}
x=(x,y,1)R=(AB/2D/2B/2CE/2D/2E/2F){\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\mathsf {x}}&=(x,y,1)\\[3pt]{\mathsf {R}}&=\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\\[3pt]\end{alignedat}}}

DeterminantenΔ3{\displaystyle \Delta _{3}} til matrisenR{\displaystyle {\mathsf {R}}} er gitt ved

Δ3=detR=|AB/2D/2B/2CE/2D/2E/2F|{\displaystyle \Delta _{3}=\det {\mathsf {R}}={\begin{vmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{vmatrix}}}

Egenskaper

[rediger |rediger kilde]

Symmetri

[rediger |rediger kilde]

Hyperbelen er symmetrisk om både den reelle og den imaginære aksen, og dermed også om sentrum.

Tangentlinjer

[rediger |rediger kilde]

For en hyperbel på standardformen med origo i sentrum er ligningen for tangenten i punktet(x0,y0){\displaystyle (x_{0},y_{0})} gitt ved

xx0a2−yy0b2=0{\displaystyle {\frac {xx_{0}}{a^{2}}}-{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}=0}

Konjungerte diametre

[rediger |rediger kilde]

En diameter i hyperbelen er en korde som går gjennom sentrum, mellom to punkt på hyperbelen To diametre i hyperbelen er konjugerte dersom enhver korde parallell med den ene diameteren blir delt i to like deler av den andre.[5]

Anvendelser

[rediger |rediger kilde]

For enideell gass med konstant temperatur vil variasjon i trykk og volum beskrive en hyperbel.

Referanser

[rediger |rediger kilde]
  1. ^: G. Thomas, R. Finney;Calculus and Analytic Geometry s.432
  2. ^abcd: J.D. Lawrence;A Catalog of Special Plane Curves s.61ff
  3. ^abC.M. Guldberg;Analytisk geometri s.60ff
  4. ^: G. Thomas, R. Finney;Calculus and Analytic Geometry s.430
  5. ^Barry Spain (1957).Analytical Conics. New York: Pergamon Press.  s.39ff

Litteratur

[rediger |rediger kilde]
  • J.Dennis Lawrence (1972).A Catalog of Special Plane Curves. Mineola, New York: Dover Publications.ISBN 978-0-486-60288-2. 
  • George B. Thomas, Ross L. Finney (1995).Calculus and Analytic Geometry (9th edition utg.). Reading, USA: Addison-Wesley.ISBN 0-201-53174-7. CS1-vedlikehold: Ekstra tekst (link)
  • Adams, Robert A. & Essex, Christopher (2013).Calculus 2. Harlow: Pearson. s. 463-468.ISBN 978-1-78365-399-7. CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link)
Oppslagsverk/autoritetsdata
Hentet fra «https://no.wikipedia.org/w/index.php?title=Hyperbel&oldid=20973579»
Kategorier:
Skjulte kategorier:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp