I den makroskopiske verden er gravitasjon avgjørende for livet påJorden med dannelse av hav og fjell, vær og klima. Det er også gravitasjon fraMånen som vedtidevann påvirker kyststrøk. Gravitasjon er den dominerende kraft i dannelse avstjerner ogplaneter. Det erEinsteins gravitasjonsteori som er grunnlaget for modernekosmologi som beskriver egenskapene og utviklingen til heleUniverset.
Mer nøyaktige observasjoner av planetenes bevegelser viste at deres baner hadde små avvik fra eksakteKepler-ellipser som gravitasjonskraften fra Solen alene ville gi opphav til. Matematiske arbeid, som nådde sitt høydepunkt medPierre-Simon Laplace i hans store verketMécanique Céleste på begynnelsen av 1800-tallet, viste at disseperturbasjonene kunne forklares ved samme lov for de tilsvarende, men svakere gravitasjonskreftene mellom de enkelte planetene. Riktigheten av disse beregningene ble bekreftet i 1846 med oppdagelsen av planetenNeptun. I de følgende årene var det kunpresesjonen av Kepler-ellipsen til planetenMerkur som ikke lot seg forklare ved den Newtonske gravitasjonsteorien.
Etter atAlbert Einstein i 1905 hadde formulertden spesielle relativitetsteorien, gikk han i gang med å inkludere gravitasjon i denne teorien hvor tid og rom er forent i et firedimensjonalttidrom. Dette lyktes først i 1915 med etableringen avden generelle relativitetsteorien hvor han viste at tidrommet i alminnelighet har enikke-euklidsk,Riemannsk geometri. Tilstedeværelse av masse eller energi vil gi det en krumning som kan beregnes fraEinsteins feltligning. Alle partikler beveger seg fritt i dette rommet og følgergeodetiske linjer. Det som i dagligtale omtales som en gravitasjonskraft, er dermed et resultat av tidrommets krumning. Teorien fikk sin første bekreftelse ved at den forklarte Merkursperihelbevegelse.
Einsteins gravitasjonsteori forenkles til den Newtonske teorien når de gravitasjonelle vekselvirkningene er små og alle bevegelser er mye mindre ennlyshastigheten. Men den forutsier også nye fenomen somgravitasjonell rødforskyvning,sorte hull og etekspanderende Univers. Til dags dato er alle observasjoner og målinger i overensstemmelse med denne teorien.[2]
I dagliglivet påJordens overflate merker man virkningen av gravitasjon ved at alle legemer faller nedover med enakselerasjong som er omtrent 9.82 m/s2 på vårebreddegrader ved havnivå. En masse massem er dermed påvirket av en gravitasjonskraftF = mg. Erm = 1 kg, er kraften dermedF = 9.81 N.[3]
Denne kraften forklares vedNewtons gravitasjonslov som sier at to punktformige legemer med masserm ogM som har en gjensidig avstandr , tiltrekkes med en kraft som er lik
hvorG ergravitasjonskonstanten. At kraften er omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden, var det Newton viste var nødvendig for å forklareKeplers lover.[1]
Til beregning av gravitasjonskraften fra Jorden kan man ikke uten videre benytte Newtons lov da dens masseM ikke i det hele tatt kan sies å befinne seg i et punkt. Men Newton viste at når massen er fordelt symmetrisk over et endelig volum som er kuleformet, er det riktig å anta at hele massen er plassert i kulens sentrum. Dette er innholdet avNewtons skallteorem. En massem med en utstrekning som er mye mindre enn Jordens radiusR, kan også betraktes som punktformig. Gravitasjonskraften fra Jorden kan derfor uttrykkes vedtyngdeakselerasjonen
Setter man her inn verdiene forG, jordmassenM = 5.97×1024 kg og dens radiusR = 6.37×103 km,kommer den målte verdien forg frem.
Denne gravitasjonskraften girtyngde til alle legemer på Jordens overflate. En mer nøyaktig beregning av den fulletyngdekraften må også ta hensyn til Jordens rotasjon. Den gir opphav til ensentrifugalkraft som vil gi et lite bidrag samtidig som den medfører at Jorden ikke er helt kuleformet, men er litt sammentrykt vedpolene. Verdien av tyngdeakselerasjonen varierer dermed frag = 9.79 m/s2 vedekvator til 9.83 m/s2 ved polene hvor sentrifugalkraften ikke bidrar.
Newtons gravitasjonslov sier at kraften mellom to kuleformete masser er tiltrekkende og rettet langs forbindelseslinjen mellom derestyngdepunkt. Da dens størrelse avtar omvendt proporsjonalt med kvadratet av avstanden mellom disse, erkraftenkonservativ og varierer likedan somCoulomb-kraften mellom to elektrisk ladete partikler. Begge disse kreftene kan derfor skrives somgradienten av etpotensial som varierer omvendt proporsjonalt med avstanden.
Da gravitasjonskraften mellom to masser alltid er attraktiv, mens den elektriske kraften mellom to ladninger med samme fortegn er frastøtende, vilgravitasjonspotensialet Φ ha motsatt fortegn. Utenfor en kuleformet masse som er plassert i origo, vil det derfor være
i en avstandr. Den tilsvarendetyngdeakselerasjonen kan finnes fra dette potensialet ved den fundamentale sammenhengeng = -∇ Φ og spiller samme rolle her som detelektriske feltet gjør ielektrostatikken. I dette enkle tilfellet blir den
hvorer =r/r er en enhetsvektor som peker bort fra massenM. Da en liten massem vil bli påvirket av gravitasjonskraftenF =mg, kan det være naturlig i analogi med det elektriske tilfellet å kalleg forgravitasjonsfeltet.[3]
Uansett formen eller opphavet til potensialet, vil det påvirke en partikkel og gi den en bevegelse som er gitt avNewtons andre lov,
Da det første leddet på høyre side er en konstant, er potensialet i praksis likt medgz. Det tilsvarer at tyngdeakselerasjoneng i slike lave høyder effektivt kan anses å være konstant. En liten massem som befinner seg i dette potensialet har enpotensiell energimgz. Slippes den slik at den faller ned tilz = 0, får den en hastighetv som er bestemt ved at denne energien går over i renkinetisk energi (1/2)mv2. Det gir atv = √ (2gz) uavhengig av størrelsen til massenm som allerede vist avGalileo Galilei. For eksempel, hvisz = 5 m, får massen en hastighet på nesten10 m/s når den treffer bakken.
I det motsatte tilfelle hvor massenm blir gitt så stor hastighet at den kan bevege seg fritt bort fra Jorden, må den gis en kinetisk energi som er større enn den potensielle energiforskjellenmGM/R. Hastigheten må derfor være større ennunnslipningshastigheten
som blir 11.2 km/s. Den er større for fra tyngre planeter, mens den er 2.3 km/s fraMånen. Når hastigheten er over denne grensen og ingen andre krefter virker på massen, vil den ikke bevege seg i en lukketellipsebane, men i en åpenhyperbelbane.
Gravitasjonspotensialet fra flere massepunktMi som befinner seg i posisjonerri, kan finnes ved å summere opp bidragene fra hver av dem. Det totale potensialet i et punktr er derfor
Dette kan brukes til å finne potensialet som skapes av en massefordeling med endelig utstrekning. Har den enmassetetthetρ, vil hvert lite volumelementdV = dx dy dz inneholde en tilsvarende liten massedM = ρdV. Det totale potensialet kan så finnes ved åintegrere over hele rommet,
Vanligvis ligger feltpunktetr utenfor massefordelingen. Men potensialet innefor kan også finnes fra det samme integralet selv om det da må beregnes med mer forsiktighet. Dette ble først undersøkt avSiméon Denis Poisson for omtrent to hundre år siden. Han fant at integralet er ekvivalent med enpartiell differensialligning. Ved bruk avLaplace-operatoren kan den skrives som
og er siden blitt kalt forPoissons ligning. Den er en lokal utgave av Newtons gravitasjonslov og spiller i den sammenheng samme, viktige rolle somGauss' lov har for det elektriske potensialet i elektrostatikken.[4]
Noen få år etter dette gjennombruddet tok Einstein opp spørsmålet om hvordan Newtons gravitasjonsteori kunne gjøres kompatibel med hans nye relativitetsprinsipp. Han ville nå gjøre fysikkens lover gyldig i alle referansesystem, ikke bare i inertialsystem forbundet vedLorentz-transformasjoner, men helt generelt relatert til hverandre med vilkårligekoordinattransformasjoner. I praksis vil det si å kunne beskrive fysikk også i akselererte koordinatsystem. Det lykkes han ved å introdusereekvivalensprinsippet som sier at det er ikke noen forskjell mellom gravitasjonskrefter og de krefter man er utsatt for når man akselereres.[5]
En av de første erkjennelser som førte Einstein til å oppgi euklidsk geometri i akselererte system, kom fra betraktninger rundt relativitetsprinsippet anvendt i etroterende referansesystem. For en observatør som står utenfor skiven, vil lengden til et linjestykke i skiven som går gjennom rotasjonsaksen, ikke bli utsatt for noenlengdekontraksjon da hver del beveger seg vinkelrett til hastigheten det beveger seg med. Derimot vil et linjestykke langs omkretsen til en sirkel i skiven med sentrum i rotasjonsaksen, bli observert som kortere enn den sanne lengden som en observatør på skiven vil måle. For en slik observatør vil derfor forholdet mellom omkrets og radius til sirkelen være større enn 2π . Derfor er geometrien på skivenikke-euklidsk. Men observatøren på skiven opplever også ensentrifugalkraft som prøver å slynge hen utover. Begge observasjonene i det roterende referansesystemet kan beskrives vedRiemanns differensialgeometri. Dette gjelder i alminnelighet for alle akselererte referansesystem og derfor også for hvordan gravitasjon arter seg.
Alle egenskaper ved Riemannske geometrier kan utledes fra en symmetrisk,metrisk tensorgμν(x) som gir avstanden mellom nærliggende punkt. I et inertialsystem er den gitt vedMinkowski-metrikkenημν. I etkartesisk koordinatsystem er dens komponenter diagonale med verdiene (+1,-1,-1,-1) og en fri partikkel vil følge en rett linje itidrommet. Beskrives denne relativistiske partikkelen derimot ved bruk avkrumlinjete koordinater, vil denne rette linjen se ganske annerledes ut og kalles engeodetisk kurve. Den kan beregnes fra ligningen
hvorτ er partikkelensegentid og størrelsene Γμαβ erChristoffel-symbol. De er gitt ved førstederiverte av den metriske tensoren. Her og i det følgende brukesEinsteins summekonvensjon hvor man summerer over all like indekser. Denne geodetiske ligningen tilsvarer bevegelsesligningen for en ikke-relativistisk partikkel i Newtons gravitasjonsteori.[2]
Ekvivalensprinsippet identifiserer krefter som skyldes akselerasjon, med gravitasjon. Derfor vil en fri partikkel i et vilkårlig gravitasjonsfelt få en bevegelse som er gitt ved samme ligning. Men da behøves Christoffel-symbolene som igjen krever kjennskap til den metriske tensoren. Denne kan beregnes fraEinsteins feltligning.
En illustrasjon av hvordan massen tilSolen krummer rommet rundt seg slik at den tiltrekker seg en planet. Gravitasjonen er en geometrisk effekt.
Newtons gravitasjonslov sier at den andrederiverte av potensialet Φ er i hvert punkt proporsjonal med massetetthetenρ i samme punkt. I Einsteins teori er Φ erstattet med det metriske feltetgμν. Da masse og energi i enhver relativistisk teori er ekvivalente, vilρ måtte erstattes medenergi-impulstensorenTμν. Strukturen til en relativistisk gravitasjonslov må da bli at den andrederiverte av den metriske tensoren er proporsjonal med denne tensoren.
Den eksakte sammenhengen fant Einstein kunne uttrykkes vedRiemanns krumningstensor for tidrommet. Mest kompakt skrives den som
hvorlyshastighetenc er et signal om at dette er en relativistisk teori. På venstre side opptrerEinsteins krumningstensor, mens på høyre side får energi-impulstensoren bidrag fra alt som kan gi opphav til gravitasjon. Det inkluderer ogsåmørk energi og enkosmologisk konstant. Denne fundamentale ligningen er nå litt over hundre år gammel og gir en forklaring av alle fenomen som er styrt av gravitasjon.
Det matematiske innholdet av ligningen sies vanligvis å være at massen eller energien som energi-impulstensoren beskriver, bidrar til å gi det omliggende tidrommet en krumning. Dette kommer til uttrykk ved at det får en metrikk som skiller seg fra Minkowski-metrikken. All bevegelse i tidrommet er fri på den måten at hver partikkel følger en geodetisk kurve. At to masser tiltrekkes mot hverandre, skyldes bare at deres felles tidrom får en slik form at de føres automatisk mot hverandre selv om ingen krefter virker mellom dem.
Begrepetkraft har bare en klar mening i newtonsk fysikk der partikler beveger seg langsomt og effekten av gravitasjon er liten. I Einsteins teori tilsvarer det at den eneste metriske komponenten som skiller seg fra Minkowski-metrikken, er
Dermed vil den geodetiske ligningen forenkles og går over til å bli Newtons bevegelsesligning i gravitasjonspotensialet Φ. Newtons gravitasjonsteori er ikke feil, men bare gyldig under det man kaller dagligdagse forhold. Einsteins teori har et mye større gyldighetsområde og forklarer ikke bare gravitasjon, men gir oss et helt nytt verdensbilde.[2]
Typisk bevegelse av partikler i et plan vinkelrett på bevegelsesretningen til engravitasjonsbølge.
Einsteins feltligning er ikke-lineær på den måten at en gitt energi-impulstensor gir opphav til en metrisk tensor. Men denne påvirker også energi-impulstensoren som igjen vil modifisere metrikken. Og slik fortsetter det på samme måte slik at ligningen vanligvis er uhyre vanskelig å løse.[5]
Et viktig unntak opptrer når den metriske forandringen av tidrommet er meget liten. Da vil metrikken ha formen
hvorημν er Minkowski-metrikken og gravitasjonelleperturbasjonenhμν << 1. Med denne antagelsen samt friheten man har til å velge koordinater, kan feltligningen forenkles og skrives på den linære formen
utenfor kilden som gir opphav til energi-impulstensoren. Dette resultatet er den vanligebølgeligningen som viser at perturbasjonen brer seg i tidrommet som engravitasjonsbølge. I motsetning til en harmonisk,elektromagnetisk bølge som har endipolkarakter, har denne en «kvadrupolkarakter» med svingninger i to vinkelrette plan som skjærer hverandre i bølgens utbredelsesretning.[2]
Bølgeligningen for gravitasjonsstråling viser at den brer seg ut iUniverset med samme hastighet som lys. Dette er som forventet i en relativistisk teori. Men ut fra observasjonen av et gravitasjonsbølgeflash den 17. august 2017 som skyldes sammensmeltning av tonøytronstjerner,[6] kunne dette også for første gang bli bekreftet med meget stor nøyaktighet.[7]
G. Holton and S.G. Brush,Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond, Rutgers University Press, New Brunswick (2006).ISBN 0-8135-2907-7.
