Geometri (greskγεωμετρία; geo = jord, metria = mål, måling) oppsto som kunnskapsfeltet som tar for seg figurer og forhold i plan ogrom. Klassisk geometri tok blant annet for seg konstruksjoner som kunne utføres med passer og linjal. Moderne geometri består av undergrener somalgebraisk geometri,algebraisk topologi ogdifferensialgeometri.
Geometri oppsto i en rekke tidlige kulturer uavhengig av hverandre som en samling av praktisk kunnskap omlengde,areal ogvolum. I det sjette århundret f.Kr. gjordeTales fra Milet geometri til en matematisk vitenskap. I det tredje århundret f.Kr. ble geometrien plassert inn i enaksiomatisk form avEuklid, og deneuklidske geometrien satte en standard som holdt stand i mange århundrer.[1]Arkimedes utviklet geniale teknikker for beregning av arealer og volum, på mange måter forutså han den moderneintegralregningen.Astronomien, særlig kartlegging posisjonene til stjerner og planeter på himmelhvelvingen og beskrivelse av forholdet mellom himmellegemenes bevegelser, fungerte som en viktig kilde til geometriske problemer i løpet av neste halvannet årtusen. Både geometri og astronomi ble vurdert i den klassiske verden til å være en del avquadrivium, en undergruppe av de syvfrie kunstene som ble sett på som essensielt for en fri statsborger å mestre.
Innføringen avkoordinater avRené Descartes og den samtidige utviklingen avalgebra markerte en ny fase for geometrien siden geometriske figurer, for eksempelplankurver, nå kunne bli representertanalytisk med funksjoner og ligninger. Dette spilte en sentral rolle i fremveksten avinfinitesimalregning i det 17. århundret. Videre viste teorien omperspektiv at det er mer ved geometrien enn bare tallenes metriske egenskaper: perspektiv er opphavet tilprojektiv geometri. Geometrien ble ytterligere beriket av studiet av den indre strukturen til geometriske objekter som oppsto medEuler ogGauss og førte til etableringen avtopologi og differensialgeometri.
I Euklids tid var det ingen klare skiller mellom fysisk rom og geometriske rom. Etter at man i det 19. århundret oppdagetikke-euklidsk geometri har begrepetrom gjennomgått en radikal endring. Spørsmålet som nå oppsto var hvilket geometrisk rom som passet best til det fysiske rommet. Med fremveksten av den formelle matematikken i det 20. århundret, mistet også 'rom' (og 'punkt', 'linje', 'plan') sitt intuitive innhold. I dag er vi derfor nødt til å skille mellom fysisk rom, geometriske rom og abstrakte rom.
Moderne geometri vurderermangfoldighet, områder som er betydelig mer abstrakte enn det kjenteeuklidske rom, som de bare omtrentlig ligner på små skalaer. Disse rommene kan være utstyrt med ekstra struktur, slik at man snakker om lengde. Moderne geometri har flere sterke bånd medfysikk, eksemplifisert ved båndene mellompseudo-riemannsk geometri oggenerell relativitet. En av de yngste fysiske teorier,strengteori, er også svært geometrisk i essensen.
Selv om geometriens visuelle natur i utgangspunktet gjør den mer tilgjengelig enn andre deler av matematikken, som algebra ellertallteori, er det geometriske språket også brukt i sammenhenger fjernt fra dets tradisjonelle, euklidske opprinnelse, for eksempel ifraktalgeometri ogalgebraisk geometri.
Den dokumenterte delen av utviklingen av geometri strekker seg over mer enn toårtusener. Det er neppe overraskende at oppfatninger av hva som konstituerer geometri har utviklet seg gjennom tidene.
Geometri oppsto som en praktisk vitenskap opptatt av kartlegging, målinger, areal og volum. Blant de kjente prestasjonene finner man formler for lengder, arealer og volum, for eksempelPytagoras’ læresetning,omkrets og areal av ensirkel, arealet av entrekant, volum av ensylinder,sfære, og enpyramide. En metode for å beregne visse utilgjengelige avstander eller høyder basert påformlikhet av geometriske figurer er knyttet til Tales. Utvikling avastronomi førte til utviklingen avtrigonometri ogsfærisk trigonometri, sammen med de ledsagende beregningsorienterte teknikkene.
Euklid hadde en mer abstrakt tilnærming i sitt verkElementer, en av de mest innflytelsesrike bøker som noensinne er skrevet. Euklid innførte visseaksiomer, ellerpostulater, som uttrykker primære eller selvinnlysende egenskaper hos punkter, linjer og plan. Han fortsatte å strengt utlede andre egenskaper ved matematisk resonnement. Det mest karakteristiske trekket ved Euklids tilnærming til geometri var strengheten, og den har etterhvert blitt kjent somaksiomatisk ellersyntetisk geometri. Ved starten av det 19. århundre førte oppdagelsen avikke-euklidsk geometri avGauss,Lobatsjevskij,Bolyai og andre til en nyfunnet interesse, og i det 20. århundre brukteDavid Hilbert aksiomatiske resonnementer i et forsøk på å legge et moderne grunnlag for geometri.
Klassisk geometri viet spesiell oppmerksomhet til konstruksjon av geometriske objekter som hadde blitt beskrevet på en annen måte. Tradisjonelt var de eneste instrumentene tillatt i geometriske konstruksjonerpasser oglinjal. Hver konstruksjon måtte også utføres på et endelig antall steg. Imidlertid viste noen problemer seg å være vanskelige eller umulige å løse bare med disse midlene, og smarte konstruksjoner som brukteparabler og andre kurver, samt mekaniske innretninger, ble funnet.
Pytagoreerne oppdaget at sidene i en trekant kan ha inkommensurable lengder.
Iantikkens Hellas regnetpytagoreerne vurderte rolle i geometri. Imidlertid gjorde oppdagelsen avinkommensurable lengder som motsa deres filosofiske synspunkter, gjorde at de forlot abstrakte tall til fordel for konkrete geometriske mengder, for eksempel lengde og areal av figurer. Tallene ble gjeninnført i geometrien i form avkoordinater avDescartes, som innså at studiet av geometriske figurer kan forenkles ved deres algebraisk representasjon. Detkartesiske koordinatsystem er også oppkalt etter ham.Analytisk geometri benytter algebrametoder til å besvare geometriske spørsmål, typisk ved å knytte sammen geometriskekurver og algebraiskeligninger. Disse ideene spilte en nøkkelrolle i utviklingen avkalkulus i det 17. århundre og førte til oppdagelsen av mange nye egenskaper hoskurver. Modernealgebraisk geometri møter lignende spørsmål på et langt mer abstrakt nivå.
Kvinne som underviser i geometri. Illustrasjon fra en utgave av EuklidsElementer fra middelalderen (ca. 1310)
EuklidsElementer (fra omkring 300 f.Kr.) er en av de viktigste tidlige tekstene om geometri. Her blir geometrien presentert i en ideellaksiomatisk form, som senere har blitt kjent som euklidsk geometri. Dette var sannsynligvis ikke den første læreboken i geometri, men det er den som har blitt bevart og den blir ansett som den viktigste. Helt fram til vår tid harElementer blitt brukt som lærebok i geometri ved universiteter og høgskoler over hele verden.
Tidlig på 1600-tallet skjedde to viktige ting i utviklingen av geometrien. Den første og viktigste var utviklingen avanalytisk geometri, eller geometri medkoordinater ogligninger. Denne utviklingen skjedde hovedsakelig med utgangspunkt i oppdagelser gjort avRené Descartes ogPierre de Fermat. Denne utviklingen var en nødvendig forutsetning for den senere utviklingen avmatematisk analyse og modernefysikk. Den andre viktige utviklingen av geometri i denne perioden var i forbindelse med det systematiske studiet avprojektiv geometri, ledet avGirard Desargues. I den projektive geometrien studerer en hvordan punkter er plassert i forhold til hverandre, uten å måle avstander mellom punktene.
Geometriundervisning i det 20. århundre
På 1800-tallet skjedde to nye oppdagelser innenfor geometrien, som stadig har stor betydning. Det dreier seg om oppdagelsen av ikke-euklidsk geometri, og formuleringen avsymmetri som et hovedfokus iFelix Kleins Erlangen-program. To av de mest kjente navnene på denne tiden varBernhard Riemann, som særlig trakk inn verktøy fra matematisk analyse og introduserte Riemann-flater, ogHenri Poincaré, grunnleggeren av algebraisktopologi og den geometriske teorien om dynamiske systemer.
Som en konsekvens av disse utviklingene i geometrien, fikk begrepetrom en mye rikere betydning. Videre fikk disse nye teoriene betydning for utviklingen av nye matematiske teorier innenfor så forskjellige områder somkompleks analyse og klassiskmekanikk.
