Ferdinand Lindemann (1873)[20] Axel Harnack (1875)[21] Ludwig Bieberbach (1910)[22] Adolf Hurwitz (1881)[23] Grace Chisholm Young (1895)[24] Maxime Bôcher (1891)[24] Oskar Bolza (1886)[25] Max Brückner (1886)[24] Frank Nelson Cole (1886)[24] Friedrich Dingeldey (1885)[24] Friedrich Engel (1883)[24] Ernst Fiedler (1885)[26] Henry Burchard Fine (1886)[24] Otto Fischer (1885)[24] August Föppl (1886)[27] Erwin Finlay-Freundlich (1910)[24] Robert Fricke (1886)[24] Philipp Furtwängler (1896)[28] Georg Helm (1881)[24] Edward Kasner (1899)[24] Conrad Müller (1904)[24] Alexander Markowitsch Ostrowski (1920)[24] Erwin Papperitz (1883)[24] Julio Rey Pastor (1909)[24] Hermann Rothe (1909)[24] Friedrich Schilling (1894)[24] Victor Schlegel (1881)[24] Virgil Snyder (1895)[24] Otto Staude (1881)[24] Walther von Dyck (1879)[29] Adolf Weiler (1873)[30] Max Winkelmann (1904)[31] Alexander Witting (1886)[32] Karl Rohn (1878)[33] Henry Seely White (1891)[34] Edward Burr Van Vleck (1893) Anton Aloys Timpe (1905)[24] Reinhold Müller (1883)[24] Mary Frances Winston Newson (1897)[24] Karl Wieghardt (1903)[24] Paul Friedrich Biedermann (1887)[24] Josef Diekmann (1871)[24] Wilhelm Braun (1875)[24] Ludwig Wedekind (1875)[24] Joseph Gierster (1881)[24] Ernst Lange (1882)[24] Guido Weichold (1883)[24] Paul Domsch (1885)[24] Georg Friedrich (1886)[24] Paul Gustav Heinrich Nimsch (1886)[24] Richard Olbricht (1887)[24] Willibald Reichardt (1887)[24] Johannes Schröder (1889)[24] Henry Dallas Thompson (1892)[24] Karl Schellenberg (1892)[24] Ernst Ritter (1891)[24] Theodor Glauner (1894)[24] Frederick S. Woods (1895)[24] Charles Jaccottet (1895)[24] Wilhelm Ihlenburg (1909)[24] Wilhelm Behrens (1911)[24] Paul Pfitzner (1884)[24] Rudolf Böger (1886)[24] Wilhelm Bretschneider (1875)[24] Bernhard Oscar Herrmann (1883)[24] Gustav Berger (1885)[24] Rudolf Besser (1885)[24]
Kjent for
Erlangen-programmet Klein-flaske Beltrami–Klein-modellen Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften Mathematische Annalen (1872–)[11]
Felix Christian Klein (1849–1925) var en tyskmatematiker. Klein var mest kjent for sine arbeider igruppeteori,funksjonslære,ikke-euklidsk geometri og sammenhengene mellomgeometri og gruppeteori. Hans såkalte Erlangen-program fra 1872 klassifiserte geometriene ved deres underliggendegrupper, og dette programmet har hatt stor innflytelse på dagens matematikk. Han var også en av pionerene innenformatematikkdidaktikken, og da den internasjonale kommisjonen for matematikkundervisning (ICMI) ble dannet i 1908, ble Klein valgt til dens første president.
Foreldrene til Klein var fraPreussen, og han gikk på gymnaset iDüsseldorf. Senere studerte han matematikk og fysikk ved Universitetet iBonn fra 1865 til 1866, og meningen var da at han skulle bli fysiker. I 1868 tok Klein doktorgraden under veiledning av Julius Plücker, som var professor i matematikk og eksperimentell fysikk. Plückers store interesse på den tiden var geometri, og da han døde i 1868 uten å ha fullført den andre delen av sin bokNeue Geometrie des Raumes, var Klein den naturlige arvtakeren.
I 1872 ble Klein professor iErlangen i delstatenBayern. Det var ikke så mange studenter i Erlangen på denne tiden, så det var med stor glede Klein tok i mot et professorat ved den tekniske høyskolen iMünchen i 1875. Det samme året giftet han seg med Anne Hegel, barnebarn av den kjente filosofenGeorg Wilhelm Friedrich Hegel.
Etter fem år i München ble Klein professor i geometri ved Universitetet iLeipzig. I 1882 opplevde han en fysisk kollaps, og i et par år etter dette var han sterkt plaget av depresjoner. I 1886 tok han imot et professorat ved Universitetet iGöttingen. Her underviste han helt fram til han gikk av med pensjon i 1913.
I Göttingen etablerte Klein et forskningssenter, og i 1894 ble det opprettet et professorat ididaktikk for de matematiske vitenskaper. Etter hvert ble dette forskningssenteret et svært toneangivende senter som fungerte som modell for mange av de beste forskningssentrene rundt om i verden. Klein introduserte ukentlige diskusjonsmøter, og han opprettet en matematisk lesesal og et bibliotek. I 1895 sørget Klein for at den kjente matematikerenDavid Hilbert ble knyttet til forskningssenteret i Göttingen.
Under Kleins ledelse ble tidsskriftetMatematische Annalen ett av de aller beste matematiske tidsskriftene i verden. Tidsskriftet ble grunnlagt av Clebsch, men det var først da Klein tok over at det ble virkelig utvikling. Han organiserte en liten gruppe av redaktører som møttes regelmessig og tok demokratiske avgjørelser. Spesialområdene til tidsskriftet var blant annetkompleks analyse ogalgebraisk geometri, men det ble også viktig for utviklingen avreell analyse og den nyegruppeteorien.
Omkring år 1900 begynte Klein å interessere seg særlig for matematikkundervisning i skolene, og i 1908 ble han valgt til president i det nystartedeInternational Commission on Mathematical Instruction (ICMI). Under Kleins ledelse publiserte den tyske grenen av ICMI en stor mengde bøker om undervisning i matematikk på alle nivåer.
I 1893 fikk Klein De Morgan medaljen avLondon Mathematical Society. I 1885 ble han utnevnt til medlem avRoyal Society, og i 1912 fikk hanCopley medaljen ved Royal Society. Året etter trakk han seg tilbake på grunn av dårlig helse, men han fortsatte å undervise i matematikk fra hjemmet sitt i enda noen år.
Kleins første viktige matematiske oppdagelser ble gjort i 1870. I samarbeid med den norske matematikerenSophus Lie oppdaget han de grunnleggende egenskapene til asymptotiske linjer i såkalteKummer-flater. De fortsatte å undersøkeW-kurver, som er en type kurver som er som er invariante under en gruppe av projektive transformasjoner. Det var Lie som introduserte Klein for gruppebegrepet, som skulle spille en viktig rolle i hans videre liv som matematiker.
Klein laget også den såkalteKlein-flasken, som er en lukket flate med bare én side. Dette er en figur som ikke kan konstrueres innenfor det euklidske rombegrepet, og det kan best beskrives som en sylinder som går iloop tilbake gjennom seg selv, for så å kobles sammen med sin egen ende. En Klein-flaske er bare mulig å konstruere i et ikke-euklidsk rom, og det vil da være en figur helt uten kanter. Hvis en maur begynner å gå langs overflaten på en slik flaske vil den aldri falle utfor noen kant, og den vil alltid komme tilbake til samme sted på en eller annen måte.
I 1890-årene vendte Klein tilbake til den matematiske fysikken, et emne som han aldri helt hadde forlatt, og sammen med sin elevArnold Sommerfeld skrev han omgyroskopet. På denne tiden var han også med og redigerte de fire bindene ommekanikk iEncyklopedie der Mathematischen Wissenschaften.
I 1871, mens han var i Göttingen, gjorde Klein noen viktige oppdagelser igeometri. Han publiserte to artikler som viste at både euklidske og ikke-euklidske geometrier kunne oppfattes som spesialtilfeller av en projektiv flate med et spesifikt tilhørende kjeglesnitt. En viktig setning som ble utledet ut fra dette arbeidet var at ikke-euklidsk geometri var konsistent hvis og bare hvis euklidsk geometri var det.
Kleins syntese av geometri som studiet av egenskaper ved et rom som er uforandret under en gitt transformasjonsgruppe ble kjent som Erlangen-programmet, og dette hadde stor betydning for den videre utviklingen av matematikken. Dette programmet foreslo en tilnærming til geometrien som stadig er det aksepterte synet blant matematikere.
Klein arbeidet blant annet med likninger av høyere enn 4. grad, og han var spesielt interessert i bruken av transcendentale metoder for å løse en generell femtegradslikning. Som en videreutvikling av metodene tilHermite ogKronecker produserte han lignende resultater som de Brioschi hadde kommet til, og han fortsatte med å gi en fullstendig løsning av problemet ved hjelp av en såkalt icosaeder-gruppe. Ut fra dette arbeidet skrev han en rekke artikler om elliptiske modulære funksjoner.
I sin bok om icosaederet fra 1884 framstilte Klein en teori om automorfe funksjoner, som knyttet sammenalgebra oggeometri. SidenHenri Poincaré publiserte et utdrag av sin teori om automorfe funksjoner allerede i 1881, ble det en vennskapelig rivalisering mellom de to om disse teoriene. Begge forsøkte å formulere og bevise en hovedsetning for disse nye teoriene, men underveis i dette arbeidet opplevde altså Klein at helsen sviktet, og han ble tvunget til å oppgi sin karrière som matematisk forsker.
