Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Hopp til innhold
Wikipedia
Søk

Eulers formel

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Eulers formel fremstilt i detkomplekse planet.

Eulers formel er enmatematisk ligning som gir en fundamental forbindelse mellom dennaturlige eksponentialfunksjonen og detrigonometriske funksjonene. Vanligvis skrives den som

eix=cos⁡x+isin⁡x{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}

derx er etreelt tall,e erEulers tall som er grunntallet fornaturlige logaritmer ogi  er denimaginære enheten definert somkvadratroten av -1.

Formelen er også gyldig i det mer generelle tilfellet derx er etkomplekst tall. Den ble første formulert på denne måten av den sveitsiske matematikerLeonhard Euler i 1748 og har siden vært benyttet overalt innen matematikk, fysikk og i mange teknologiske sammenhenger. For eksempel kan alle periodiskesvingninger ellerbølger fremstilles som kompleksefasevektorer og dermed forenkle mange beregninger.

Historie

[rediger |rediger kilde]

Opprinnelsen til Eulers formel kan føres tilbake til den engelske matematikerRoger Cotes. Ved å beregne overflaten til enellipsoide på to forskjellige måter kom han i 1714 frem til ligningen

iθ=ln⁡(cos⁡θ+isin⁡θ),{\displaystyle i\theta =\ln(\cos \theta +i\sin \theta ),}

men uheldigvis med motsatt fortegn på høyre side der ln er dennaturlige logaritmefunksjonen. På den tiden var ikke denne funksjonen for komplekse argument skikkelig forstått slik at han ikke kunne relatere den tileksponentialfunksjonen.[1]

Omtrent på samme tid hadde den franske matematikerAbraham de Moivre kommet frem til forskjelligetrigonometriske identiteter fra løsning av algebraiske ligninger med en nye fremgangsmåte han utviklet. Med moderne notasjon kan de skrives som

(cos⁡θ±isin⁡θ)n=cos⁡nθ±isin⁡nθ{\displaystyle (\cos \theta \pm i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta \pm i\sin n\theta }

hvorn er et positivtheltall.

I 1740 skrev Euler i et brev til sin tidligere læremesterJohann Bernoulli at både cosx  ogeix +e-ix var løsninger av den sammedifferensialligningen og derfor måtte være proporsjonale med hverandre. Det kunne han vise ved enrekkeutvikling av begge funksjonene.[1] Dette gjennombruddet presenterte Euler mer detaljert i sitt store verkIntroductio in Analysin Infinitorum som ble offentliggjort i 1748.[2] Her opptrådte hans formel for første gang på formen

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ{\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }

som den siden har blitt skrevet.[3] Det er en av de vakreste og viktigste formler i hele matematikken.Richard Feynman omtalte den i sine forelesninger somden mest fantastiske formel i matematikken - vår juvel.[4] I det spesielle tilfellet atθ =π , gir denEulers likhet

eiπ+1=0{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

dasinπ = 0 ogcosπ = -1. Den forbinder de totranscendentale tallenee ogπ  med de basale tallene 0 og 1 via denimaginære enheteni.

Bevis

[rediger |rediger kilde]

Dennaturlige eksponentialfunksjonenex  kan defineres ved at densderiverte er nøyaktig samme funksjon. Derfor vil den generelle løsningen avdifferensialligningeny" =a 2y  involvere de to funksjoneneeax  ellere-ax. For den spesielle ligningeny" = -y  vil dermed løsningen være en kombinasjon av de to komplekse funksjoneneeix  oge-ix. Med grensebetingelseney = 2 ogy'  = 0  forx = 0 kommer man frem til løsningeny =eix  +e-ix.

Men alternativt kan løsningen også finnes uttrykt ved de totrigonometriske funksjonene sinx og cosx. Når man tar hensyn til grensebetingelsen, kan den korrekte løsningen dermed også skrives somy = 2 cosx. Siden ligningen bare har en løsning, må man derfor ha sammenhengen

cos⁡x=eix+e−ix2{\displaystyle \cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}}

Da den deriverte av cosx er -sinx, finner man herav også den komplementære relasjonen

sin⁡x=eix−e−ix2i{\displaystyle \sin x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}}

Disse to uttrykkene er innholdet av Eulers formele±ix = cosx ±i sinx.

De Moivres formler

[rediger |rediger kilde]
Leonhard Euler i portrett fra 1753.

I sitt store arbeidIntroductio in Analysin Infinitorum gjorde Euler bruk av de Moivres formler til å bevise sin egen formel.[3] Det gjorde han ved å faktoriserePythagoras' læresetning på formencos2θ + sin2θ = 1  ved å skrive den som

(cos⁡θ+isin⁡θ)(cos⁡θ−isin⁡θ)=1{\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \theta -i\sin \theta )=1}

Ved å undersøke disse to faktorene hver for seg, kom han frem til det ønskede resultatet. For eksempel, ved direkte utregning er

(cos⁡θ±isin⁡θ)2=cos2⁡θ−sin2⁡θ±2isin⁡θcos⁡θ=cos⁡2θ±isin⁡2θ{\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta \pm i\sin \theta )^{2}&=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \pm 2i\sin \theta \cos \theta \\&=\cos 2\theta \pm i\sin 2\theta \end{aligned}}}

når man benytter de vanligeidentitene for sinus og cosinus til den dobbelte vinkel. Herav finner man mer generelt(cosθ +i sinθ)n  uttrykt ved cosnθ og sinnθ vedmatematisk induksjon.

Ved å kombinere disse to formlene til de Moivre finner man

cos⁡nθ=12[(cos⁡θ+isin⁡θ)n+(cos⁡θ−isin⁡θ)n]{\displaystyle \cos n\theta ={1 \over 2}\left[(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}+(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}\right]}

Euler lot hern bli veldig stor, men slik atnθ = x  ble holdt konstant ved å laθ samtidig avta mot null. Dacosθ → 1 ogsinθ →θ  i denne grensen, kom han frem til

cos⁡x=12limn→∞[(1+ixn)n+(1−ixn)n]=12(eix+e−ix){\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&={1 \over 2}\lim _{n\to \infty }\left[\left(1+{ix \over n}\right)^{n}+\left(1-{ix \over n}\right)^{n}\right]\\&={1 \over 2}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)\end{aligned}}}

ved å benytte definisjonen avEulers talle. På samme måte fant han sinx uttrykt ved differansen mellomeix  oge-ix.

Taylor-rekker

[rediger |rediger kilde]

Eulers formel følger mest direkte fraTaylor-rekken for dennaturlige eksponentialfunksjonenez som er gyldig for alle komplekse argumentz. I det spesielle tilfellet atz =ix følger da direkte at

eix=1+ix+(ix)22!+(ix)33!+(ix)44!+(ix)55!+⋯=(1−x22!+x44!−⋯)+i(x−x33!+x55!−⋯)=cos⁡x+isin⁡x{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+\cdots \\&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \right)\\&=\cos x+i\sin x\end{aligned}}}

når man benytter Taylor-rekkene for de totrigonometriske funksjonene. Alternativt kan man uttrykkeez ved de tohyperbolske funksjonene sinhz og coshz som

ez=12(ez+e−z+ez−e−z)=cosh⁡z+sinh⁡z{\displaystyle e^{z}={1 \over 2}\left(e^{z}+e^{-z}+e^{z}-e^{-z}\right)=\cosh z+\sinh z}

Forz =ix får man herav Eulers formel da coshix = cosx og sinhix =i sinx som følger fra definisjonene.[5]

Referanser

[rediger |rediger kilde]
  1. ^ab M. Kline,Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Volume 2, Oxford University Press, England (1972).ISBN 978-0-19-506136-9.
  2. ^ L. Euler,Introductio in Analysin Infinitorum, Marc Michel Bousquet & Co, Lausanne (1748), archive.org online
  3. ^ab W. Dunham,Euler: The Master of Us All, The Mathematical Association of America (1999).ISBN 0-88385-328-0.
  4. ^ R.P. Feynman,Feynman Lectures, Volume I i kommentaren til Eq. (22.9).
  5. ^ T. Lindstrøm,Kalkulus, Universitetsforlaget, Oslo (2000).ISBN 978-82-15-00977-3.

Eksterne lenker

[rediger |rediger kilde]
Oppslagsverk/autoritetsdata
Hentet fra «https://no.wikipedia.org/w/index.php?title=Eulers_formel&oldid=21189688»
Kategorier:
Skjulte kategorier:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp