Ethvert punkt i et tredimensjonalt euklidsk rom kan uttrykes ved tre koordinater.
Eteuklidsk rom eller etkartesisk rom er imatematikk etreelt endeligdimensjonaltvektorrom der det er definert et såkalt euklidskindreprodukt og en tilhørendenorm.[1][2] Har rommetn dimensjononer, betegnes det vanligvis somEn . Definisjonen av indreproduktet medfører at euklidske rom har egenskaper som svarer til de vi er fortrolig med fraeuklidsk geometri. Blant annet gjelder generaliseringer avPythagoras’ læresetning ogparallellogramloven.
Definisjonen av et Euklidske rom kan variere, og noen forfattere utvider definisjonen til også å omfattekomplekse tallmengder.[1] Alternativt defineres også euklidske rom mer generelt som et endelig- eller uendeligdimensjonalt (reelt) indreproduktrom, det vil si som et vektorrom utstyrt med et vilkårlig indreprodukt.[1][3] Denne alternative definisjonen er ikke så utbredt.[1]
Den reelle tallinjenR er et endimensjonalt euklidsk romE1. Tilsvarende er planetR2 og rommetR3 henholdsvis et todimensjonaltE2 og et tredimensjonaltE3 euklidsk rom når disse rommene er utstyrte med euklidskeindreprodukt.Definisjonen av et euklidsk rom abstraherer egenskaper kjent fra disse vektorrommene og gjør det også mulig å generalisere egenskapene til rom av høyeredimensjon. Et vilkårlign-dimensjonalt euklidsk rom erisomorft medRn, det vil si har sammestruktur somRn. NotasjonenEn er vanlig brukt for etn-dimensjonalt euklidsk rom, menRn kan også benyttes når det går klart frem av sammenhengen at rommet har etindreprodukt.
Løst kan en beskrive euklidske rom som mengder eller rom der deeuklidske geometriske postulatene er oppfylt.Euklid av Alexandria var en gresk matematiker som levde rundt 300 f.Kr. Navnetkartesiske rom er oppkalt etter den franske matematikerenRené Descartes.
Et euklidsk vektorromEn meddimensjonn er isomorft med det reellevektorrommetRn som har samme dimensjonn.[4] At rommene er isomorfe vil si at de har samme struktur, og en kan dermed studere strukturen i et vilkårlig euklidske rom ved å studere det tilsvarende vektorrommet.
Envektorx i detten-dimensjonale vektorrommet kan alltid angis vedn reelle tall (x1, x2, .... , xn) som
Disse samlingene av tall kalles ofte forn-tupler og utgjør koordinatene til vektorene. De kalles derfor også ofte forkoordinatvektorer. Vektorene kan også oppfattes sompunkt i vektorrommet og vil da kalles forposisjonsvektorer for de tilsvarende punktene.
Vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon i planet.
Vektorromsoperasjonene iEn defineres på samme måte som forRn. To vektorerv ogw kan adderes til å gi en ny vektor
og hver vektor kan multipliseres med et reelt tall,aw =(aw1, aw2, .... , awn). Komponentene tilnullvektoren er alle lik null.
VektorrommetRn har enstandardbasis definert ved vektorene
Disse kan også benyttes i det euklidske rommetEn. En vilkårlig vektoru kan derfor skrives som
Komponentenexi med hensyn til denne standardbasisen er da dekartesiske koordinatene til vektoren eller det tilsvarende punktet. Ved å danne lineære kombinasjoner av disse basisvektorene, fremkommer en ny basis. Komponentene i denne nye basisen vil da i alminnelighet bli forandret og kalles mer generelt forrettlinjete koordinater.
Dette vektorrommet blir euklidsk når det utstyres med etindreprodukt. For de to vektorenex ogy er dette i standardbasisen definert som[2]
Det kalles for det euklidske skalarproduktet eller ganske enkelt forskalarproduktet. For vektorene som utgjør standardbasisen betyr det at de har indreproduktene
Fra definisjonen av skalarproduktet følger at lengden av vektorenx +y er gitt ved
mens kvadratet av lengden til differansen mellom de to samme vektorene er
Legges disse to ligningene sammen, finner man at
Hvis vektorenex ogy representerer siden i etparallellogram, er dette resultatet et uttrykk forparallellogramloven da vektorenex +y ogx +y utgjør diagonalene i parallellogrammet. Summen av de fire kvadrerte sidene i parallellogrammet er lik summen av de to kvadrerte diagonalene.
Vinkelen mellom to vektorerx ogy definert fraindreproduktet.
Definisjonen av indreproduktet gjør at egenskaper til vinkler mellom vektorer kan generaliseres. Fra det3-dimensjonale euklidske vektorrommet kan man i alminnelighet definere vinkelenθ mellom to vektorerx ogy ved skalarproduktet
Er dette produktet lik null, sies vektoren å væreortogonale eller stå normalt på hverandre. Vinkelen mellom dem er da 90° som tilsvarerπ/2 radianer. Da ercosθ = 0 ogx⋅y = 0. Dette gjelder for enhetsvektorene i standardbasisen. De sies derfor å væreortonormerte.
Vektorsummenx +y representerer siden i en trekant hvorx ogy er de to andre sidene. Kvadreres denne summen, har man nå
som er et uttrykk forcosinussetningen i det euklidske rommet. Står vektorenex ogy vinkelrett på hverandre slik atθ = 90°, forenkles resultatet tilPythagoras’ læresetning
for en rettvinklet trekant bestående av enhypotenus med lengde |x +y| ogkateter |x| og |y|. Denne loven kan på et visst vis sies å definere euklidsk geometri.
Mengden av reelle 2 × 2matriser utgjør et vektorrom, med den vanlige matriseoperasjonene for addisjon og skalarmultiplikasjon. Med passende definisjon av indreprodukt og norm kan dette bli et euklidsk vektorrom. En matriseA i dette vektorrommet kan skrives på formen
Som basis kan en velge matrisene
Vektorrommet vil være et euklidsk vektorrom dersom det utstyres med det såkalte Froebenius-skalarproduktet, definert ved[5]
Den tilhørende Froebeniusnormen er definert ved
Vektorrommet har dimensjon 4 og er altså isomorft medR4. Merk at matriserommet ikke eridentisk medR4.
På kuleoverflaten vil vinklene i en trekant summeres til mer enn 180 grader, men lokalt oppfører kulen seg som et euklidsk rom.
Rundt300 f.Kr. studerte dengreske matematikeren Euklid forholdene mellom avstander og vinkler, først i planet (en idealisert flat overflate) og deretter i rommet. Et eksempel på et slikt forhold er at summen av vinklene i entrekant alltid er lik 180 grader. I dag er denne samlingen av forhold kjent som to- eller tredimensjonal euklidisk geometri.
I klassisk gresk geometri ble det euklidske planet og de tredimensjonale rommene definert ved bruk av en rekkeaksiomer, og rommenes andre egenskaper ble utledet somteoremer. I moderne matematikk er det mer vanlig å definere euklidsk rom ved bruk avkartesiske koordinater og prinsippene foranalytisk geometri. Dette gjør at man kan bruke verktøyene ialgebra ogmatematisk analyse til å løse geometriske problemer, og har den fordelen at den enkelt generaliserer til euklidske rom med mer enn tre dimensjoner.
En avgjørende egenskap ved euklidsk rom er dets «flathet». Det eksisterer vektorrom som ikke er euklidske, for eksempel knyttet til geometri på en kuleoverflate. En trekant på en kule vil (når den er passende definert) ha vinkler som til sammen kan summeres til mer enn 180 grader.
Ettersom et euklidsk rom er et metrisk rom, er det også ettopologisk rom, med den naturligetopologien som følger av metrikken. Metrikktopologien påRn kalles deneuklidske topologien.[6]
En mengde eråpen i den euklidske topologien hvis og bare hvis mengden inneholder enåpen kule om ethvert av punktene. Den euklidske topologien er ekvivalent medprodukttopologien for detkartesiske produktet (R ×R × ... ×R) , medn faktorer.
Et viktig resultat om topologien tilRn erBrouwers teorem fordomeneinvarians: Enhver delmengde avRn (meddeltopologien) som erhomeomorft med en annen åpen delmengde avRn, er selv åpen. En umiddelbar følge av dette er atRm ikke er homeomorft medRn hvism ≠n – et intuitivt resultat som ikke så lett lar seg bevise.
EtHilbertrom kan betraktes som en generalisering av et euklidsk rom til å omfatte også uendeligdimensjonale rom. Et Hilbertrom er etkomplett indreproduktrom, det vil si at alleCauchyfølger konvergerer i rommet.[7] Et Hilbertrom kan være definert med reelle eller komplekse vektorer. Dersom et euklidske rom defineres som et vilkårlig (reelt) indreproduktrom, så er dette sammenfallende med et (reelt)pre-Hilbertrom. Forskjellen med et Hilbertrom er kravet om kompletthet.
I moderne matematikk er euklidsk rom prototypen for andre mer kompliserte geometriske objekter. Eksempelvis er englattmangfoldighet etHausdorff-rom, som er lokaltdiffeomorft med euklidsk rom. Diffeomorfier bevarer ikke avstand og indreprodukt, så disse begrepene går tapt på en glatt mangfoldighet. Tilføyer man imidlertid mangfoldigheten et glatt indreprodukt på mangfoldighetenstangentrom, får en det som kalles enriemannsk mangfoldighet. Med andre ord er en riemannsk mangfoldighet et rom og resultat av å deformere og sammenlappe euklidske rom. Et slikt rom har også begreper som avstander og vinkler, men oppfører seg på enkrum ikke-euklidsk måte. Den enkleste riemannske mangfoldigheten består avRn med et konstant indreprodukt, og det er i seg selv stort sett identisk med det euklidske rom.
Illustrasjon av hvordan masse endrer romtidens krumning.
Endrer man det euklidske rommet slik at dets indreprodukt blir negativt i en eller flere retninger, får en frem det som kallespseudoeuklidsk rom. Glatte mangfoldigheter basert på disse rommene kallespseudoriemannskemangfoldigheter. Deres kanskje mest kjente anvendelse er irelativitetsteorien, hvormaterieløstromtid representeres ved et flatt pseudoeuklidsk rom kaltMinkowski-rommet, og hvor romtider med materie representeres ved andre pseudoriemannske mangfoldigheter ogtyngdekraften svarer til krumningen av en slik mangfoldighet.
Vårt univers, som er underlagt relativitetsteorien, er ikke euklidsk. Dette er avgjørende i teoretiske betraktninger iastronomi ogkosmologi, samt i praktiske problemstillinger somglobal posisjonering ognavigasjon avfly. Ikke desto mindre kan en euklidsk modell brukes i løsningen av mange andre problemer med tilstrekkelig presisjon.
.jpg)
