Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Hopp til innhald
Wikipediadet frie oppslagsverket
Søk

Komplekse tal

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket

Dei komplekse tala erden algebraiske lukkinga avdei reelle tala og kan uttykkast som mengda av allez=x+iy{\displaystyle z=x+iy}, korx{\displaystyle x} ogy{\displaystyle y} er reelle tal ogi{\displaystyle i} er definert slik ati2=−1{\displaystyle i^{2}=-1}.C{\displaystyle \mathbb {C} } er einkropp under naturleg addisjon og multiplikasjon.

Laz=x+iy{\displaystyle z=x+iy} korx,y∈R{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }.Re⁡z=x{\displaystyle \operatorname {Re} {z}=x} er denreelle delen avz{\displaystyle z} ogIm⁡z=y{\displaystyle \operatorname {Im} {z}=y} er denimaginære delen avz{\displaystyle z}.

Definisjon og konstruksjon

[endre |endre wikiteksten]

Dei komplekse tala kan definerast og konstruerast på fleire måtar. Me definerer fyrst eksplisittC={x+iy|x,y∈R}{\displaystyle \mathbb {C} =\{x+iy|x,y\in \mathbb {R} \}}, kori2=−1{\displaystyle i^{2}=-1}. Det er ikkje vanskeleg å sjå at dette utgjer ein kropp, kor den additive inversen tilx+iy{\displaystyle x+iy} er gitt vedx−iy{\displaystyle x-iy} og den multiplikative inversen tilx+iy{\displaystyle x+iy} (gitt at ikkje bådex,y=0{\displaystyle x,y=0}) er gitt ved

(x+iy)−1=1/(x+iy)=(x−iy)/(x2+y2){\displaystyle (x+iy)^{-1}=1/(x+iy)=(x-iy)/(x^{2}+y^{2})}

At addisjon og multiplikasjon er assosiative operasjoner og distribuerar over kvarandre følgjer frå at addisjon og multiplikasjon av dei reelle tala har desse eigenskapene. Me har dermed vist atC{\displaystyle \mathbb {C} } utgjer ein kropp ut frå denne definisjonen.

Det er også mogleg å konstruera dei komplekse tala fråpolynomringenR[x]{\displaystyle \mathbb {R} [x]} tilR{\displaystyle \mathbb {R} }. Merk fyrst at polynometx2+1{\displaystyle x^{2}+1} erirredusibelt over dei reelle tala. Dermed utgjerkvotientringenC=R[x]/(x2+1){\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)} ein kropp, korI=(x2+1){\displaystyle I=(x^{2}+1)} eridealet generert avx2+1{\displaystyle x^{2}+1}. Multiplikasjon og addisjon iC{\displaystyle \mathbb {C} } er arva frå multiplikasjon og addisjon iR[x]{\displaystyle \mathbb {R} [x]}.C{\displaystyle \mathbb {C} } består av element på formena+bx+I{\displaystyle a+bx+I} korx2=−1{\displaystyle x^{2}=-1} oga,b∈R{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }.

Sjå også

[endre |endre wikiteksten]
Autoritetsdata
Henta frå «https://nn.wikipedia.org/w/index.php?title=Komplekse_tal&oldid=3284375»
Kategoriar:
Gøymd kategori:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp