Kepler fann at kvar planet går i ein ellipsebane med sola i det eine brennpunktet til ellipsen.
Kepler-lovene er trelover som skildrar rørsla tilplanetane omkringsola. Dei vart funne og formulert avJohannes Kepler ved nøyaktig studium av planetrørslene og på grunnlag av observasjonane tilTycho Brahe.
Isaac Newton fann 50 år seinare at desse lovene kan utleiast avgravitasjonslova, den tredje lova i ein litt modifisert form. Den eksakte formulering er: Kvadratet av den sideriske omlaupstida er proporsjonalt med tredje potens av middelavstanden og omvendt proporsjonalt med summen av massane til sola og planeten.Relativitetsteorien innfører små endringar i lovene.
Godta at planeten har massem og rører berre seg påverka avgravitasjonskrafta frå sola med masseM. Då er denpotensielle energien til planetenV = - GmM/r derG ergravitasjonskonstanten. Denne avheng berre av avstandenr og er difor den same i alle punkt rundt sola med same avstand til denne. Rørsla skjer då i eit plan normalt tildreieimpulsenL =r×p derp erimpulsen til planeten. Det er då føremålstenleg å nyttapolarkoordinatar (r,θ) i dette planet slik at denkinetiske energien kan skrivast som
Med desse koordinatane er no
det konstanteimpulsmomentet. Ved bruk avLagrangemekanikk ville ein ha forklart dette ved at vinkelenθ er einsyklisk variabel då han ikkje opptrer i uttrykket for energien til planeten.
Den totale energien til planeten
er òg konstant for rørsla. Det kan no brukast til å finne likningar = r(θ) for banen til planeten. Det vert gjort enklast ved å bruka den konstante dreieimpulsen til å skriva den tidsderiverte som
etter å ha innført den spesifikke dreieimpulsenλ = L/m. I tillegg er det føremålstenleg å nytta den inverse radialavstandu = 1/r som avhengig variabel. Då vert
Nyttast denne omskrivninga i uttrykket for energien, tek den likninga den nye forma
etter å ha innført den spesifikke energienε = E/m og koru' =du/dθ. Deriverer vi no begge sidene her med omsyn på vinkelenθ, gjev venstresida null då energien til planeten er ein konstant. Høgresida gjev då ein andre ordensdifferensiallikning
Ei løysing er opplagtu = GM/λ2 som tilsvarer rørsle i ein sirkel. Dette spesielle tilfellet ser vi mellombels bort frå.
Viss høgresida var null, ville løysinga av differensiallikninga vera ei oscillerande rørsleu = u0 cos(θ - θ0) deru0 ogθ0 er integrasjonskonstantar. Men her er høgresida ein positiv konstant slik at den generelle løysinga vertu = u0 cos(θ - θ0) +GM/λ2. Går ein så tilbake til den opphavlege koordinatenr = 1/u, finn ein at banen er gjeven ved likninga
som skildrar eitkjeglesnitt. Konstantenp =λ2/GM ersemi latus rectum oge = u0/p ereksentrisiteten for banen. Denne kan finnast ved å setja denne løysinga inn i uttrykket for energien. Det gjev at
Når energienε > 0 er difore > 1 og banen er einhyperbel, medan forε < 0 verte < 1 og banen er einellipse. I det spesielle tilfellet at energienε = 0 degenerer denne til ein sirkel som har null eksentrisitet.
Newtons gravitasjonslov har same form somCoulomblova for krafta mellom to elektriske ladningar. Har desse motsett forteikn, er den elektriske krafta tiltrekkjande og begge ladningane vil kunna ha ei bunden Kepler-rørsle i ein ellipse. Denne eigenskapen ligg bakBohrs atommodell. Men for ladningar med same forteikn er krafta fråstøytande, og den gjensidige rørsla deira vil berre ha positiv energi. Difor er eksentrisitetene > 1 slik at banen alltid må vera einhyperbel. Dette er relevant i forklaringa avRutherford sittgullfolieeksperiment med spreiing av positiv ladde α - partiklar på positive ladde atomkjernar.
Basert på observasjonane sine avplaneten Mars som han hadde gjort som assistent forTycho Brahe, publiserte Kepler sine to første lovar i1609 i verket sittAstronomia Nova. Ti år seinare formulerte han den tredje lova si i det nye verketHarmonices Mundi.
Ellipsen framstelt i polarkoordinatar(r, θ) med sentrum i høgre brennpunkt der sola er. I figuren era den store halvaksen ogb den vesle halvaksen, medanp ersemi latus rectum. Nårθ = 0° vertr = rmin og planeten er iperihelium. Det motsette tilfellet medθ = 180° er planeten sittaphelium medr = rmax.
Planeten rører seg i einellipse som er nærast sola forθ = θ0. Det er føremålstenleg å leggja koordinatsystemet slik atθ0 = 0 . Då er ellipsen skildra ved likninga
slik at forθ = 90° vertr =p som vist i figuren ved sida av.
Nårθ = 0 er planeten i sittperihelium (næraste sola) ved minimumavstanden
medan han forθ = 180° er ved sittaphelium (lengst frå sola) ved maksimumavstanden
Den andre lova til Kepler seier at dei skraverte areala skal vera like store viss dei er tilbakelagd i same tid.
Den andre lova seier at baneradiusen sveiper ut like store areal i løpet av like lang tid. Denne loven er òg kjend somlova om like areal.
Om vi antek at ein planet brukar ein dag på å røra seg frå punktA tilB, vil linjene frå sola tilA ogB som vist i figuren, utgjera ein vinkelsektor. Keplers andre lov seier at arealet av denne vinkelsektoren vil vera like stort som arealet av sektoren som vert danna mellom sola ogC ogD, dersom det òg tek ein dag for planeten å røra frå segC tilD.
Etter eit kort tidsinterval gjeven ved differensialetdt, vil vinkelsektoren få eit tillegg frå ein liten trekant som har siderr ogrdθ. Han har arealetda = (1/2)r2dθ slik atflatefarten vert
Då dreieimpulsenL er konstant, vil òg denne farten vera konstant og Keplers andre lov er bevist.
Planeten får altså større fare jo nærare sola han kjem. Dette kjem av at sola sitt tyngdefelt akselererer planeten medan han nærmar seg mot sola, og bremsar han medan han rører seg bort frå sola. Kepler kjende likevel ikkje til denne fysiske forklaringa av fenomenet, han berre fastslo at det var slik det skjedde og skildra det matematisk.
Dei to lovane gav Kepler høvet til å rekne ut posisjonen til ein planet ut frå tidat som var gått sidan planeten var i sitt perihelion, og omlaupstidaT. Utrekningane kan gjerast i fire trinn:
1 . Rekn utden midlare anomalienM frå formelen
2 . Rekn utden eksentriske anomalienE ved å numerisk løysaKepler-likninga
3 . Rekn ut vinkelenθ som erden sanne anomalien, frå likninga
4 . Rekn ut denheliosentriske avstandenr frå den første lova
Det var ved ein liknande prosess atKepler kom fram til sine epokegjerande oppdagingar.
Illustrasjon av dei tre Kepler-lovene med to planetar i omløp. (1) Banane er ellipsar, med fokuspunktf1 ogf2 for den første planeten ogf1 ogf3 for den andre planeten. Sola er plassert fokuspunktetf1. (2) Dei to skuggelagde segmentaA1 ogA2 har den same overflata, og tida det tek for planet 1 å dekka segmentet A1 er like tida det tek å dekka A2. (3) Den totale omlaupstida for planet 1 og planet 2 har tilhøvet (a1/a2)3/2.
Den tredje loven seier at tilhøvet mellomkvadratet av omlaupstidaT og middelavstandena frå sola i tredje potens er det same for alle planetar som går i bane rundt det same lekamen:
Denne loven kan bevisast ved å nytta at planeten i løpet av omlaupstidaT skildrar ein full ellipse med arealA = π ab. Men frå den konstante arealfarten følgjer at dette er òg gjeve somA = λT/2. Setjast desse to uttrykka lik kvarandre, får ein
ved å kvadrera begge sidene. Samstundes har ein den geometriske samanhengenb2 = a p, som vart tidlegare utleidd, kor nop = λ2/GM. Dermed vert resultatet
som er Keplers tredje lov. TilhøvetT2/a3 har altså same verdi for alle planetar isolsystemet. Ved å innføra vinkelfartenω = 2π/T for det periodiske omløpet, kan denne lova òg skrivast somω2a3 = GM.
Kepler-lovene gjeld for alle bundne planetar eller stjerner som rører seg om ein sentral masse. Spesielt kan den tredje lova brukast til å påvisa nye massar i universet. Ved å observere korleis stjerner rører seg rundt ulikegalaksar kan ein utor omlaupstderT for ei stjerne og avstanden til stjerna frå sentrum avgjera massenM innanfor banen. Det var slike observasjonarVera Rubin gjorde og som først påviste eksistensen av ny, usynleg masse som måtte vera der i dei fleste galaksane. Dette kan vere ukjend,mørk materie. Vidare kan ein studere korleis stjernene rører seg i sentrum av vår eigen galakse. Dei roterer rundt eitkvart med ein masse som svarar til fleire millionar gonger massen til sola. Mest truleg er dette eitsupermassivt svart hòl.
