Eitintegral av einmatematisk funksjon er idifferensialrekning ei utviding av konseptet summasjon. Prosessen med å finne integral vert kallaintegrasjon ellerintegrering, og vert vanlegvis brukt for å finne totalsummen av eigenskapar som areal, volum, masse, forskyving osv, når fordelinga eller endringsraten med omsyn til andre storleikar (posisjon, tid) er spesifisert. Det finst fleire forskjellige definisjonar på integrasjon som inneber forskjellige tekniske metodar. Dei er derimot samsvarande, og to forskjellige måtar å integrere ein funksjon på vil gje same resultat når begge er definert.
Uttrykket «integral» kan òg referere tilantideriverte. Sjølv om dei er nært knytt saman gjennomanalysen sitt fundamentalteorem, er dei to førestillingane omgrepsmessig forskjellige. Ein antiderivert vert ofte referert til som eitubestemt integral (ein funksjon), medan integral i denne artikkelen omhandlarbestemte integral.
Integralet til ein funksjonf med ein reell variabelx på intervallet [a,b] er lik arealet mellom linjenex =a,x =b,x-aksen, og kurva som vert definert av grafen tilf. Dette vert formalistert av den enklaste forma av eit integral,Riemann-integralet, som gjev oss ein metode for å rekne ut dette arealet ved å brukegrenser for å dele arealet inn i tynnare rektangulære striper og føreta summen av arealet til kvar stripe. (sjådøme på dette).
Eit alternativ er å la
slik at integralet avf melloma ogb er eitmål avS. I denne metoden gjev integrasjon eit tal knytt til S, som gjev oss ein ide om «storleiken» til settet (men dette er forskjellig fråkardinalitet ellerstorleiksorden). Dette fører til ein annan og meir mektig definisjon av integralet, kallaLebesgue-integral.
Leibniz introdusertelang s som notasjon for integralet. Integralet diskutert over ville då ha vore skrive.-teiknet representerer integrasjonen,a ogb er grenseverdiane iintervallet,f(x)' er funksjonen som vert integrert, kallaintegrand, ogdx er notasjonen for integrasjonsvariabelen. Historisk sett representertedx ein infinitesimal storleik, og lang s stod for «sum». I moderne integrasjonsteoriar, som er bygd opp på andre grunnlag, vert ikkje denne notasjonen lenger tenkt på som ein sum, bortsett frå i dei mest uformelle tilfella. I dag representererdx eitdifferensial.
Vissf til dømes er einkonstant funksjonf(x) = 3, så vil integralet avf mellom 0 og 10 vere arealet av rektangelet som er avgrensa av linjenex = 0,x = 10,y = 0, ogy = 3. Arealet til dette rektangelet er breidda multiplisert med høgda, så verdien av integralet er 30. Det same resultatet vil ein finne ved å integrere funksjonen, men metoden vert vanlegvis brukt for meir kompliserte eller glatte kurver.
Den mest grunnleggande teknikken for å rekne ut integral med ein reell variabel er basert påanalysen sitt fundamentalteorem. Det føregår slik:
Vel ein funksjonf(x) og eit intervall [a,b].
Finn ein antiderivert avf, altså ein funksjonF slik atF' =f.
Fundamentalteoremet gjev, så lenge integranden og integralet ikkje harsingularitetar på integrasjonsvegen, at
Derfor er verdien av integraletF(b) −F(a).
Merk at integralet ikkje eigentleg er den antideriverte, men fundamentalteoremet tillet oss å bruk antideriverte til å utrede bestemte integral.
Det vanskelege er ofte å finne ein antiderivert avf. Det er sjeldan mogeleg å ta ein kikk på ein funksjon og skrive ned den antideriverte. Ofte er det nødvendig å bruke ein av dei mange teknikkane som er utvikla for å rekne ut integral. Dei fleste av desse teknikkane går ut på å skrive om eit integral til eit anna integral, som kanskje er lettare å finna antideriverte til. Desse teknikkane er mellom anna:
Sjølv om ingen av desse teknikkane skulle føre fram, er det framleis mogeleg å evaluere eit gjeve integral. Ein annan teknikk som er ganske vanleg errestanalyse, derTaylor-rekkjer av og til kan brukast for å finne antideriverte. Det finst òg fleire andre måtar å rekne ut bestemte integral på, til dømes kanParsevals identitet brukast til å transformere eit integral over eit rektangulært område til ein uendeleg sum. Av og til må ein gjere eit triks for å rekne ut eit integral. For døme på dette sjågaussisk integral.
Bestemte integral kan tilnærmast ved å bruke fleire metodar avnumerisk integrasjon. Ein populær metode, kallarektangelmetoden, går ut på å dele området under funksjonen opp i ei rekkje rektanglar, og så finne summen av desse. Andre metodar ertrapesregelen ogSimpsons regel.
Enkelte integral kan ein ikkje finne eksakt, medan andre integral er så kompliserte at ein om ein skulle finne eit eksakt svar så ville det teke svært lang tid med mykje utrekning. Ei tilnærming er derimot ein proesess som byggjer på innsetjing, multiplisering, addisjon og dividering av variablar. Dette kan lett gjerast med moderne kalkulatorar og datamaskinar. Mange problemstillingar i den verkelege verda er avhengig av å kunne rekne ut tilnærma verdiar av intregral, fordi formlane elles ville vore svært kompliserte, og fordi ein ofte ikkje treng eit heilt eksakt svar.
Ikkje alle integral kan reknast ut ved å bruke ein enkel grenseprosess. Eit integral som berre kan reknast ut ved å sjå på det som grensa av integral for større og større intervall vert kallauekte integral. Uekte integral får ein vanlegvis når rekkevidda til funksjonen som skal integrerast er uendeleg, eller i tilfellet medRiemann-integral, når domenet til funksjonen er uendeleg. Eit døme på eit uekte integral erCauchy sin pålydande verdi.
Dei viktigaste integrala erRiemann-integralet ogLebesgue-integralet. Riemann-integralet vart utvikla avBernhard Riemann i1854 og var den første klåre definisjonen av integralet. Lebesgue-integralet vart utvikla avHenri Lebesgue for å integrere fleire typar funksjonar og for å gje eitteorem om utvekslande grenser og integral.
Sjølv om Riemann- og Lebesgue-integrala er dei viktigaste, har ein fleire andre integral som:
Fleire matematiske funksjonar og konstantar kan definerast ved å bruke eit integral. Dennaturlege logaritmen, skrivenln(x), er definert for allex > 0 som
Derfor kan den matematiske konstantene definerast som det unike talet som oppfyller
Isaac Newton brukte ein liten vertikal strek over ein variabel for å indikere integrasjon, eller plasserte variabelen inni ein boks. Den vertikale streken kunne derimot lett forvekslast med eller, som Newton brukte for å indikere differensial, og boksnotasjon var vanskeleg for boktrykkarar å framstille, så desse notasjonane vart ikkje mykje brukt.
Den moderne notasjonen for eit ubestemt integral vart introdusert avGottfried Leibniz i 1675. Han brukte integralsymbolet «∫» frå ein utstrekt S, som stod forsumma (latinsk for sum). Den moderne notasjonen for det bestemte integralet, med grenser over og under integralteiknet, vart først brukt avJoseph Fourier i 1822.[1]
