Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Hopp til innhald
Wikipediadet frie oppslagsverket
Søk

Gradient

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket
Skalarfeltet på dei to figurane er svart og kvitt. Det svarte representerer høgare verdiar og dei blå pilene representerer gradienten.

Eingradient i eitskalarfelt er eitvektorfelt som peikar i retninga der skalarfeltet aukar mest.Helling er i røynda ein gradient.

Ei generalisering av gradienten for funksjonar i eiteuklidsk rom som har verdiar i eit anna euklidsk rom erjakobisk. Ei vidare generalisering for ein funksjon frå eitbanach-rom til eit anna er denfréchet derivertee.

Tolking

[endre |endre wikiteksten]

Tenk deg eit rom der temperaturen er gjeven av eit skalarfeltT{\displaystyle T}, slik at i kvart punkt(x,y,z){\displaystyle (x,y,z)} er temperaturenT(x,y,z){\displaystyle T(x,y,z)} (vi reknar her at temperaturen ikkje endrar seg med tida). I kvart punkt i dette rommet vil gradienten tilT{\displaystyle T} syne i kva retning temperaturen stig raskast. Storleiken til gradienten vil avgjere kor raskt temperaturen stig i denne retninga.

Tenk deg ein ås der høgda over havet i kvart punkt(x,y){\displaystyle (x,y)} erH(x,y){\displaystyle H(x,y)}. Gradienten tilH{\displaystyle H} i eit punkt er ein vektor som peikar i retninga der hellinga er brattast. Kor bratt hellinga er i dette punktet er avgjort av storleiken til gradientvektoren.

Gradienten kan nyttast til å måle korleis eit skalarfelt endrar seg i alle retninga, ikkje berre den retninga med størst endring. Dette gjer ein ved å ta eitprikkprodukt. Tenk deg åsen igjen og at den brattaste hellinga i åsen er 40 %. Om ein veg går rett opp åsen så vil den brattaste delen av vegen òg vere på 40 %. Om vegen i staden går på skrått oppover åsen (gardientvektoren), så vil ikkje vegen vere like bratt. Til dømes, om vinkelen mellom vegen og retninga rett opp åsen på projektert ned på eit horisontalt plan er 60º, så er den brattaste hellinga på vegen 20 %, som er 40 % gangarcosinus til 60º.

Definisjon

[endre |endre wikiteksten]

Gradienten (eller gradientvektorfeltet) til ein skalar funksjonf(x1,x2,x3,…xn){\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},\dots x_{n})} er skriven som∇f{\displaystyle \nabla f} (han kan òg skrivast som∇→f{\displaystyle {\vec {\nabla }}f}), der∇{\displaystyle \nabla } (nablasymbolet) skildrardifferensialoperatoren til vektoren,del. Notasjonengrad⁡(f){\displaystyle \operatorname {grad} (f)} vert òg nytta for gradienten. Gradienten tilf er definert som eitvektorfelt der komponentane erpartiellderiverte avf{\displaystyle f}. Altså:

∇f=(∂f∂x1,…,∂f∂xn).{\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).}

Her er gradienten skrive som einrekkjevektor, men vert ofte mistolka som einsøylevektor. Når ein funksjon er avhengig av ein parameter som tid, så omhandlar som regel vektoren berre dei romlege derivative.

Uttrykk for gradienten i tre dimensjonar

[endre |endre wikiteksten]

Gradientforma er avhengig av koordinatsystemet som er nytta. Ikartesiske koordinatar vert uttrykket over skrive som

∇f(x,y,z)=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z){\displaystyle \nabla f(x,y,z)=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)}

som ofte vert skriven ved å nytte dei vanlegevektoranei^,j^,k^{\displaystyle {\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}}}:

∂f∂xi^+∂f∂yj^+∂f∂zk^{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {k}}}

Isylindriske koordinatar vert gradienten gjeven som:

∇f(ρ,θ,z)=∂f∂ρeρ+1ρ∂f∂θeθ+∂f∂zez{\displaystyle \nabla f(\rho ,\theta ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z}}

derθ{\displaystyle \theta } er kompassvinkelen,z{\displaystyle z} er aksekoordinaten ogeρ,eθ andez er einingsvektorar som peiker langs koordinatretningane.

Isfæriske koordinatar:

∇f(r,θ,ϕ)=∂f∂rer+1r∂f∂θeθ+1rsin⁡θ∂f∂ϕeϕ{\displaystyle \nabla f(r,\theta ,\phi )={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\mathbf {e} _{\phi }}

derϕ{\displaystyle \phi } er kompassvinkelen ogθ{\displaystyle \theta } er senitvinkelen.

Døme

[endre |endre wikiteksten]

Til dømes er gradienten til ein funksjon i kartesiske koordinatar

f(x,y,z)= 2x+3y2−sin⁡(z){\displaystyle f(x,y,z)=\ 2x+3y^{2}-\sin(z)}

er:

∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)=(2,6y,−cos⁡(z)).{\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)=\left(2,6y,-\cos(z)\right).}

Kjelder

[endre |endre wikiteksten]
Henta frå «https://nn.wikipedia.org/w/index.php?title=Gradient&oldid=3184020»
Kategoriar:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp