Geometri (gresk γεωμετρία;geo = «jord»,metria = «mål», «måling») er ei grein avmatematikk som opphavleg omhandla romstorleikar sompunkt,linjer,kurver,flater og lekamar og plasseringa, forma og storleiken deira. Etter kvart har geometrien utvikla seg utover dette og omfattar i dag mange teoriar som ein ikkje direkte kan vise ved hjelp av vanlege romstorleikar, men som anten på grunn av den historiske utviklinga eller på grunn av den logiske slektskapen med reint geometriske teoriar likevel tradisjonsmessig vert rekna til geometrien.
Både dei gamleegyptarane ogbabylonarane hadde omfattande kunnskap omflate- og rommmåling. Det var derimot hovudsakleg i dengreske antikken at dei geometriske kunnskapane vart bygd opp i eit logisk system. Dei viktigaste matematikarane for utviklinga av geometrien varEvdoxos (død ca. 350 f.Kr.) og særskildEvklid (ca. 300 f.Kr.). Verket til Evklid,Element, der han systematiserte idear heilt tilbake tilPythagoras, hansdamar bådeplangeometri, som er læra om figurar i eitplan, ogstereometri eller romgeometri. Han prøvde å gje eitdeduktivt system som grunnlag for geometrien.Element vart nytta som lærebok i matematikk i over 2000 år, og fram til slutten av 1800-talet varteuklidsk geometri rekna som den einaste forma for geometri.
Av greske matematikarar på 200-talet f.Kr. finn einArkhimedes som gjordeareal ogvolumutrekningar ogApollonios som arbeidde medkjeglesnitt. Kring 130 e.Kr. dannaPtolemaios i hovudsak grunnlaget fortrigonometrien, førarabiske astronomar og matematikarar kom med viktige bidrag til det feltet. Arabarane ogindarane medverka eller forholdsvis lite til den vidare utviklinga av geometrien.
IVest-Europa vart det først teke store skritt vidare gjennomJohannes Kepler (død 1630),Bonaventura Cavalieri (død 1647) ogPierre de Fermat (død 1665). Dei skapte ei ny retning innan geometrien, som kan førast attende til metodane til Arkhimedes og som etter kvart fører over tilinfinitesimalrekninga. I lag med koordinatgeometrien eller denanalytiske geometrien tilRené Descartes i 1637, vart det danna eit grunnlag for ein stadig utvikling av geometrien som fører fram til modernealgebraisk geometri ogdifferensialgeometri. Den analytiske formuleringa gjer et naturleg å utvide teorien innan desse geometrigreinene til å gjelde vilkårlege n-dimensjonale rom, og ein teori somden generelle relativitetsteorien kan reknast ei spesialutgåve av differensialgeometrien.
Euklid prøvde å gje eit reintaksiomatisk grunnlag for geometrien, men systemet hans tilfredsstiller ikkje dei moderne logiske krava. Mellom anna harDavid Hilbert,Henri Poincaré ogOswald Veblen gjeve meir stringente system, og særleg kjend erGrundlagen der Geometrie av Hilbert frå 1899, der han prøver å stiler opp eit meir rigorøst og konsistent system.
Det femte postulatet til Evkild, ellerparallellaksiomet, som seier at ein gjennom eit punkt utanfor ei linje berre kan trekke éinparallell med linja, er ikkje like intuitivt innlysande som dei andre aksioma hans.Johann Carl Friedrich Gauss var av dei første som var klar ovr at ein kan konstruere geometriar der dette aksiomet ikkje er oppfylt, men det var førstJohann Bolyai i 1832 ogNikolaj Lobatsjevskij i 1836 som gav ut teoriar forikkje-euklidske geometriar. Dei studerte begge såkalla hyperbolske geometriar, der parallellaksiomet ikkje gjeld, sidan det finst uendeleg mange parallellar gjennom eit punkt. I 1868 viste italienarenEugenio Beltrami at desse geometriane er like logisk konsistente som den euklidske geometrien. Seinare visteBernhard Riemann at elliptiske geometriar finst, der det andre aksiomet til Euklid heller ikkje gjeld, og der det ikkje finst nokon parallellar.
Riemann viste i den kjende artikkelenÜber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen i 1854 korleis ein kan kome fram til ein meir generell geometri ved einmetrikk eller avstandsdefinisjon.Felix Klein gav i 1872 utErlangen-programmet der han påviste at dei geometriske eigenskapane er invariantar for ei gruppe som geometrien definerer. Denne klassifiseringa har danna grunnlaget for det meste av geometrien ein nyttar i dag.
På 1900-talet skjedde det ei revolusjonerande utvikling i geometrien, særleg på grunn av framkomsten avalgebraisk topologi. Det vert då trekt inn eit særs avansert algebraisk apparat som eit dominerande hjelpemiddel i fleire geometriske studiar og teoriar.
Dei siste tiåra har dette gjort at ein har fått eit tettare samspel mellom geometri og andre vitskaplege velt. Eit døme er at teknikkar frå algebraisk geometri spelte ei avgjerande rolle dåAndrew John Wiles bevisteFermats sats, som i utgangspunktet var eit reinttalteoretisk problem. Eit anna døme er arbeida tilEdward Witten om fysisksuperstrengteori som har opna heilt nye perspektiv i differensialgeometri og algebraisk geometri.Alain Connes er eit anna døme der han arbeider med ikkje-kommutativ geometri.
