Poulsen is een zoon van een Tanzaniaanse vader en een Deense moeder. Hij speelde in de jeugd bijBK Skjold. Tussen 2011 en 2013 speelde hij twee seizoenen in het eerste elftal vanLyngby BK, waarvoor hij 11 doelpunten maakte in 35 competitiewedstrijden. Poulsen tekende in juli 2013 een vierjarig contract bijRB Leipzig, dat net gepromoveerd was naar de3. Liga. CoachAlexander Zorniger nam hem direct op in zijn basisopstelling.
Poulsen behoorde tot de vaste kern van Leipzig-spelers die de club vanaf 2013 in drie jaar tijd van het derde niveau naar deBundesliga brachten. Hij maakte ook vast deel uit van het RB Leipzig dat in haar eerste seizoen op het hoogste niveau ooit tweede werd in de eindstand. Poulsen debuteerde zodoende in 2017/18 in deUEFA Champions League. Hij maakte op 30 maart 2019 voor het eerst in zijn profcarrière eenhattrick. Hij zette Leipzig toen op zowel 2–0, 3–0 als 4–0 in een met 5–0 gewonnen competitiewedstrijd thuis tegenHertha BSC.[1]
Poulsen kwam uit voor alle Deense nationale jeugdselecties vanaf Denemarken –16. Hij nam met Denemarken –17 deel aan zowel hetEK –17 van 2011 als hetWK –17 van 2011. Hij debuteerde in 2013 inDenemarken –21, waarmee hij deelnam aan hetEK –21 van 2015.
Poulsen maakte op 11 oktober 2014 onder leiding van bondscoachMorten Olsen zijn debuut in hetDeens voetbalelftal, in een kwalificatiewedstrijd voor hetEK 2016 in en tegenAlbanië (1–1), net alsUffe Bech (FC Nordsjælland). Hij moest in dat duel na 45 minuten plaatsmaken voorLasse Vibe, die in de 81ste minuut de gelijkmaker voor zijn rekening nam. Poulsens eerste interlanddoelpunt volgde op 13 juni 2015. Hij schoot Denemarken toen op 1–0 in een met 2–0 gewonnen EK-kwalificatiewedstrijd tegenServië.
Poulsen nam met Denemarken deel aan deOlympische Spelen 2016 inRio de Janeiro. Op dat toernooi verloor de ploeg van bondscoachNiels Frederiksen in de kwartfinale met 2–0 van Nigeria, de latere winnaar van de bronzen medaille. BondscoachÅge Hareide nam Poulsen twee jaar later op in de Deense selectie voor hetWK 2018. Hij maakte op zaterdag 16 juni het enige doelpunt van de wedstrijd in het eerste groepsduel van zijn team, tegenPeru inSaransk. Hij stond ook tijdens de tweede groepswedstrijd en in de achtste finale in de basis.
Poulsen werd op 30 mei 2024 doorKasper Hjulmand opgenomen in deDeense selectie voor hetEK 2024 inDuitsland.[2] Denemarken speelde in de groepsfase gelijk tegenSlovenië,Engeland enServië, waarna het in de achtste finales werd uitgeschakeld door gastlandDuitsland (2–0). Poulsen kwam op het toernooi in iedere wedstrijd als invaller in actie.