Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Naar inhoud springen
Wikipediade vrije encyclopedie
Zoeken

Wetten van Kepler

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Dewetten van Kepler zijn drienatuurkundige wetten, die de baan en beweging van eenhemellichaam om een ander hemellichaam beschrijven in hettweelichamenprobleem. Voorbeelden zijnplaneten rond eenster, eensatelliet rond een planeet, deMaan rond de Aarde,dubbelsterren om elkaar enkometen om deZon. De invloed van andere dan de twee beschouwde hemellichamen wordt verwaarloosd. De Wetten van Kepler zijn opgesteld doorJohannes Kepler voor de planeetbanen rond de Zon en maken deel uit van deklassieke mechanica. Kepler publiceerde de eerste twee wetten in zijnAstronomia nova seu Physica coelestis,Nieuwe Sterrenkunde of Hemelnatuurkunde (1609), en de derde wet inHarmonice mundi,Wereldharmonie (1619).

Het punt in de baan waar een planeet het dichtst bij de Zon staat heet hetperihelium. Het verste punt heet hetaphelium.

Eerste wet

[bewerken |brontekst bewerken]

De eerste wet van Kepler zegt dat alle planeten zich rond de Zon bewegen inelliptische banen, waarbij de Zon zich in een van de twee brandpunten van de ellips bevindt. Volgens de definitie van een ellips (geldig in een plat vlak) is de som van de afstanden van een punt op de ellips, dus van de planeet, naar beide brandpunten op de ellips overal hetzelfde.

Tweede wet

[bewerken |brontekst bewerken]
De perkenwet:
Als een planeet in dezelfde tijd van A naar B gaat, als van C naar D, zijn de gearceerde oppervlakken even groot

De tweede wet wordt ook wel de perkenwet genoemd. Deze wet zegt dat snelheid van een planeet in haaromloopbaan zodanig verandert dat in gelijke tijdsintervallen de oppervlakte, bestreken door de verbindingslijn (voerstraal) tussen de Zon en de planeet, gelijk is. De voerstraal beschrijft dus per tijdseenheid een constant oppervlak, of een perk, vandaar de perkenwet. In het getoonde voorbeeld is de gemiddelde baansnelheid (de tangentiële snelheid) van de planeet in het interval AB dus kleiner dan in het interval CD.

De perkenwet is een meetkundige formulering van dewet van behoud van impulsmoment. Alsv{\displaystyle v} de snelheidsvector van de planeet voorstelt ens{\displaystyle s} de plaatsvector van de planeet ten opzichte van de Zon, dan is hetimpulsmoment gelijk aan het vectoriëlekruisproducts⋅v{\displaystyle s\cdot v}. Het oppervlak van het grijze segment in de figuur is evenredig met de integraal van dat impulsmoment over een gegeven tijdsinterval.

De perkenwet geldt bij elkecentrale kracht, omdat een centrale kracht geenmoment levert en dus het impulsmoment niet verandert.

Derde wet

[bewerken |brontekst bewerken]

Het kwadraat van de omlooptijdT{\displaystyle T} van een planeet is evenredig met de derde macht van haar halve lange asr{\displaystyle r}, ofwel:

T2r3=constant{\displaystyle {\frac {T^{2}}{r^{3}}}={\text{constant}}}

Deze wet wordt ook wel deharmonische wet genoemd. Kepler publiceerde de wet pas tien jaar nadat hij de eerdere twee publiceerde.

Met degravitatiewet van Newton is de constante aan de rechterzijde te berekenen. Er geldt dat:

T2r3=4π2G(M+m){\displaystyle {\frac {T^{2}}{r^{3}}}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}}

waarinM{\displaystyle M} de massa van de ster is,m{\displaystyle m} de massa van de planeet,G{\displaystyle G} de universelegravitatieconstante enr{\displaystyle r} de halve lange as van de elliptische baan.

Eenvoudig geval

[bewerken |brontekst bewerken]
Illustratie van de relatie tussen omloopradius en omlooptijd

Een eenvoudig geval ontstaat wanneer de massam{\displaystyle m} van een van de hemellichamen veel kleiner is dan de massaM{\displaystyle M} van de andere (bijvoorbeeld een satelliet rond de Aarde)

m≪M{\displaystyle m\ll M}, dus(M+m)/M≈1{\displaystyle (M+m)/M\approx 1}

zodat de baan praktisch cirkelvormig is met straalr{\displaystyle r}. De zwaartekrachtFg{\displaystyle F_{g}} is dan demiddelpuntzoekende krachtFmpz{\displaystyle F_{\text{mpz}}}, die de cirkelbeweging veroorzaakt:

Fmpz=Fg{\displaystyle F_{\text{mpz}}=F_{g}}

Met de snelheid van de planeet of satellietv{\displaystyle v} volgt dan:

mv2r=GmMr2{\displaystyle {\frac {mv^{2}}{r}}={\frac {GmM}{r^{2}}}}

dus

v2r=GM{\displaystyle v^{2}r=GM}

Omdatv=2πrT{\displaystyle v={\frac {2\pi r}{T}}} volgt:

(2πrT)2r=GM{\displaystyle \left({\frac {2\pi r}{T}}\right)^{2}r=GM}

zodat

r3T2=GM4π2{\displaystyle {\frac {r^{3}}{T^{2}}}={\frac {GM}{4\pi ^{2}}}}

en ten slotte

T2r3=4π2GM{\displaystyle {\frac {T^{2}}{r^{3}}}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}}

zoals verwacht.

Vergelijking van Kepler

[bewerken |brontekst bewerken]

Uit de eerste twee wetten leidde Kepler ook een praktische bewegingsvergelijking af, die in dehemelmechanica bekendstaat als devergelijking van Kepler. Deze vergelijking geeft de snelheid van de planeet in zijn baan om de Zon als functie van zijn plaats in zijn baan om de Zon. Daarbij wordt gebruikgemaakt van een wiskundige grootheid, deexcentrische anomalie.

Resultaten

[bewerken |brontekst bewerken]

Kepler formuleerde de naar hem genoemde wetten uitsluitend op grond van waarnemingen die hijzelf en daarvoor zijn leermeesterTycho Brahe hadden gedaan. Brahe beschikte over de nauwkeurigste waarnemingsinstrumenten van zijn tijd. De wetten van Kepler droegen bij aan de aanvaarding van hetheliocentrisch wereldbeeld vanCopernicus. Bovendien werd het idee verworpen, dat planeten zich altijd incirkels om de Zon bewegen.

Isaac Newton toonde later aan dat de wetten van Kepler konden worden verklaard met de naar hem genoemdewetten van Newton en zijn theorie van dezwaartekracht. De wetten van Newton vormen de basis van de klassieke mechanica. De theorie van Newton over de zwaartekracht zegt, dat tussen twee voorwerpen een kracht bestaat, die evenredig is aan het product van de massa's en omgekeerd evenredig aan het kwadraat van hun onderlinge afstand.

Zie ook

[bewerken |brontekst bewerken]

Verder lezen

[bewerken |brontekst bewerken]
  • Job Kozhamthadam,The discovery of Kepler's laws: the interaction of science, philosophy, and religion, University of Notre Dame Press, Notre Dame (1994)ISBN 0-268-00868-X
  • R. Hooykaas,Geschiedenis der natuurwetenschappen-van Babel tot Bohr
  • B. de Joode,Natuurwetenschappen en Kepler
  • Marcelo Gleiser,Een scheurtje in de rand van de schepping (hoofdstuk 8 en 9)

Externe link

[bewerken |brontekst bewerken]
Mediabestanden
Zie de categorieKepler motions vanWikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Wetten_van_Kepler&oldid=67548083"
Categorieën:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp