Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Naar inhoud springen
Wikipediade vrije encyclopedie
Zoeken

Vierdegraadsvergelijking

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Figuur van een polynoom van de vierde graad

In dewiskunde is eenvierdegraadsvergelijking eenvergelijking die tot de vorm

ax4+bx3+cx2+dx+e=0{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}

kan worden herleid, waarina,b,c,d{\displaystyle a,b,c,d} ene{\displaystyle e} constanten zijn ena{\displaystyle a} ongelijk is aan nul. Het is een vergelijking waarin eenpolynoom vangraad 4 gelijk aan 0 is. Een polynoom van de graad 4 heeft 1 of 3extreme waarden.

Een speciale vierdegraadsvergelijking is een vergelijking waarin een zogeheten bikwadraatfunctie gelijkgesteld wordt aan 0:

ax4+bx2+c=0{\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0}

of met een product van twee kwadratische factoren

(ax2+bx+c)(py2+qy+r)=0{\displaystyle (ax^{2}+bx+c)(py^{2}+qy+r)=0}

Hierin zijna,b{\displaystyle a,b} enc{\displaystyle c} niet dezelfde als in de eerst gegeven vergelijking. Door de vorm zijn dit soort vergelijkingen eenvoudiger dan vierdegraadsvergelijking in het algemeen op te lossen. Niet ieder vierdegraadspolynoom is een bikwadraatfunctie.

Geschiedenis

[bewerken |brontekst bewerken]

Vierdegraadsvergelijkingen werden voor het eerst tussen 400 en 200 v.Chr doorwiskundigen in India bestudeerd.

De ontdekking in1540 dat elke vierdegraadsvergelijking opgelost kan worden met oplossingen die alswortelvormen geschreven kunnen worden, wordt aanLodovico Ferrari toegeschreven. De oplossing van de derde- en vierdegraadsvergelijkingen tezamen werd in1545 door Ferrari's mentorGirolamo Cardano in het boekArs Magna gepubliceerd.

Hetbewijs dat vier de hoogste graad is voor vergelijkingen die kunnen worden opgelost met een formule voor de oplossingen, waarin alleen de basisoperaties voor rekenen en wortels voorkomen, werd in1824 geleverd met destelling van Abel-Ruffini. Volgens het verhaal leidden aantekeningen, in1832 nagelaten doorÉvariste Galois, later tot de volledige theorie van wortels van vergelijkingen.

Oplossing

[bewerken |brontekst bewerken]

Een van de oplossingsmethoden is de volgende.

De algemene vierdegraadsvergelijing:

ax4+bx3+cx2+dx+e=0{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}

wordt genormeerd tot

x4+b′x3+c′x2+d′x+e′=0{\displaystyle x^{4}+b'x^{3}+c'x^{2}+d'x+e'=0}

en met behulp van de transformatie

x=y−14b′{\displaystyle x=y-{\tfrac {1}{4}}b'}

herleid tot een genormeerde vorm waarin de term met de derde macht ontbreekt:

y4+py2+qy+r=0{\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0}

In het speciale geval datq=0{\displaystyle q=0}, is dit eenvierkantsvergelijking in het onbekendekwadraaty2{\displaystyle y^{2}}, die met dewortelformule kan worden opgelost.

In het algemene geval schrijft men de vergelijking als product van twee kwadratische vormen:

y4+py2+qy+r=(y2+αy+β)(y2−αy+γ)=y4+(γ+β−α2)y2+α(γ−β)y+βγ{\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=(y^{2}+\alpha y+\beta )(y^{2}-\alpha y+\gamma )=y^{4}+(\gamma +\beta -\alpha ^{2})y^{2}+\alpha (\gamma -\beta )y+\beta \gamma }

Door vergelijking van de coëfficiënten volgt:

p=γ+β−α2,q=α(γ−β),r=βγ{\displaystyle p=\gamma +\beta -\alpha ^{2},\quad q=\alpha (\gamma -\beta ),\quad r=\beta \gamma }

Deze zijn te herleiden tot:

p+α2=γ+β,q/α=γ−β{\displaystyle p+\alpha ^{2}=\gamma +\beta ,\quad q/\alpha =\gamma -\beta }

of:

(p+α2)2−(q/α)2=(γ+β)2−(γ−β)2=4γβ=4r{\displaystyle (p+\alpha ^{2})^{2}-(q/\alpha )^{2}=(\gamma +\beta )^{2}-(\gamma -\beta )^{2}=4\gamma \beta =4r}

Dit is een derdegraadsvergelijking inα2{\displaystyle \alpha ^{2}}, waarna met de oplossing voorα{\displaystyle \alpha } ookβ{\displaystyle \beta } enγ{\displaystyle \gamma } kunnen worden bepaald. Door nulstellen van de beide kwadratische vormen worden de gezochte oplossingen gevonden.

Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Vierdegraadsvergelijking&oldid=68248528"
Categorieën:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp