Detransitieve afsluiting (Nederland) oftransitieve sluiting (Vlaanderen)${\displaystyle R^{+}}$ van eentweeplaatsige relatie${\displaystyle R}$ op eenverzameling${\displaystyle M}$ is de kleinstetransitieve relatie op${\displaystyle M}$ die de oorspronkelijkerelatie omvat. Deze kleinste relatie${\displaystyle R^{+}}$ bestaat altijd, deze kan namelijk als volgt worden geconstrueerd:

${\displaystyle x{R}^{+}y}$ als er een rij elementen${\displaystyle x_0=x,x_1,\dots ,x_n=y}$ bestaat met${\displaystyle n\ge 1}$ en${\displaystyle x_{i}R{x}_{i+1}}$ voor

Deze vorm van afsluiting, gedefinieerd voor tweeplaatsige relaties, komt overeen met de definitie vanafsluiting, gedefinieerd voor verzamelingen.

Als men de relaties voorstelt als eengerichte graaf, bevat de graaf van de transitieve afsluiting${\displaystyle R^{+}}$ een boog van knoop${\displaystyle x}$ naar knoop${\displaystyle y}$ als de graaf van${\displaystyle R}$ een gericht pad met een of meer bogen bevat van${\displaystyle x}$ naar${\displaystyle y}$. De transitieve afsluiting van een gerichte, acyclische graaf is de graaf, die aangeeft welkeknooppunten vanuit andere knopen zijn te bereiken.

De reflexief-transitieve afsluiting van iedere homogene tweeplaatsige relatie is eenpreorde.

• De relatie tussen superieuren en ondergeschikten in eenorganisatie heeft als transitieve afsluiting de relatie die van twee medewerkers bepaalt wie de hoogste functie heeft.

• Het routenetwerk van een luchtvaartmaatschappij verbindt de steden waartussen een directe vlucht is. De transitieve afsluiting hiervan verbindt die steden waartussen men met een of meer op elkaar aansluitende vluchten kan vliegen.

• In de verzamelingnatuurlijke getallen is de transitieve afsluiting van de relatie${\displaystyle R}$ bepaald door${\displaystyle aRb}$ als${\displaystyle a=b+1}$, d.w.z.${\displaystyle a}$ volgt op${\displaystyle b}$, de relatie die van twee getallen bepaalt welke de grootste is.

• De bereikbaarheid van degegevens is de essentiële maat voor de toegankelijkheid vandatabases die een al dan niet hiërarchisch netwerk voorstellen, zoals eenontologie, eensociaal netwerk, eencitatie-index van wetenschappelijke publicaties of een database vanhyperlinks uit hetwereldwijde web. Hiervoor is het concept van transitieve afsluiting een bruikbaar hulpmiddel.

De transitieve afsluiting van een relatie of graaf kan men bepalen met behulp van het algoritme van Warshall, dat een speciaal geval is van het Floyd-Warshall-algoritme. Dit algoritme bepaalt met dynamische programmering de kortste afstand tussen alle knopenparen in een gewogen gerichte graaf. In het algoritme van Warshall beschouwt men een niet-gewogen gerichte graaf, men kan ook zeggen dat alle bogen een gewicht hebben dat gelijk is aan 1. Men werkt dan met debogenmatrix, in plaats van het optellen van afstanden gebruikt men delogische conjunctie EN, en in plaats van het minimum delogische disjunctie OF.

De transitieve reductie is de tegenhanger van de transitieve afsluiting. De transitieve reductie van een tweeplaatsige relatie${\displaystyle R}$ is de kleinste relatie die dezelfde transitieve afsluiting heeft als${\displaystyle R}$. Er bestaan relaties waarvoor er geen transitieve reductie bestaat, er zijn relaties waarvoor er verschillende transitieve reducties bestaan, maar als de relatie eindig en acyclisch is, bestaat er steeds één unieke transitieve reductie.

Eenhasse-diagram is een graafrepresentatie van de transitieve reductie van een eindige,partieel geordende verzameling.