In degroepentheorie, een onderdeel van dewiskunde, zegt destelling van Cayley dat elkeeindigegroep${\displaystyle G}$isomorf is met eenondergroep van eensymmetrische groep. In het bijzonder is${\displaystyle G}$ isomorf met een ondergroep van de symmetrische groep van${\displaystyle G}$ zelf, die uit depermutaties van${\displaystyle G}$ bestaat.

Hoewel Burnside^[1] de stelling toeschrijft aan Jordan^[2], is volgens Eric Nummela^[3] de juiste naam voor deze stelling : "de Stelling van Cayley". In zijn oorspronkelijk artikel uit1854^[4],waarin hij het begrip van een groep introduceerde, toonde Caley volgens Nummela aan dat de 'correspondentie' in de stelling een op een is, maar hij slaagde er niet om expliciet aan te tonen dat er sprake was van eenhomoformisme (en dus een isomorfisme). Nummela merkt op dat Cayley dit resultaat 16 jaar voorJordan publiceerde.

Definieer voor${\displaystyle g\in G}$ de afbeelding${\displaystyle {\phi }_g:G\to G}$ door${\displaystyle {\phi }_g(x)=gx}$. Dan is${\displaystyle {\phi }_g\in \mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}(G)}$ en is${\displaystyle H=\{{\phi }_g|g\in G\}\subset \mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}(G)}$. Voor detransformatie${\displaystyle T:G\to H}$ met${\displaystyle T(g)={\phi }_g}$ geldt:

${\displaystyle T(g{g}^{\prime })(x)={\phi }_{g{g}^{\prime }}(x)=g{g}^{\prime }x={\phi }_g(g^{\prime }x)=T_g(g^{\prime }x)=T_g{T}_{g^{\prime }}(x)}$

dus${\displaystyle T}$ is een homomorfisme.

Verder is${\displaystyle H=T(G)}$ en is${\displaystyle T}$injectief, dusbijectief, en dus een isomorfisme.

Voor de definitie van${\displaystyle {\phi }_g}$ is in dit bewijs gebruikgemaakt van de vermenigvuldiging van links met${\displaystyle g}$, maar het bewijs kan ook geformuleerd worden met de rechtsvermenigvuldiging.

• Groep (wiskunde),
• Arthur Cayley,
• Stelling van Lagrange (groepentheorie),
• Stelling van Burnside,
• Stellingen van Sylow,

• Groepentheorie
• Wiskundige stelling