In dealgebraïsche getaltheorie is dering van de gehele getallen deverzameling vangehele getallen, die tot eenalgebraïsche structuur${\displaystyle \mathbb{Z}}$, uitgerust met deoperaties van optelling, aftrekken en vermenigvuldiging, is gemaakt. Dering van de gehele getallen is eencommutatieve ring.

Meer in het algemeen is de ring van gehele getallen van eenalgebraïsch getallenlichaam${\displaystyle K}$, vaak aangeduid met${\displaystyle O_K}$ of met${\displaystyle {\mathcal{O}}_K}$, de ring vanalgebraïsche gehele getallen in${\displaystyle K}$.

Door gebruik te maken van deze notatie, kunnen we${\displaystyle \mathbb{Z}=O_Q}$ schrijven, dit aangezien${\displaystyle \mathbb{Z}}$, zoals hierboven, de ring van gehele getallen van hetlichaam (Nederlands) of veld (Belgisch)${\displaystyle \mathbb{Q}}$ van derationale getallen is. Inderdaad worden in de algebraïsche getaltheorie deelementen van${\displaystyle \mathbb{Z}}$ daarom vaak de rationale gehele getallen genoemd.

De ring van gehele getallen${\displaystyle O_K}$ is een${\displaystyle \mathbb{Z}}$-moduul. Meer specifiek is deze ring eenvrij${\displaystyle \mathbb{Z}}$-moduul en heeft zij dus eenbasis, waarmee bedoeld wordt dat er een${\displaystyle b_1,\dots ,b_n\in O_K}$ bestaat, de basis, zodanig dat ieder element${\displaystyle x}$ in${\displaystyle O_K}$ op unieke wijze kan worden weergegeven als

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i}$

met${\displaystyle a_i\in \mathbb{Z}}$. De rang${\displaystyle n}$ van${\displaystyle O_K}$ als een vrij${\displaystyle \mathbb{Z}}$-moduul is gelijk aan de graad van${\displaystyle K}$ over${\displaystyle \mathbb{Q}}$.

Ringen van gehele getallen in getallenlichamen zijnDedekind-ringen.

Indien${\displaystyle \zeta }$ een${\displaystyle p}$-deeenheidswortel en${\displaystyle K=\mathbb{Q}(\zeta )}$ het corresponderendecyclotomische lichaam/veld is, dan wordt een basis van${\displaystyle O_K=\mathbb{Z}[\zeta ]}$ gegeven door${\displaystyle (1,\zeta ,{\zeta }^2,\dots ,{\zeta }^{p-2})}$.

Als${\displaystyle K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})}$ eenkwadratisch lichaam (Ned) / veld (Be) is, wordt een basis van${\displaystyle O_K}$ gegeven door${\displaystyle (1,(1+\sqrt{d})/2)}$ als${\displaystyle d=1mod4}$, dus metrekenen modulo 4, en door${\displaystyle (1,\sqrt{d})}$ als${\displaystyle d=2\text{ of }3mod4}$.

De ring vanp-adische getallen${\displaystyle {\mathbb{Z}}_p}$ is de ring van gehele getallen van een${\displaystyle p}$-adisch getal${\displaystyle {\mathbb{Q}}_p}$.

• Algebraïsche getaltheorie
• Ringtheorie