Het begrip ring, dat uit onderstaande definitie vanEmmy Noether afkomstig is, speelt een belangrijke rol in veel gebieden van dezuivere wiskunde, met name deabstracte algebra. Om zich te kwalificeren als een ring, moet de verzameling samen met de beide operaties voldoen aan bepaalde voorwaarden: de verzameling moet onder optelling eencommutatieve groep en onder vermenigvuldiging eenmonoïde zijn.[1] Hoewel deze operaties bekend zijn uit velewiskundige structuren, zoals detalstelsels van degehele getallen, kunnen zij ook zeer algemeen een breed scala van wiskundige objecten betreffen. Daardoor kunnen objecten van zeer verschillende wiskundige oorsprong op een flexibele manier, met behoud van essentiële structurele aspecten, in de abstracte algebra en daarbuiten worden bestudeerd. De tak van de wiskunde die ringen bestudeert staat bekend als deringtheorie.[2]
Ringen komen fundamenteel overeen met degetaltheorie en delineaire algebra. De getaltheorie kent verschillende overeenkomstige stellingen in de ringtheorie. Dehoofdstelling van de rekenkunde komt bijvoorbeeld overeen met een bepaalde speciale klasse van ringen die bekend staan alsunieke factorisatiedomeinen. De theorie vanmatrixringen is bijvoorbeeld een opvallend gevolg van de wijze waarop de niet-commutatieve ringtheorie kan worden gebruikt om de fundamentelenatuurwetten die ten grondslag liggen aan despeciale relativiteitstheorie, en symmetriefenomenen in de moleculairescheikunde, beter te begrijpen.
Te beginnen bijRichard Dedekind in de jaren 1880, is het concept van een ring ontstaan uit pogingen om delaatste stelling van Fermat te bewijzen. Andere gebieden uit de wiskunde, voornamelijk degetaltheorie, droegen aan de ringtheorie bij, maar in de jaren 1920 kreeg de theorie door Emmy Noether,Emil Artin,Wolfgang Krull en anderen een vaste en algemene vorm.[3] De moderne ringtheorie is een zeer actieve wiskundige discipline en geeft ringen hun eigen bestaansrecht. Ringtheoretici maken onderscheid tussen de theorie van decommutatieve ringen en niet-commutatieve ringen. Deze laatste theorie behoort tot dealgebraïsche getaltheorie en dealgebraïsche meetkunde. De niet-commutatievedelingsringen zijn hiervan een onderwerp. Deniet-commutatieve meetkunde is sinds de ontdekking in de jaren 1980 doorAlain Connes van een verband tussen de niet-commutatieve ringtheorie en de meetkunde uitgegroeid tot een actieve discipline binnen de ringtheorie.[4]
Om ringen te onderzoeken hebben wiskundigen verschillende begrippen bedacht om ringen in kleinere, beter begrijpelijke stukken op te delen, zoalsidealen, quotiëntringen enenkelvoudige ringen. Er bestaat de volgende hiërarchie:
Richard Dedekind introduceerde het idee van een ring.Zahlring werd in 1892 doorDavid Hilbert bedacht.[5] Volgens Harvey Cohn, gebruikte Hilbert de term voor een specifieke ring die de eigenschap had om "direct terug te cirkelen" op een element van zichzelf.[6]
Een ring is een drietal bestaande uit eenniet-lege verzameling en twee bewerkingen,optellen envermenigvuldigen, gedefinieerd op, waarbij het optellenassociatief encommutatief is en vermenigvuldigen in ieder geval associatief. De optelling van de elementen en wordt meestal als genoteerd en het product, de vermenigvuldiging, hier met, maar ook als of alleen. De vermenigvuldiging is verder zowellinks- alsrechts-distributief over de optelling.
Het is niet noodzakelijk dat met betrekking tot de vermenigvuldiging eeneenheidselement heeft, eenmonoïde is. Wanneer dat wel het geval is spreekt men van een unitaire ring.
Sommige auteurs voegen nog de additionele eis toe dat het nulelement niet ook een eenheidselement is. Dit sluit alleen detriviale ring of nulring uit, die maar een enkel element heeft.
Als de eis van het bestaan van de inverse voor de optelling wordt weggelaten, spreekt men van eenhalfring.
de ring vanpolynomen voor een gegeven ring, hetzij in éénvariabele, hetzij in een vast, eventueel oneindig, aantal variabelen
voor een gegeven ring en een gegeven natuurlijk getal de ring vanvierkante matrices van over met optellen en vermenigvuldigen van matrices volgens de regels van delineaire algebra.
Detriviale ring {0} heeft slechts één element, dat tegelijkaddititieve als multiplicatieve identiteit is. Deze ring wordt soms expliciet in de definitie uitgesloten.
Als eengroep is en een ring, is een groepring van over eenvrije module over met als een basis. De bewerking 'vermenigvuldiging' wordt gedefinieerd door de regels dat de elementen vancommutatief zijn met de elementen van en met elkaar zoals in de groep kunnen worden vermenigvuldigd.
De verzameling, bestaande uit de getallen 0, 1, 2, 3, met de bewerkingen optellen en vermenigvuldigen, beidemodulo 4, is een ring. In de nevenstaandecayley-tabellen staan de additieve structuur en de multiplicatieve structuur van weergeven.
Het is te verifiëren dat onder deze operaties een ring is. Allereerst kan men gebruikmaken van de linkertabel om aan te tonen dat gesloten is onder optelling (een resultaat is ofwel 0, 1, 2 of 3). De associativiteit van de optelling in volgt uit de associativiteit van de optelling in de verzameling van alle gehele getallen. De additieve identiteit is 0, zoals kan worden gecontroleerd door te kijken naar de linkertabel. Bij elk van de elementen is er een tegengestelde, namelijk, zoals men kan zien in de optellingstabel. Daarom is onder de optelling eencommutatieve groep. is eencyclische groep.
is ook onder de vermenigvuldiging gesloten, zoals men kan zien aan de rechter tabel: een resultaat is ofwel 0, 1, 2 of 3. De associativiteit van de vermenigvuldiging in4 volgt uit de associativiteit van de vermenigvuldiging voor gehele getallen. De multiplicatieve identiteit, het eenheidselement is 1, zoals kan worden geverifieerd. Daarom is onder vermenigvuldiging eenmonoïde met eenheidselement.
De distributiviteit van de twee operaties over elkaar volgt uit de distributiviteit van optelling over de vermenigvuldiging (en vice versa) voor de gehele getallen.
Daarom vormt deze verzameling met optellen en vermenigvuldigen inderdaad een ring.
Eigenschappen
Als het product van twee gehele getallen en gelijk is aan 0, dan is of. Deze eigenschap geldt niet voor de ring, bijvoorbeeld is. Het getal 2 is dus eennuldeler in de ring, overigens de enige nuldeler.
Eendeelring van een ring is een andere ring met dezelfde twee bewerkingen en, waarbij eendeelverzameling is van. De beide bewerkingen en in zijnrestricties van de overeenkomstige bewerkingen in.
Als een ring is met eenheidselement dan is een deelring met eenheidselement als een deelring is van en beide hetzelfde eenheidselement hebben.
Als een deelring is van en de deelverzameling van is ook een deelring van, dan is tevens een deelring van.
Als de vermenigvuldiging eveneens commutatief is, dus, spreekt men van eencommutatieve ring. Een ring met eeneenheidselement voor de vermenigvuldiging heet een unitaire ring. Een unitaire ring is onder de vermenigvuldiging eenmonoïde. Sommige wiskundigen zijn van mening dat een ring (per definitie) een eenheidselement hoort te hebben. De verzameling even gehele getallen met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging is een voorbeeld van een commutatieve ring zonder eenheidselement.
Het is in een ring mogelijk dat het product van twee elementen en beide ongelijk aan 0, toch gelijk is aan 0. Zulke elementen wordennuldelers genoemd.
