Schick speelde in de jeugd bijSparta Praag. Hiervoor debuteerde hij in april 2014 in het eerste elftal, in debekerwedstrijd tegenFK Jablonec. Een paar weken later maakte hij ook zijncompetitiedebuut, tegenFK Teplice. In de 84ste minuut verving hijJosef Hušbauer. De club verhuurde hem gedurende het seizoenen 2015/16 aanBohemians, waarvoor hij acht doelpunten maakte in 27 competitieduels.
Schick tekende in juli 2016 een vierjarig contract bijUC Sampdoria, dat vier miljoen euro voor hem betaalde. Hij debuteerde voor Sampdoria op 14 augustus 2016, in een wedstrijd tegenBassano Virtus 55 S.T.. Zijn debuut in deSerie A volgde een week later, tegenEmpoli FC.[3] In de 61ste minuut verving hijRicardo Álvarez. Op 26 oktober 2016 maakte Schick zijn eerste treffer voor Sampdoria, in de competitiewedstrijd tegenJuventus FC. Ondanks zijn doelpunt ging Sampdoria met 4–1 onderuit. In dat seizoen was Schick uiteindelijk elfmaal trefzeker in 32 competitiewedstrijden. Hij speelde zich in zijn eerste jaar bij Sampdoria onder de aandacht van verschillende andere Italiaanse clubs. Hij onderging in juni 2017 een medische keuring bij Juventus, maar die club blies zijn komst een maand daarna af.[4]
Schick verhuisde in augustus 2017 alsnog, maar dan naarAS Roma. Schick ging daar in eerste instantie aan de slag op huurbasis. De clubs spraken daarbij af dat zijn overgang definitief zou worden na het behalen van bepaalde sportieve doelstellingen.[5] Schick debuteerde voor AS Roma op 16 september 2017 tegenHellas Verona in deSerie A (3–0 zege) door een kwartier voor tijd het veld in te komen voorRadja Nainggolan. Op 20 december 2017 scoorde Schick voor het eerst in het shirt van AS Roma, tegenTorino FC in de achtste finales van deCoppa Italia. Zijn doelpunt was genoeg in een 1–2 nederlaag. Aan het eind van het seizoen kreeg Schick steeds meer speeltijd. Zo kwam hij in actie tegenFC Barcelona enLiverpool FC in de kwartfinale en halve finale van deUEFA Champions League. Schick tekende in juli 2018 een contract tot medio 2022 bij AS Roma.
Op 2 september 2019 werd bekendgemaakt dat Schick voor een seizoen werd verhuurd aanRB Leipzig.[6] Hij debuteerde voor RB Leipzig op 5 oktober 2019 in deBundesliga tegenBayer Leverkusen. Bij een 1–1 gelijkspel verving hij in de 63ste minuutMarcel Sabitzer. Op 30 november 2019 scoorde hij voor het eerst voorDie Roten Bullen, in de derde minuut, bij een 2–3 zege in de competitiewedstrijd tegenSC Paderborn. In datzelfde competitieseizoen maakte hij nog negen treffers. RB Leipzig behaalde de halve finales van deChampions League, waarin RB Leipzig werd uitgeschakeld doorParis Saint-Germain. Het lukte RB Leipzig niet om de optie te gebruiken om Schick definitief over te nemen.
Op 8 september 2020 werd bekendgemaakt dat Schick transfereerde van AS Roma naar Bayer Leverkusen.[7] Hiervoor debuteerde hij op 13 september 2020, tegenEintracht Norderstedt in deDFB-Pokal. Hij scoorde direct, door de eindstand 0–7 op het scorebord te zetten. Een week later maakte hij zijn Bundesliga-debuut voor Bayer Leverkusen, tegenVfL Wolfsburg, doorLucas Alario te vervangen in de 63ste minuut. Zijn eerste competitiegoal volgde op 3 oktober 2020 bij een 1–1 gelijkspel tegenVfB Stuttgart. Op 26 november 2020 was Schick voor het eerst trefzeker in een internationale wedstrijd, bij een 4–1 zege tegenHapoel Beër Sjeva in deEuropa League. In het seizoen 2020/21 scoorde Schick 13 maal in 36 wedstrijden en eindigde Bayer Leverkusen op de zesde plaats van deBundesliga. Het seizoen erop begon Schick uitstekend, met acht goals en twee assists in de eerste negen speelrondes. Op 4 december was hij tegenSpVgg Greuther Fürth goed voor maar liefst vier goals en één assists, terwijl Bayer met 7-1 won. Met vier goals in de laatste vier speelrondes eindigde Schick op 24 goals en vijf assists in 27 competitiewedstrijden. AlleenRobert Lewandowski (35 goals) scoorde dat seizoen meer Bundesliga-goals.
Het seizoen 2022/23 betekende vooral veel blessureleed voor Schick. Na tien speelrondes raakte hij geblesseerd aan zijn bovenbeen, waarna hij de rest van het seizoen nog maar een handvol wedstrijden speelde. Begin december 2023 keerde Schick terug in de wedstrijdopstelling van Bayer Leverkusen, na ruim een jaar blessureleed. Op 20 december was hij in zijn eerste basisplaats in de Bundesliga goed voor een hattrick tegenVfL Bochum. Hij had daar maar een kwartier voor nodig. In maart 2024 was hij meerdere keren goud waard in de blessuretijd. In het tweeluik tegenFK Qarabağ in de achtste finale van deUEFA Europa League scoorde hij driemaal: in het heenduel scoorde hij in blessuretijd de 2-2, in de return boog hij, wederom in de blessuretijd, een 2-1 achterstand om in een 3-2 overwinning, met opnieuw twee goals. Dit kunstje herhaalde hij op 30 maart in de competitie tegenTSG 1899 Hoffenheim. Hij scoorde in de 91'ste minuut de winnende treffer en door een nederlaag van naaste concurrentFC Bayern München tegenBorussia Dortmund kwam Schick met Bayer daardoor dertien punten los aan kop van de Bundesliga te staan. Op 14 april won hij met Bayer de Bundesliga doorWerder Bremen met 5-0 te verslaan. Het was de eerste keer in de clubgeschiedenis.
Schick werd voorafgaand aan hetEK 2016 voor het eerst opgeroepen voor hetTsjechisch voetbalelftal, doorPavel Vrba. Hij debuteerde op 27 mei 2016 voor de nationale ploeg, in een oefenwedstrijd tegenMalta. Hij viel na 66 minuten in voorTomáš Rosický en maakte in de extra tijd het zesde en laatste doelpunt voor de Tsjechen. Schick werd niet geselecteerd voor het EK 2016. Hij werd doorJaroslav Šilhavý wel geselecteerd voor hetEK 2020. In de openingswedstrijd van Tsjechië, op 14 juni 2021 tegenSchotland, maakte hij twee doelpunten, waarvan zijn tweede gescoord werd vanaf 45 meter.[8] Dat doelpunt werd verkozen totDoelpunt van het Toernooi.[9] Later op het toernooi scoorde Schick ook in de groepswedstrijd tegenKroatië, de achtste finale tegenNederland en de kwartfinale, waarin Tsjechië werd uitgeschakeld doorDenemarken. EnkelCristiano Ronaldo, die een assist meer leverde, scoorde zo vaak als Schick op het EK 2020.[10]
Interlanddoelpunten van Patrik Schick voorTsjechië