Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Naar inhoud springen
Wikipediade vrije encyclopedie
Zoeken

Oppervlakte

Zoek dit woord op in WikiWoordenboek
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Dit artikel gaat over de maat van een tweedimensionale figuur; zieoppervlak voor andere betekenissen.

Deoppervlakte van een vlakke meetkundige figuur, of algemener van een tweedimensionaal meetkundig object, is een maat voor de grootte ervan.

DeSI-eenheid van oppervlakte is devierkante meter: m², afgeleid van de basiseenheidmeter. Voor algemene toepassingen in deEuropese Unie is de vierkante meter, samen met zijn decimale onderdelen en veelvouden zoals cm² en km², de enige oppervlaktemaat. In gespecialiseerde toepassingen bestaan uitzonderingen:

In historische documenten uit deNederlanden die van voor hetmetriek stelsel dateren, komen andere landmaten voor zoals debunder, dedagwand en deroede.

Vlakke meetkunde

[bewerken |brontekst bewerken]

Basistechnieken

[bewerken |brontekst bewerken]

De oppervlakte van een vlakke figuur wordt gedefinieerd en berekend aan de hand van een aantal elementaire eigenschappen van het begrip oppervlakte, die eventueel kunnen worden opgevat alsaxioma's:

  1. De oppervlakte is eenisometrische invariant, dat wil zeggen dat een transformatie van het vlak die de onderlinge afstanden van punten bewaart (zoals eenrotatie), tevens de oppervlakte van vlakke figuren bewaart.
  2. De oppervlakte van een rechthoek is het product van de lengte met de breedte. In het bijzonder is de oppervlakte van een punt en die van een lijnstuk gelijk aan 0.
  3. De oppervlakte van eendisjuncte vereniging van vlakke figuren is gelijk aan de som van de oppervlakten van de afzonderlijke delen. Dit laat achtereenvolgens de oppervlakteberekening toe van: (1) een parallellogram, door omvorming tot een rechthoek met dezelfde basis en hoogte; (2) een willekeurige driehoek, als zijnde de helft van een parallellogram; (3) een willekeurige veelhoek, door hem op te delen in driehoeken.
  4. De regel van de disjuncte vereniging blijft gelden voor eenaftelbaar oneindige disjuncte vereniging, waarbij de som van de oppervlakten moet worden opgevat als de som van eenreeks.

De laatste regel laat toe de oppervlakte te bepalen van kromlijnige figuren zoals cirkels. Deintegraalrekening geeft een exacte definitie en een berekeningsmethode voor de oppervlakte van een vlakke figuur die begrensd wordt door de grafiek van een continue functie en een horizontale en twee verticale rechten.

Formules

[bewerken |brontekst bewerken]
FiguurKenmerkenOppervlakte
vierkantzijdea{\displaystyle a}a2{\displaystyle a^{2}}
rechthoeklengtea{\displaystyle a} en breedteb{\displaystyle b}ab{\displaystyle ab}
rechthoekige driehoekrechthoekszijdena{\displaystyle a} enb{\displaystyle b}12ab{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}
driehoekbasisc{\displaystyle c}, hoogteh{\displaystyle h}12hc{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}hc}
zijdena,b{\displaystyle a,b} enc,{\displaystyle c,} halve omtreks=12(a+b+c){\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}formule van Heron
s(s−a)(s−b)(s−c){\displaystyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
zijdena,b{\displaystyle a,b} en tussenliggende hoekγ{\displaystyle \gamma }12absin⁡γ{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin {\gamma }}
trapeziumevenwijdige zijdena{\displaystyle a} enc,{\displaystyle c,} hoogteh{\displaystyle h}12h(a+c){\displaystyle {\tfrac {1}{2}}h(a+c)}
ruitdiagonalenp{\displaystyle p} enq{\displaystyle q}12pq{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}pq}
parallellogrambasisc{\displaystyle c}, hoogteh{\displaystyle h}hc{\displaystyle hc}
zijdena,b{\displaystyle a,b} en tussenliggende hoekγ{\displaystyle \gamma }absin⁡γ{\displaystyle ab\sin \gamma }
regelmatigen-hoekzijdea{\displaystyle a}14na2⋅cot⁡(π/n){\displaystyle {\tfrac {1}{4}}na^{2}\cdot \cot(\pi /n)}
regelmatige zeshoekzijdea{\displaystyle a}332a2{\displaystyle {\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}}
cirkelstraalr{\displaystyle r}πr2{\displaystyle \pi r^{2}}
ellipshalve lange asa{\displaystyle a}, halve korte asb{\displaystyle b}πab{\displaystyle \pi ab}

In sommige toepassingen is het nuttig met negatieve oppervlaktes te rekenen als de omtrek van een figuur in een andere zin wordt doorlopen, conventioneel geefttegenwijzerzin een positieve oppervlakte. We spreken dan in het algemeen van georiënteerde oppervlakte.

De schoenveterformule is een eenvoudige regel voor de oppervlakte van een willekeurige veelhoek in termen van de coördinaten van de hoekpunten(x1,y1),(x2,y2)…,(xn,yn){\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\ldots ,(x_{n},y_{n})}:

S=12(x1y2+x2y3+…+xny1−x2y1−x3y2−…−x1yn){\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}\left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\ldots +x_{n}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-\ldots -x_{1}y_{n}\right)}

Ze kan worden bewezen door op te merken dat12(xiyi+1−xi+1yi){\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)} de georiënteerde oppervlakte is van de driehoek gevormd door de oorsprong(0,0){\displaystyle (0,0)} en de punten(xi,yi){\displaystyle (x_{i},y_{i})} en(xi+1,yi+1){\displaystyle (x_{i+1},y_{i+1})}.

Zwaartepunt

[bewerken |brontekst bewerken]

Hetzwaartepunt van een vlakke figuur heeft de eigenschap dat elke rechte erdoorheen, de figuur in twee delen van gelijke oppervlakte snijdt. Dezwaartelijnen van een driehoek vormen hiervan een voorbeeld.

Isoperimetrische ongelijkheid

[bewerken |brontekst bewerken]

De oppervlakteS{\displaystyle S} van een cirkel is gelijk aan het kwadraat van zijn omtrekO,{\displaystyle O,} gedeeld door4π{\displaystyle 4\pi }:

S=πr2, O=2πr, S=O24π{\displaystyle S=\pi r^{2},\ O=2\pi r,\ S={\frac {O^{2}}{4\pi }}}

De isoperimetrische ongelijkheid stelt dat deze verhouding optimaal is, in die zin dat voor eender welke andere vlakke figuur hetisoperimetrisch quotiënt

IQ=4πSO2{\displaystyle IQ={\frac {4\pi S}{O^{2}}}}

niet groter is dan 1, en dat het alleen bij de cirkel precies gelijk is aan 1.

Voorbeeld

[bewerken |brontekst bewerken]

Bij een vierkant met zijdea{\displaystyle a} bedraagt de omtrekO=4a{\displaystyle O=4a} en de oppervlakteS=a2{\displaystyle S=a^{2}}, dus

IQ=4πSO2=4πa216a2=π4<1{\displaystyle IQ={\frac {4\pi S}{O^{2}}}={\frac {4\pi a^{2}}{16a^{2}}}={\frac {\pi }{4}}<1}

Oppervlakte binnen een gesloten vlakke kromme

[bewerken |brontekst bewerken]

AlsC{\displaystyle C} een stuksgewijs differentieerbare gesloten vlakke kromme is zonder zelfdoorsnijdingen en met het inwendige aan de linkerkant, dan volgt uit destelling van Green een formule voor de oppervlakte van het inwendige:

S=∮Cxdy=−∮Cydx{\displaystyle S={}\oint _{C}x\,\mathrm {d} y={}-\oint _{C}y\,\mathrm {d} x}

Voorbeeld

[bewerken |brontekst bewerken]

De cirkel met straalr{\displaystyle r} kan worden geparametriseerd als

C:[0,2π]→R2:t↦(x(t)=rcos⁡t,y(t)=rsin⁡t){\displaystyle C:[0,2\pi ]\to \mathbb {R} ^{2}:t\mapsto (x(t)=r\cos t,y(t)=r\sin t)}

Uit de eerste gelijkheid van de oppervlakteformule hierboven volgt dan

S=∫t=02πrcos⁡td(rsin⁡t)=∫t=02πr2cos2⁡tdt=πr2{\displaystyle S=\int _{t=0}^{2\pi }r\cos t\,\mathrm {d} (r\sin t)=\int _{t=0}^{2\pi }r^{2}\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t=\pi r^{2}}

Maattheorie

[bewerken |brontekst bewerken]

Demaattheorie definieert het begrip oppervlakte aan de hand van een abstractemaat. In de axioma's van een maat zit een regel vervat voor de disjuncte unie van een aftelbare collectie meetbare verzamelingen. Voor vlakke tweedimensionale figuren hanteert men delebesgue-maat opR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}.

Voor gekromde oppervlakken bestaat enerzijds het volumebegrip uit dedifferentiaalmeetkunde, anderzijds dehaar-maat uit de theorie derlokaal compacte groepen. Zo kunnen oppervlaktes worden toegekend aan een grote klasse van deelverzamelingen van willekeurige tweedimensionale gekromde ruimten, waaronder allecompacte deelverzamelingen.

Ruimtemeetkunde

[bewerken |brontekst bewerken]

Formules voor de oppervlakte van driedimensionale lichamen

[bewerken |brontekst bewerken]

Voor figuren die zijn samengesteld uit tweedimensionale deelruimten van de driedimensionale ruimte, blijven de basisregels (isometrisch invariant, reekssom van disjuncte unie) geldig. Als een figuur uitsluitend rechte zijvlakken heeft, is er niets nieuws; zo is de oppervlakte van eenkubus gewoon 6 keer de oppervlakte van een van de 6 identieke vierkanten die hem begrenzen.

Een gesloten cilinder wordt begrensd door twee vlakke cirkels en een gekromde rechthoek. De oppervlakte van de rechthoek is de hoogte van de cilinder vermenigvuldigd met zijn omtrek.

FiguurKenmerkenOppervlakte
bolstraalr{\displaystyle r}4πr2{\displaystyle 4\pi r^{2}}
bolsegmentbolstraalr{\displaystyle r}, hoogteh{\displaystyle h}2πrh{\displaystyle 2\pi rh}
bolkapbolstraalr{\displaystyle r}, halve openingshoekα{\displaystyle \alpha }2πr2(1−cos⁡α){\displaystyle 2\pi r^{2}(1-\cos \alpha )}
cilinder (open)straalr{\displaystyle r}, hoogteh{\displaystyle h}2πrh{\displaystyle 2\pi rh}
cilinder (onder- en bovenzijde afgesloten)straalr{\displaystyle r}, hoogteh{\displaystyle h}2πr(r+h){\displaystyle 2\pi r(r+h)}
cilinder (algemeen grondvlak, open)omtrek grondvlakO{\displaystyle O}, hoogteh{\displaystyle h}Oh{\displaystyle Oh}
kegel (open)straalr{\displaystyle r}, hoogteh{\displaystyle h}πr(r2+h2){\displaystyle \pi r({\sqrt {r^{2}+h^{2}}})}
kegel (gesloten)straalr{\displaystyle r}, hoogteh{\displaystyle h}πr(r+r2+h2){\displaystyle \pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})}

Voor de oppervlakte van eenellipsoïde met halve assena,{\displaystyle a,}b{\displaystyle b} enc{\displaystyle c} bestaat geen formule die alleen elementaire functies gebruikt. Met behulp vanelliptische integralen kan wel een gesloten formule worden opgeschreven. De oppervlakte van eensferoïde (een omwentelingsellipsoïde, dus meta=b{\displaystyle a=b}) heeft daarentegen wel een elementaire gesloten vorm.

Ruimtehoek

[bewerken |brontekst bewerken]

Eenruimtehoek wordt begrensd door eenregeloppervlak bestaande uit stralen die door één punt gaan (onregelmatige kegel). De grootte van een ruimtehoek is de oppervlakte die de ruimtehoek uitsnijdt van een bol met straal 1 rond de top van de kegel. Ruimtehoeken worden standaard uitgedrukt insteradialen. De volledige bol bepaalt een ruimtehoek van4π{\displaystyle 4\pi } sr.

Omwentelingsintegraal

[bewerken |brontekst bewerken]

Eenomwentelingslichaam ontstaat door de grafiek van een continue functie (op een begrensd reëel interval[a,b]{\displaystyle [a,b]}) te roteren rond deX{\displaystyle X}-as. Alsf(x){\displaystyle f(x)} het voorschrift van de functie is, en de functie is continu differentieerbaar, dan bedraagt de oppervlakte van (de ronde zijkant van) het omwentelingslichaam:

S=∫x=ab2πf(x)1+(f′(x))2dx{\displaystyle S=\int _{x=a}^{b}2\pi f(x)\,{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\,\mathrm {d} x}

waarf′{\displaystyle f'} deafgeleide is van de functief.{\displaystyle f.}

Voorbeeld

[bewerken |brontekst bewerken]

De bol met straalr{\displaystyle r} kan worden opgevat als het omwentelingslichaam voortgebracht door de functie

f:[−r,r]→R:x↦r2−x2{\displaystyle f:[-r,r]\to \mathbb {R} :x\mapsto {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}

De afgeleide bedraagt

f′(x)=−xf(x){\displaystyle f'(x)={\frac {-x}{f(x)}}}

De oppervlakte is dus

S=∫x=−rr2πf(x)1+x2f(x)2dx=∫x=−rr2πrdx=4πr2.{\displaystyle S=\int _{x=-r}^{r}2\pi f(x){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{f(x)^{2}}}}}\,\mathrm {d} x=\int _{x=-r}^{r}2\pi r\,\mathrm {d} x=4\pi r^{2}.}

Algemeen gekromd oppervlak

[bewerken |brontekst bewerken]

Als een deel van een gekromd oppervlak in de driedimensionale ruimte bepaald wordt door de grafiek van een continu differentieerbare functie

f:D⊂R2:(x,y)↦f(x,y){\displaystyle f:D\subset \mathbb {R} ^{2}:(x,y)\mapsto f(x,y)}

dan wordt de oppervlakte van die grafiek gegeven door de integraalformule

S=∬D1+(∂f∂x)2+(∂f∂y)2dxdy.{\displaystyle S=\iint _{D}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y.}

Voorbeeld

[bewerken |brontekst bewerken]

We berekenen de oppervlakte van het rondezadel (hyperbolischeparaboloïde) dat de grafiek vormt van de functie

f:D(0,1)→R:(x,y)↦xy{\displaystyle f:D(0,1)\to \mathbb {R} :(x,y)\mapsto xy}

op deeenheidsschijf

D(0,1)={(x,y)∈R2|x2+y2≤1}{\displaystyle D(0,1)=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|x^{2}+y^{2}\leq 1\}}

Departiële afgeleiden vanf{\displaystyle f} zijn

∂f∂x(x,y)=y; ∂f∂y(x,y)=x{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=y;\ {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x}

Dit geeft voor de oppervlakte volgens bovenstaande algemene formule

S=∬x2+y2≤11+y2+x2dxdy{\displaystyle S=\iint _{x^{2}+y^{2}\leq 1}{\sqrt {1+y^{2}+x^{2}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}

Overgang oppoolcoördinaten herleidt dit tot

S=∫θ=02π∫r=011+r2rdrdθ=2π∫r=011+r2rdr=2π3(22−1){\displaystyle S=\int _{\theta =0}^{2\pi }\int _{r=0}^{1}{\sqrt {1+r^{2}}}\,r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta =2\pi \int _{r=0}^{1}{\sqrt {1+r^{2}}}r\,\mathrm {d} r={\frac {2\pi }{3}}(2{\sqrt {2}}-1)}

Minimaaloppervlak

[bewerken |brontekst bewerken]

Eenminimaaloppervlak in de driedimensionale ruimte is een oppervlak waarvan degemiddelde kromming overal 0 bedraagt. Dit is gelijkwaardig met de eigenschap dat het oppervlak in de omgeving van elk punt de oppervlakte minimaliseert. Het fysische model van een minimaaloppervlak is een zeepvlies dat wordt opgespannen binnen een gekromde draad: door deoppervlaktespanning van de zeepoplossing zoekt het zeepvlies vanzelf naar de kleinste oppervlakte binnen de draad. Platte vlakken zijn minimaaloppervlakken, maar ook het omwentelingslichaam van eenkettinglijn is minimaal.

Wikibooks
Wikibooks heeft meer over dit onderwerp:Cursus wiskunde: Oppervlakte.
WikiWoordenboek
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Oppervlakte&oldid=69507905"
Categorie:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp