Voor het gelijknamige begrip uit de categorietheorie, zieMonoïde (categorietheorie).
In deabstracte algebra, een deelgebied van dewiskunde, is eenmonoïde eenalgebraïsche structuur die bestaat uit eenverzameling die is uitgerust met een enkeleassociatievebinaire operatie en eenneutraal element, ook wel eenheids- of identiteitselement genoemd.
Een voorbeeld van een monoïde is de verzameling van denatuurlijke getallen met deoperatieoptellen en het getal0 als neutraal element.
Een monoïde heeft meer algebraïsche structuur dan eenhalfgroep, omdat in een halfgroep het bestaan van een neutraal element niet is vereist. Een monoïde wordt daarom wel als een unitaire halfgroep aangeduid. Iederegroep is weer een monoïde, een monoïde waarin iederelement eeninverse heeft. Iedere groep isannuleerbaar, een monoïde hoeft dat niet te zijn.
| Algebraïsche structuur | ||
|---|---|---|
Onder een monoïde verstaat men een niet-legeverzameling met daarop een associatieve binaire operatie: en een voor deze bewerkingneutraal element, die dus voldoen aan de volgendeaxioma's:
Als een operatie expliciet moet worden gemaakt, kan een monoïde worden aangegeven door hetpaar. Het is gebruikelijk om in plaats van te schrijven voor het resultaat van de bewerking toegepast op de elementen.
De vrije monoïde van een verzameling is de monoïde die bestaat uit de verzameling van alle eindige rijen van nul of meer elementen van, metconcatenatie, het achter elkaar zetten, als operatie, en de rij van nul elementen als neutraal element.
In de context van een tekenset, een verzameling schrifttekens zoals letters, cijfers en leestekens is de vrije monoïde de verzameling (eindige)tekenreeksen bij deze tekenset. In relatie tot computers wordt een tekenset vaak besproken in combinatie met detekencodering.
Monoïden komen in aantal deelgebieden van de wiskunde voor. In demeetkunde representeert een monoïde het concept van eenfunctiecompositie. Dit idee is geabstraheerd in decategorietheorie, waar de monoïde eencategorie met eenobject is. Monoïden worden ook gebruikt om een stevige algebraïsche fundering te geven aan deinformatica.
