In demeetkunde, een deelgebied van dewiskunde, wordt de termkromming gebruikt voor een aantal losjes aan elkaar gerelateerde concepten die in verschillende deelgebieden van de meetkunde worden gebruikt. Intuïtief gesproken is kromming de mate waarin een meetkundigobject afwijkt van platheid of, in het geval van eenlijn, van rechtheid, maar dit wordt afhankelijk van de context op verschillende manieren gedefinieerd. Er bestaat een belangrijk onderscheid tussen extrinsieke kromming, wat voor objecten die zijningebed in een andereruimte (meestal eeneuclidische ruimte) op een manier wordt gedefinieerd die verband houdt met de kromtestraal van cirkels die raken aan het object, en intrinsieke kromming, die op elk punt in een differentiaalvariëteit is gedefinieerd.
Het oervoorbeeld van extrinsieke kromming is dat van eencirkel, die een kromming heeft die overal gelijk is aan deinverse van haarstraal. Kleinere cirkels hebben scherpere bochten en dus een grotere kromming. De kromming van eengladde kromme wordt op elk punt gedefinieerd als de kromming van haarkromtestraal.
In eenvlak, dat wil zeggen eenscalaire kwantiteit, maar dan in drie of meerdimensies, wordt het vlak beschreven door een krommingsvector, die niet alleen rekening houdt met de richting van de kromming, maar ook met de scherpte van de bocht. De kromming van meer complexeobjecten, zoalsoppervlakken of zelfs gekromde-dimensionale ruimten, wordt beschreven door meer complexe objecten uit delineaire algebra, zoals de algemenekrommingstensor van Riemann.
Laat eenvlakke kromme zijn. De kromming van in een punt van is een maat voor de grootte van de richtingsverandering van eenraaklijn aan door, als naar de andere dichtbijzijnde punten wordt verplaatst. Er zijn een aantal gelijkwaardige manieren waarop dit idee kan worden gepreciseerd.
Een manier is meetkundig. Het is natuurlijk om de kromming van eenlijn gelijk aannul te stellen. De kromming van een cirkel met straal is groot als de straal klein is en klein als de straal groot is. De kromming van een cirkel is daarom gedefinieerd als deomgekeerde van de straal:
Bij een willekeurige kromme en een punt op deze kromme bestaat er een unieke cirkel of lijn die de kromme in de buurt van het dichtst mogelijk benadert: de zogehetenosculerende cirkel in. De kromming van in wordt dan gedefinieerd als de kromming van deze osculerende cirkel of lijn. De straal van de kromming is bijgevolg de reciproque van de kromming.
Een andere manier om de kromming te begrijpen isnatuurkundig. Stel dat een deeltje zich langs de kromme voortbeweegt met snelheid, met. Als men de tijd alsparameter neemt voor de plaats van op biedt dit een natuurlijke parametrisatie voor de kromme. De richting van de raakvector, waarvoor, hangt van de tijd af. De kromming is dan de grootte van de mate van verandering van.
De kromming is hierin gelijk aan demiddelpuntzoekende versnelling, die het deeltje de kromming van in doet doorlopen.
Het is aan te tonen dat deze middelpuntzoekende versnelling voor een afstand die in de limiet naar nul gaat, gelijk is aan de eerder gedefinieerde kromming.
De kromme heeft de parameterweergave zo gekozen dat over het gehele domein
Wanneer naar de kromming van in een punt wordt gekeken, kan voor een equivalente parameterweergave worden gekozen, zodat
Het is een voorwaarde dat dit ten minste in geldt.
Kies en zodat en.
, de kromming en de kromtestraal worden gegeven door
Er wordt hier naar de parametergedifferentieerd.
Het teken van de getekende kromming geeft de richting aan, waarin de eenheidsraakvectorroteert als een functie van de parameter langs de kromme. Als de eenheidsraaklijn tegen de klok in draait, dan geldt dat Als deze met de klok meedraait, geldt
De getekende kromming hangt af van de betreffende parametrisatie, die voor deze kromme is gekozen. Deeenheidscirkel kan bijvoorbeeld worden geparametriseerd door (tegen de klok in, met), of door (met de klok mee, met). Preciezer geformuleerd hangt de ondertekende kromming alleen af van de keuze vanoriëntatie van eenondergedompelde kromme. Elke ondergedompelde kromme in het vlak laat twee mogelijkeoriëntaties toe.
Voor een vlakke kromme die incartesische coördinaten parametrisch wordt gegeven door is de kromming
waar accenten verwijzen naar afgeleiden met betrekking tot de parameter De getekende kromming is
Deze kan op een coördinaat-onafhankelijke wijze worden uitgedrukt als
Voor het minder algemene geval van een vlakkromme die expliciet wordt gegeven als en door nu accenten te gebruiken om de afgeleiden met betrekking tot de-coördinaat weer te geven, is de kromming
en is de getekende kromming
Deze uitdrukkingen zijn eveneens geldig voorimpliciete functies waar de afgeleiden eveneens kunnen berekend worden.
Deze vergelijking komt veel voor in denatuurkunde en detechniek; bijvoorbeeld in devergelijkingen vanbuiging in balken, de 1Dtrilling van een gespannen snaar, benaderingen van vloeistofstromen rond oppervlakken (in de luchtvaart), en de vrij oppervlak randvoorwaarden in oceaangolven. In dergelijke toepassingen wordt bijna altijd de aanname gemaakt dat dehelling klein is in vergelijking met eenheid, zodat de benadering
kan worden gebruikt. Deze benadering levert een relatief eenvoudigelineaire vergelijking op die het verschijnsel beschrijft, dat anders onhandelbaar zou blijven.
Als een kromme inpoolcoördinaten wordt gedefinieerd als, dan is haar kromming gelijk aan
waar het accent nu verwijst naar de differentiatie met betrekking tot.
Beschouw deparabool Men kan de kromme relatief eenvoudig parametriseren als Als men punten gebruikt om de afgeleiden met betrekking tot de parameter aan te geven, dan geldt
Substitueer deze waarden en laat de onnodige absolute waarden vallen, dan verkrijgt men
Zoals ook in het geval van krommen in twee dimensies, is de kromming van een regelmatigeruimtekromme in drie dimensies (en hoger) de grootte van de versnelling van een deeltje, dat zich met de eenheidssnelheid langs een kromme beweegt. Dus als debooglengte parametrisatie van is, dan wordt de eenheidsraakvector gegeven door
en is de kromming de grootte van de versnelling:
De richting van de versnelling is de eenheidsnormaalvector die wordt gedefinieerd door
Het vlak met de twee vectoren en wordt het osculerende vlak op de kromme op genoemd. De kromming heeft de volgende meetkundige interpretatie. Er bestaat een cirkel in het osculerende vlak die raakt aan waarvan de Taylor-reeks van de tweede orde op het punt van contact overeenkomt met die van Dit is de osculerende cirkel op de kromme. De straal van de cirkel wordt de kromtestraal genoemd, en de kromming is de reciproke van de kromtestraal:
Het raakvlak, de kromming en de normaalvector beschrijven samen het tweede-ordegedrag van een kromme in de buurt van een punt. In drie dimensies wordt het derde-ordegedrag van een kromme beschreven door een daaraan gerelateerde notie vantorsie, die de mate meet, waarin een kromme de neiging heeft om een kurkentrekker in de ruimte uit te voeren. De torsie en de kromming worden aan elkaar gerelateerd door deformules van Frenet-Serret (in drie dimensies) en hun generalisaties, in hogere dimensies.
Voor een parametrisch gedefinieerde ruimtekromme in cartesische coördinaten in drie dimensies gegeven door,is de kromming
waar het accent staat voor differentiatie met betrekking tot de tijd Dit kan onafhankelijk van het gebruikte coördinatensysteem worden uitgedrukt door middel van de formule
waar hetvectorkruisproduct is. Op gelijkwaardige wijze,
Hier duidt degetransponeerde matrix aan. Deze laatste formule is ook geldig voor de kromming van de krommen in een Euclidische ruimte van enige dimensie.
Gegeven twee punten en op laat de booglengte van het gedeelte van de krommen tussen en zijn en laat de lengte van hetlijnstuk van naar aangeven. De kromming van op wordt nu gegeven door de limiet
waar de limiet, die is genomen in het punt benadert op Als noemer kan evengoed worden genomen. De formule is geldig in alle dimensies. Door verder de limiet onafhankelijk aan weerszijden van te nemen, is deze definitie van kromming in sommige gevallen ook geschikt voor eensingulariteit in De formule volgt door deze te verifiëren voor de osculerende cirkel.
Wanneer een eendimensionale kromme op een tweedimensionaal oppervlak ligt, dat is ingebed in de drie dimensionale, zijn er meer maten van kromming van het oppervlak mogelijk. Dit zijn de normale kromming, degeodetische kromming en geodetische torsie.
Elke niet-singuliere kromme op een glad oppervlak zal zijn raakvector in hetraakvlak van het oppervlak orthogonaal hebben liggen op denormaalvector. De normale kromming is de kromming van de kromme geprojecteerd op het vlak, dat de raakvector van de kromme in het raakvlak van het oppervlak bevat en de normale, van het oppervlak. De geodetische kromming, is de kromming van de kromme geprojecteerd op het raakvlak van het oppervlak en de geodetische torsie of relatieve torsie,, meet de mate van verandering van de normaalvector van het oppervlak rond het raakvlak van de kromme.
Laat de kromme een eenheidssnelheidskromme zijn en, zodat en eenorthonormale basis vormen: het Darboux-frame. De bovenstaande grootheden zijn verbonden door:
ZieHoofdkromming voor het hoofdartikel over dit onderwerp.Alle krommen met dezelfde raakvector zullen dezelfde normale kromming hebben, die dezelfde is als de kromming van de krommen die wordt verkregen door het oppervlak te doorsnijden met het vlak dat en bevat. Rekening houdend met alle mogelijke raakvectoren worden de maximale en minimale waarden van de normale kromming op een punt de zogenaamde hoofdkrommingen, en genoemd, en worden de richtingen van de corresponderende raakvectoren hoofdrichtingen genoemd.
ZieDifferentiaalmeetkunde van oppervlakken voor het hoofdartikel over dit onderwerp.ZieGaussiaanse kromming voor het hoofdartikel over dit onderwerp.In tegenstelling tot krommen, die geen intrinsieke, maar wel een extrinsieke kromming hebben (zij hebben alleen een kromming gegeven een inbedding), kunnen oppervlakken een intrinsieke kromming hebben, die onafhankelijk is van een inbedding. DeGaussiaanse kromming, vernoemd naarCarl Friedrich Gauss, is gelijk aan het product van de hoofdkrommingen. Het heeft een dimensie van 1/lengte2 en is positief voorboloppervlakken, negatief voor eenbladigehyperboloïden en nul voor vlakken. Het bepaalt of een oppervlaklokaalconvex is (als de kromming positief is) of een lokaalzadelpunt is (als de kromming negatief is).
Deze definitie van Gaussiaanse kromming is extrinsiek in de zin dat het gebruikmaakt van deinbedding van het oppervlak in normaalvectoren, externe vlakken etc. Gaussiaanse kromming is echter in feite een intrinsieke eigenschap van het oppervlak, wat betekent dat het niet afhankelijk is van de bijzondereinbedding van het oppervlak; intuïtief betekent dit dat mieren die op het oppervlak leven de Gaussiaanse kromming kunnen bepalen. Een mier die op een boloppervlak leeft zou bijvoorbeeld de som van de inwendige hoeken van een driehoek kunnen meten en constateren dat deze groter is dan 180 graden, wat betekent dat de ruimte die die bewoont een positieve kromming heeft. Aan de andere kant zou een mier die op een cilinder leeft een dergelijke afwijking van deEuclidische meetkunde niet kunnen detecteren. Met name zou de mier niet kunnen detecteren dat dit oppervlak een andere gemiddelde kromming (zie hieronder) heeft dan een plat vlak, aangezien normale kromming een zuiver extrinsieke vorm van kromming is.
Formeel hangt de Gaussiaanse kromming alleen af van deRiemann-metriek van het oppervlak. Dit isGauss zijn gevierdeTheorema egregium, die hij vond in de periode dat hij actief was in geodetisch onderzoek en als kaartenmaker.
Een intrinsieke definitie van de Gaussiaanse kromming in een punt is de volgende: men stelt zich een mier voor die is vastgebonden aan punt met een korte draad van lengte De mier loopt rond terwijl de draad volledig is gespannen en meet de lengte van een compleet rondje rondom Als het oppervlak vlak zou zijn, zou de mier vinden dat Op gekromde oppervlakken, zal de formule voor anders zijn, en kan de Gaussiaanse kromming op het punt worden berekend door gebruik te maken van destelling van Bertrand-Diquet-Puiseux als
Deintegraal van de Gaussiaanse kromming over het gehele oppervlak is nauw verwant aan het oppervlak van deEuler-karakteristiek, zie destelling van Gauss-Bonnet.
Het discrete analogon van kromming, wat overeenkomt met kromming die wordt geconcentreerd op een punt en die in het bijzonder nuttig is voorveelvlakken, is het (angulaire) defect. Het analogon voor de stelling van Gauss-Bonnet isDescartes' stelling over het totale angulaire defect.
Omdat kromming kan worden gedefinieerd zonder verwijzing naar een inbeddende ruimte, is het om gekromd te zijn niet noodzakelijk dat een oppervlak in een hoger dimensionale ruimte is ingebed. Zulk een intrinsiek gekromd tweedimensionale oppervlak is een relatief eenvoudig voorbeeld van eenRiemann-variëteit.
Degemiddelde kromming is gelijk aan de helft van de som van dehoofdkrommingen, Het heeft de dimensie van 1/lengte. De gemiddelde kromming is nauw verwant aan de eerste variatie vanoppervlakte. In het bijzonder heeft eenminimaaloppervlak, zoals eenzeepfilm een gemiddelde kromming van nul en heeft eenzeepbel een constante gemiddelde kromming. In tegenstelling tot de Gaussiaanse kromming, is de gemiddelde kromming extrinsiek en hangt zij af van de inbedding in een hoger dimensionale ruimte. Eencilinder en een vlak zijn lokaal isometrisch, maar de gemiddelde kromming van een vlak is nul terwijl de gemiddelde kromming van een cilinder ongelijk aan nul is.
De intrinsieke en extrinsieke kromming van een oppervlak kunnen in de tweede fundamentele vorm worden gecombineerd. Dit is eenkwadratische vorm in het raakvlak aan het oppervlak op een punt waarvan de waarde op een bepaald raakvector aan het oppervlak de normale component van de versnelling van een kromme langs het raakvlak van het oppervlak dat raakt aan is; dat wil zeggen het is de normale kromming van een kromme rakend aan (ziehierboven). Symbolisch,
waarin de eenheidnormaal op het oppervlak is. Voor eenheidsraakvectoren neemt de tweede fundamentele vorm de maximale waarde en minimale waarde aan, die zich respectievelijk voordoen in de hoofdrichtingen en Dus door de hoofdasstelling is de tweede fundamentele vorm gelijk aan
De tweede fundamentele vorm codeert dus voor zowel de intrinsieke en extrinsieke kromming.
Een verwante notie van kromming is de vormoperator, eenlineaire operator van het raakvlak op zichzelf. Wanneer de vormoperator wordt toegepast op een raakvector op het oppervlak, is de vormoperator de tangentiële component van de mate van verandering van de normaalvector, wanneer deze langs een kromme op het oppervlak dat raakt aan wordt bewogen. De hoofdkrommingen zijn de eigenwaarden van de vormoperator, en in feite hebben de vormoperator en de tweede fundamentele vorm dezelfde matrixweergave met betrekking tot een paar van orthonormale vectoren van het raakvlak. De Gaussiaanse kromming is dus dedeterminant van de vormtensor en de gemiddelde kromming is de helft van haarspoor.
Door uitbreiding van het eerste argument kan een ruimte van drie of meer dimensies intrinsiek worden gebogen, de volledige wiskundige beschrijving wordt beschreven in kromming van Riemann-variëteiten. Ook hier kan de gekromde ruimte al of niet worden opgevat als zijndeingebed in een hoger-dimensionale ruimte.
Na de ontdekking van de intrinsieke definitie van de kromming, die nauw verbonden is met de opgang van deniet-Euclidische meetkunde, hebben vele wis- en natuurkundigen zich afgevraagd of de gewone natuurkundige ruimte misschien gekromd kan zijn, dit hoewel het succes van de Euclidische meetkunde tot dat moment betekende dat de kromtestraal astronomisch groot moest zijn. In de theorie van dealgemene relativiteitstheorie, die dezwaartekracht enkosmologie beschrijft, heeft het idee algemene vorm gekregen in de kromming vanruimte-tijd. In de relativiteitstheorie is de ruimtetijd eenpseudo-Riemann-variëteit. Wanneer een tijdscoördinaat is gedefinieerd, is de drie-dimensionale ruimte die overeenkomt met een bepaalde tijdsmoment over het algemeen een gekromdeRiemann-variëteit, maar aangezien de keuze van de tijdscoördinaten grotendeels willekeurig is, is het de onderliggende kromming van de ruimtetijd kromming die natuurkundige significant is.
Hoewel een willekeurig-gekromde ruimte zeer complex is om te beschrijven, wordt de kromming van een ruimte, die lokaalisotroop enhomogeen is, beschreven door een enkeleGaussiaanse kromming. Wat betreft een oppervlak zijn er wiskundige strikte voorwaarden, maar deze corresponderen met redelijke natuurkundige aannames (alle punten en alle richtingen zijn niet van elkaar te onderscheiden). Een positieve kromming komt overeen met het omgekeerdekwadraat van de kromtestraal, een voorbeeld hiervan is eenboloppervlak ofhypersfeer. Een voorbeeld van een negatief gekromde ruimte is eenhyperbolische meetkunde. Een ruimte of ruimtetijd met nulkromming noemt men plat. Deeuclidische ruimte is bijvoorbeeld een voorbeeld van een vlakke ruimte en deMinkowski-ruimte is een voorbeeld van een vlakke ruimtetijd. Er bestaan overigens ook andere voorbeelden van platte meetkunden. Aan eentorus of eencilinder kan men beide vlakke metrieken toekennen, maar zij verschillen in huntopologie. Andere topologieën zijn ook mogelijk voor de gekromde ruimte. Zie ookvorm van het heelal.
Het wiskundige begrip kromming wordt ook in meer algemene context gedefinieerd.[1] Veel van de beschrijvingen gaan over verschillende aspecten van de kromming, zoals deze in lageredimensies worden begrepen.
Een van deze beschrijvingen iskinematisch. De kromming van een kromme kan worden beschouwd als een kinematische eenheid, die dekracht weergeeft, die door een bepaalde waarnemer, die zich langs de kromme verplaatst, wordt gevoeld. De kromming kan op dezelfde manier in hogere dimensies als een soort vangetijdewerking worden beschouwd, dit is een manier om oversectiekromming na te denken. Deze beschrijving van de kromming hangt ervan af hoe dicht bij elkaar bevindende deeltjes divergeren of convergeren, wanneer zij zich vrij in deruimte kunnen bewegen.
Een ander beschrijving van de kromming komt voort uit de studie vanparalleltransport op eenoppervlak. Als een vector bijvoorbeeld over een lus op een boloppervlak wordt verplaatst, waarbij het paralleltransport tijdens deze beweging behouden blijft, dan is de eindpositie van de vector niet hetzelfde als de beginpositie. Dit verschijnsel staat bekend alsholonomie. Dit uit zich op verschillende manieren om de kromming als een maat voor de holonomie te beschrijven. Een nauw hieraan verwant begrip van kromming komt uit deijktheorie in de natuurkunde, waar de kromming eenveld bepaalt en eenvectorpotentiaal voor het veld een grootheid is, die in het algemeen pad-afhankelijk is: de vectorpotentiaal kan veranderen als een waarnemer zich langs een lus beweegt.
Twee andere beschrijvingen van kromming zijn descalaire kromming en dericcikromming. In een gekromd oppervlak, zoals op een boloppervlak, verschilt de oppervlakte van een schijf op dat oppervlak van de oppervlakte van een schijf met dezelfde straal in de vlakke ruimte. Dit verschil wordt, in een passende limiet, gemeten door de scalaire kromming. Het verschil in oppervlakte van een sector van de schijf wordt gemeten door de riccikromming. Zowel de scalaire- als de riccikromming worden op dezelfde manier in drie en hogere dimensies gedefinieerd. Ze zijn vooral belangrijk in derelativiteitstheorie, waar zij beide voorkomen aan de kant vaneinsteinvergelijkingen, die de meetkunde van deruimtetijd weergeven. De andere kant van deze vergelijking geeft de aanwezigheid vanmaterie enenergie weer. Deze beschrijvingen van kromming liggen bijvoorbeeld ten grondslag aan het idee dat kromming een eigenschap van eenmaat kan zijn.
Een andere algemene vorm van kromming berust op het vermogen om een gekromde ruimte met een andere ruimte die eenconstante kromming heeft te vergelijken. Dit wordt vaak gedaan metdriehoeken in de ruimten.
