Movatterモバイル変換

Naar inhoud springen

Koorde

Koppelingen bewerken

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Figuur 1. $\angle {APB}$ en $\angle {AQB}$ zijn supplementaire hoeken op koorde AB. Hun som is dus 180°.

{\displaystyle \angle {APB}} — Figuur 1. $\angle {APB}$ en $\angle {AQB}$ zijn supplementaire hoeken op koorde AB. Hun som is dus 180°.

Figuur 2. De stelling van Thales zegt dat de rode en de gele hoek gelijk zijn, namelijk exact 90°.

Figuur 3. Willekeurige koorde met bijbehorende middelpuntshoek

Eenkoorde is hetlijnstuk dat tweepunten op eencirkel met elkaar verbindt.Middellijnen van een cirkel zijn dus ook koorden.

Delijn die men krijgt door een koorde aan beide kanten te verlengen wordtsnijlijn of secantlijn genoemd, die bij de koorde hoort.

Geschiedenis

[bewerken |brontekst bewerken]

De koorde werd vroeger veel gebruikt in degoniometrie ofmeetkunde. In tegenstelling tot de moderne goniometrie, die gebaseerd is op de sinus en de cosinus, was de goniometrie in deklassieke oudheid gebaseerd op de koorde. De koorde en de bijbehorendehoek werden bepaald via een tabel. De eerst bekende goniometrische tabel werd doorHipparchus opgesteld. Uit deze tabel kon men de lengte van de koorde van eenmiddelpuntshoek $\alpha$ (Figuur 3) aflezen en vice versa. Hipparchus berekende de koorde voor elke 7,5graad. Tabel 1 is een voorbeeld van een koordentabel voor eeneenheidscirkel, in stappen van 10 graden.^[1]

Tabel 1: Koordentabel
α	0°	10°	20°	30°	40°	50°	60°	70°	80°	90°	…	180°
koorde	0	0,1743	0,3473	0,5176	0,6840	0,8452	1	1,1472	1,2856	1,4142	…	2

De tabel van Hipparchus werd in de tweede eeuw n.Chr. doorClaudius Ptolemaeus uit Alexandria verbeterd in zijn boekAlmagest. Hij maakte een koordentabel met stappen van 1/2 graad. Hipparchus zou een twaalfdelig boek over koorden geschreven hebben dat verloren is gegaan. Vermoedelijk was er in die tijd veel bekend over koorden. De koorde is vervangen door desinus en cosinus. Deze functies werden rond 450 n.Chr. inIndia opgesteld en viaArabische wiskunde in Europa geïntroduceerd.

Eigenschappen

[bewerken |brontekst bewerken]

Twee koorden van eenzelfde cirkel hebben dezelfde afstand tot hetmiddelpunt dan en slechts dan als de koorden gelijkelengte hebben.
Demiddelloodlijn van een koorde gaat door het middelpunt van de cirkel.
Een koorde $A B {\displaystyle AB}$ verdeelt de omtrek van de cirkel in tweecirkelbogen en de oppervlakte van de cirkel in tweecirkelsegmenten. Als een punt $P {\displaystyle P}$ de ene, en een punt $Q {\displaystyle Q}$ de andere cirkelboog doorloopt dan hebben de hoeken $\angle {APB}$ en $\angle {AQB}$ elk een vaste waarde. Bovendien zijn die twee hoeken supplementair, wat wil zeggen dat hun som 180 graden is. Is de koorde een middellijn, dan zijn volgens destelling van Thales beide hoeken recht.
Gegeven twee koorden $A B {\displaystyle AB}$ en $C D {\displaystyle CD}$ die elkaar snijden in een punt $P {\displaystyle P}$ , eventueel in het verlengde van de koorden. Dan geldt:

PA\cdot PB=PC\cdot PD

= demacht van puntP ten opzichte van de cirkel.

De lijn die vanaf het middelpunt van de cirkelloodrecht op de koorde valt wordt hetapothema genoemd. De afstand van de koorde tot de cirkelrand heet depijl, in andere talen de sagitta. De gezamenlijke lengte van het apothema en de pijl is dus gelijk aan destraal van de cirkel.
In een willekeurige cirkel kan de lengte van de koorde $k {\displaystyle k}$ worden berekend uit de straal $R {\displaystyle R}$ en demiddelpuntshoek $\alpha$ :

k=2R\ \sin({\tfrac {1}{2}}\alpha )

De vier koorden van eenkoordenvierhoek voldoen aan destelling van Ptolemaeus.

Koordefunctie

[bewerken |brontekst bewerken]

Historisch werd de lengte van de koorde in deeenheidscirkel de koordefunctie $\mathrm {krd}$ genoemd, die echter in onbruik is geraakt. Ze is dus gedefinieerd als

\mathrm {krd} (\alpha )=2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\alpha \right)

De lengte $k {\displaystyle k}$ van een koorde op een middelpuntshoek $\alpha$ in een cirkel met straal $R {\displaystyle R}$ is dan:

k=R\ \mathrm {krd} (\alpha )

Vanwege de relatie met de sinus van de halve hoek voldoet de koorde aan dezelfde soortvergelijkingen als desinus en cosinus. Zo leidt destelling van Pythagoras tot de vergelijking:

\mathrm {krd} ^{2}(\alpha )+\mathrm {krd} ^{2}(180^{\circ }-\alpha )=4

,

wat in eenrechthoekige driehoek is te zien met de beide koorden als rechthoekszijden en de middellijn alshypotenusa.

Koorden in andere figuren dan cirkels

[bewerken |brontekst bewerken]

Het verbindingslijnstuk van twee punten op een anderekromme dan een cirkel, bijvoorbeeld op degrafiek van een functie, wordt ook een koorde genoemd.^[2]

Het begrip koorde wordt ook in deruimtemeetkunde gebruikt. Een koorde is hetlijnstuk dat twee punten van eenruimtekromme of van een oppervlak verbindt. De koorde maakt over het algemeen zelf geen deel uit van de ruimtekromme of van het oppervlak.

Luchtvaarttechniek

[bewerken |brontekst bewerken]

Devleugelkoorde van een vleugelprofiel is de lijn die het voorste punt van het profiel verbindt met het achterste punt van het profiel.

Voetnoten

↑bijvoorbeeld $d(\ (1,0)\ ,\ (\cos \ 20^{\circ },\sin \ 20^{\circ }\ )\ )=0,3473$ .
↑JP Daems en E Jennekens. Argument 4 ― Algebra - Meetkunde - Driehoeksmeting, 2003. blz 106,ISBN 9789045506593

Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Koorde&oldid=67649025"

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp