Trapp stroomde in 2007 door vanuit de jeugd vanFC Kaiserslautern. Na een jaar in het tweede, debuteerde hij op 9 augustus 2008 in het eerste team in de eerste ronde van het toernooi om deDFB-Pokal, tegenCarl Zeiss Jena. In zijn derde seizoen bij de club werd Trapp eerste keeper, maar degradeerde hij net uit de Bundesliga. Hij speelde in totaal 36 wedstrijden voor de club.
Trapp verruilde in 2012 het gedegradeerde Kaiserslautern voor het toen net naar deBundesliga gepromoveerdeEintracht Frankfurt, waar hij een vierjarig contract tekende. Hij werd in zijn eerste jaar met zijn nieuwe club zesde, in het seizoen2012/13. In de volgende seizoenen volgden een dertiende en een negende plaats. Trapp maakte in het seizoen 2013/14 met Eintracht Frankfurt ook zijn debuut in deEuropa League.
Trapp tekende in juli 2015 een contract tot medio 2020 bijParis Saint-Germain, op dat moment de regerend kampioen van Frankrijk. Dat betaalde 9 miljoen euro voor hem aan Eintracht Frankfurt.[1] Trapp was in zijn eerste jaar in Parijs eerste doelman in zowel de wedstrijden in de competitie als die in deChampions League. Hij werd zo voor het eerst in zijn carrière landskampioen. Gedurende het seizoen 2016/17 verkoos coachUnai Emery in eerste instantieAlphonse Aréola, die Trapp in 2017/18 permanent uit de basis verdrong.
Nadat Paris Saint-German ookGianluigi Buffon naar Frankrijk haalde, verhuurde de club Trapp in 2018/19 aanEintracht Frankfurt. Dat was op zoek naar een opvolger voor de vertrokkenLukas Hradecky. De nieuwe coachAdi Hütter maakte Trapp zodoende meteen weer eerste doelman. Eintracht en hij werden dat jaar zevende in de Bundesliga en haalden de halve finale van de Europa League. Hierin verloren ze na een beslissende strafschoppenreeks van de latere toernooiwinnaarChelsea. Trapp stopte een penalty vanCesar Azpilicueta, maar zijn opponentKepa Arrizabalaga hield er twee tegen.[2]
Trapp keerde in augustus 2019 definitief terug bij Eintracht Frankfurt, nadat hij er eerst een seizoen op huurbasis had gespeeld.[3] Hier bleef hij ook in de jaren die volgden eerste doelman. Hij miste alleen drie maanden van de eerste seizoenshelft van 2019/20 vanwege een schouderblessure. Trapp speelde op 2 mei 2022 zijn 200ste wedstrijd in de Bundesliga voor Eintracht Frankfurt, tegenBayer Leverkusen.[4] Hij won vijftien dagen later de finale van de Europa League 2021/22 met zijn teamgenoten. Nadat de finale tegenRangers in 1–1 eindigde, moest een beslissende strafschoppenreeks uitsluitsel geven. Doordat zijn ploeggenoten vijf keer raak schoten, was zijn redding op de inzet vanAaron Ramsey bepalend voor de zege.[5] Trapp bereikte in 2022/23 de finale van deDFB-Pokal met Eintracht Frankfurt. Zijn team en hij verloren deze vanRB Leipzig.[6]
Trapp speelde in diverse Duitse jeugdelftallen. VoorDuitsland –21 speelde hij in dertien wedstrijden. Hij had hier concurrentie voor zijn positie vanOliver Baumann. In juni 2017 nam Trapp met hetDuits voetbalelftal deel aan deFIFA Confederations Cup 2017, die werd gewonnen door in de finaleChili te verslaan (1–0). Trapp maakte eveneens deel uit van de Duitse selectie, die onder leiding van bondscoachJoachim Löw deelnam aan deWK-eindronde 2018 inRusland. Daar werdDie Mannschaft voortijdig uitgeschakeld. De ploeg strandde in de groepsfase, voor het eerst sinds hetwereldkampioenschap 1938, na nederlagen tegenMexico (0–1) enZuid-Korea (0–2). In groep F werd alleen vanZweden (2–1) gewonnen, al kwam die zege pas tot stand in de blessuretijd. Trapp was een van de drie spelers, naast collega-keeperMarc-André ter Stegen enMatthias Ginter, die geen minuut in actie kwam tijdens het toernooi.