Aspas speelde vanaf zijn zevende voorCelta de Vigo. Tijdens het seizoen 2007/08 maakte hij zijn profdebuut voor Celta in deSegunda División. In 2009 werd hij definitief bij het eerste elftal gehaald. In het seizoen 2011/12 maakte hij 23 doelpunten in 35 wedstrijden, waarmee hij zijn team na vijf jaar afwezigheid hielp promoveren naar dePrimera División. Het daaropvolgende seizoen wist Celta de Vigo zich op de laatste speeldag te verzekeren van het behoud. Aspas maakte twaalf doelpunten in 34 competitiewedstrijden.
Aspas tekende op 13 juni 2013 een vierjarig contract bijLiverpool. Hij debuteerde hiervoor op 17 augustus 2013 in dePremier League, opAnfield tegenStoke City. Hij gaf een assist opDaniel Sturridge, die het enige doelpunt van de wedstrijd maakte. Na 72 minuten werd hij vervangen doorRaheem Sterling. Aspas maakte zich bij Liverpool niet onmisbaar. De club verhuurde hem gedurende het seizoen 2014/15 aanSevilla FC, dat daarbij een optie bedong om hem aan het eind van het seizoen definitief voor drie jaar vast te leggen.[1]
Sevilla lichtte in juni 2015 de optie tot koop op Aspas, maar alleen om hem een paar dagen later door te verkopen aan zijn oude club Celta de Vigo.[2] Hier tekende hij een contract tot medio 2020.[3]
Aspas debuteerde op 15 november 2016 in hetSpaans voetbalelftal, in een oefeninterland in en tegenEngeland (2–2). Hij maakte die dag ook zijn eerste interlanddoelpunt, de 2–1. Aspas maakte deel uit van de Spaanse selectie die onder leiding van interim-bondscoachFernando Hierro deelnam aan hetWK 2018 inRusland. Spanje werd in de achtste finales uitgeschakeld doorRusland. Aspas kwam in drie van de vier duels die Spanje speelde in actie, steeds als invaller.