Dehelicoïde heeft de vorm van eenschroef van Archimedes. Wie eenwenteltrap van steeds meer en steeds smallere treden voorziet, krijgt op den duur een helicoïde, waarbij de uiteinden van de treden eenhelix vormen. Daaraan dankt het oppervlak ook zijn naam. Deze wekt de suggestie dat de helicoïde eenomwentelingslichaam van deHelix zou zijn, maar dat is niet het geval. Het oppervlak is wel voor te stellen als opgebouwd uit concentrische helices met gelijkespoed.
Meusnier stelde in1776 als eerste dat de helicoïde eenminimaaloppervlak is, en het is het enige dat tegelijk eenregeloppervlak is, zoalsCatalan in1842 bewees, met uitzondering van het trivialeplatte vlak.[1]
Een regeloppervlak is een oppervlak waarbij door elk punt van het oppervlak minstens één regel gaat, dat is een rechte lijn die volledig in dat oppervlak ligt; een minimaaloppervlak is het kleinste vlak dat in een bepaald frame te spannen is. Wie een voldoende grotezeepbel in een helixvormig frame blaast, ziet dat het zeepoppervlak een helicoïde vormt.
De helicoïde wordt beschreven door de volgendeparametervergelijking:
met voor de variabelenρ enθ waarden van plusoneindig tot min oneindig, terwijlα een constante is. Met positieveα is de helicoïde is rechtsdraaiend zoals in de figuur, negatieve waarden geven een linksdraaiende schroef.
De helicoïde heeft dehoofdkrommings. Opgeteld geeft dat degemiddelde kromming (nul, omdat het een minimaaloppervlak is) en vermenigvuldiging geeft deGaussiaanse kromming.
De helicoïde ishomeomorf met het vlak. Dat is in te zien doorα in de parametervergelijking van een willekeurige waarde naar nul te laten gaan. Bij afnemende waarden ontstaat een steeds ruimere schroef (alsof een Archimedische schroef uitgerekt wordt, waardoor de schoep steeds vlakker wordt) en bijα = 0 blijft een plat vlak over, evenwijdig aan de spil. Omgekeerd kan een plat vlak overgaan in een helicoïde door het tetorderen om een spil die in dat vlak ligt.
De helicoïde en decatenoïde, hetomwentelingslichaam van dekettinglijn, behoren tot een familie van helicoïde-catenoïde minimaaloppervlakken.