Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Naar inhoud springen
Wikipediade vrije encyclopedie
Zoeken

Groep (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
De mogelijke manipulaties van de Rubiks kubus vormen een groep.

In degroepentheorie, een deelgebied van dewiskunde, is eengroep eenalgebraïsche structuur die bestaat uit eenverzamelingG{\displaystyle G} en eenbinaire operatie, de groepsbewerking, die aan tweeelementen vanG{\displaystyle G} weer een element vanG{\displaystyle G} toevoegt. De verzamelingG{\displaystyle G} en de groepsbewerking moeten voldoen aan enkele voorwaarden, degroepsaxioma's. Er zijn er vier: de groepsbewerking isgesloten enassociatief, er is in de groep eenneutraal element voor de groepsbewerking, de identiteit, en ieder element in de groep heeft eeninvers element. Een voorbeeld van een groep vormen degehele getallen metoptellen als operatie.

De axioma's gelden voor alle groepen, maar groepen onderling kunnen heel verschillend zijn. Zij vormen het onderwerp van de groepentheorie. Met groepen kunnen de structurele aspecten vanobjecten van uiteenlopende oorsprong op uniforme wijze worden bestudeerd. De alomtegenwoordigheid van de groepen op tal van gebieden, zowel binnen als buiten de wiskunde, maakt van groepen een centraal ordenend principe binnen de hedendaagse wiskunde.[1][2]

Groepen delen een fundamentele verwantschap met het begripsymmetrie. Eensymmetriegroep beschrijft symmetrie-eigenschappen van eenmeetkundig object, dus bestaat uit de verzameling van transformaties die het object ongewijzigd laten met daarbij alsoperatie het na elkaar uitvoeren van twee van zulke transformaties. Zulke symmetriegroepen, in het bijzonder de continuelie-groepen, spelen een belangrijke rol in tal van academische disciplines.Matrixgroepen worden bijvoorbeeld gebruikt om symmetrieën in de moleculairescheikunde ensymmetrie in de natuurkunde, zoals denatuurwetten die ten grondslag liggen aan despeciale relativiteitstheorie, te begrijpen.

De studie vanvergelijkingen heeft aan de basis van de groepentheorie gestaan.Évariste Galois was in de jaren 1830 een van de wiskundigen die hieraan rekenden. De theorie die het verband legt tussenpolynomen en groepen, is naar hem genoemd. Na bijdragen vanuit andere gebieden, zoals degetaltheorie en demeetkunde, kreeg het begrip groep in de wiskunde zijn algemene vorm, en kreeg de groepentheorie rond 1870 een stevige basis. Om groepen te onderzoeken hebben wiskundigen verschillende begrippen gedefinieerd die het mogelijk maken om groepen op te breken in kleinere, beter begrijpelijke stukken, zoalsondergroepen,factorgroepen enenkelvoudige groepen. Naast de abstracte eigenschappen van groepen bestuderen groepstheoretici ook de verschillende manieren waarop een groep concreet kan worden uitgedrukt, haargroepsrepresentatie, zowel vanuit eentheoretisch als eencomputationeel standpunt. Er heeft zich een bijzondere rijke theorie van deeindige groepen ontwikkeld, die culmineerde in declassificatie van eindige enkelvoudige groepen, die werd voltooid in 1983. Sinds het midden van de jaren 1980 is demeetkundige groepentheorie, die eindiggegenereerde groepen als meetkundige objecten bestudeert, uitgegroeid tot een bijzonder actief onderzoeksgebied binnen de groepentheorie.


Algebraïsche structuur

Geschiedenis

[bewerken |brontekst bewerken]
ZieGeschiedenis van de groepentheorie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Het moderne concept van een abstracte groep ontwikkelde zich uit verschillende deelgebieden van de wiskunde[3][4][5]. De oorspronkelijke motivatie voor de groepentheorie was de zoektocht naar oplossingen vanpolynomiale vergelijkingen van graad 5 en hoger. De 19e-eeuwse Franse wiskundigeÉvariste Galois, die voortbouwde op eerder werk vanPaolo Ruffini enJoseph-Louis Lagrange, gaf een criterium voor de oplosbaarheid van bepaalde veeltermvergelijkingen in termen vansymmetriegroepen van zijnwortels (oplossingen). De elementen van een dergelijkeGaloisgroep komen overeen met bepaaldepermutaties van de wortels. Aanvankelijk werden Galois zijn ideeën verworpen door zijn tijdgenoten en zijn werken werden pas voor het eerst ruim vijftien jaar na zijn vroege dood gepubliceerd[6][7]. Meer algemenepermutatiegroepen werden met name onderzocht doorAugustin Louis Cauchy.Arthur CayleysOn the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (Over de groepentheorie, afhankelijk van de symbolische vergelijking θn = 1) (1854) geeft de eerste abstracte definitie van eeneindige groep[8].

Demeetkunde was een tweede terrein, waarop systematisch groepen werden gebruikt, vooralsymmetriegroepen, als onderdeel vanFelix KleinsErlanger Programm uit1872[9]. Nadat "nieuwe meetkunden", zoals dehyperbolische- en deprojectieve meetkunde waren ontstaan, gebruikte Klein de groepentheorie om deze "nieuwe meetkunden" op een meer coherente manier te organiseren. Deze ideeën verder bevorderend, legdeSophus Lie in 1884 het fundament voor de studie van de naar hem genoemdeLie-groepen[10]

Het derde veld dat bijdroeg aan de groepentheorie was degetaltheorie. Van bepaaldeabelse groep structuren werd reeds impliciet gebruikgemaakt inCarl Friedrich Gauss'Disquisitiones Arithmeticae uit1798 en meer expliciet doorLeopold Kronecker[11]. In 1847 leiddeErnst Kummer vroege pogingen om delaatste stelling van Fermat te bewijzen naar een climax door de ontwikkeling van groepen die factorisatie in priemgetallen beschreven.[12]

De convergentie van deze verschillende bronnen in een uniformegroepentheorie begon in1870 metCamille JordansTraité des substitutions et des équations algébriques[13]. Walther von Dyck (1882) stelde als eerste een moderne definitie van een abstracte groep[14] op. Vanaf het begin van de 20e eeuw, verkregen groepen een brede erkenning door het baanbrekende werk vanFerdinand Georg Frobenius enWilliam Burnside, die werkte op het gebied van derepresentatietheorie van eindige groepen,Richard Brauers modulaire representatietheorie en de artikelen vanIssai Schur[15] De theorie van de Lie-groepen, en meer in het algemeen delokaal compacte groepen werd gepropageerd doorHermann Weyl,Élie Cartan en vele anderen[16]. Haar algebraïsche tegenhanger, de theorie van dealgebraïsche groepen, werd vanaf de late jaren dertig voor het eerst doorClaude Chevalley vormgegeven en later voortgezet met belangrijk werk vanArmand Borel enJacques Tits[17].

Het door deUniversiteit van Chicago in het academisch jaar 1960-61 georganiseerde "Groepentheoriejaar" bracht een aantal vooraanstaande groepentheoretici, zoalsDaniel Gorenstein,John Griggs Thompson enWalter Feit bij elkaar. Hierdoor werd het fundament van een samenwerking gelegd die, met inbreng van vele andere wiskundigen, in 1982 tot de classificatie van alle eindige enkelvoudige groepen zou leiden. Dit project overtrof alle vorige wiskundige inspanningen door zijn enorme omvang, zowel wat betreft de lengte van het bewijs als door het aantal onderzoekers. Er is nog steeds onderzoek gaande om het bewijs van deze classificatie te vereenvoudigen[18]. Deze dagen is de groepentheorie nog steeds een zeer actief deelgebied van de wiskunde met een cruciale invloed op vele andere takken van de wiskunde.

Definitie

[bewerken |brontekst bewerken]

Een groep(G,∗){\displaystyle (G,*)} wordt gevormd door een niet-lege verzamelingG{\displaystyle G} met een associatievebinaire operatie∗:G×G→G{\displaystyle *:G\times G\to G}, een voor de bewerking neutraal elemente{\displaystyle e} en bij elkelementa∈G{\displaystyle a\in G} een voor de bewerking invers elementa−1{\displaystyle a^{-1}}.

Uitgebreider geformuleerd:

Een groep is eenverzamelingG{\displaystyle G}, samen met eenoperatie∗{\displaystyle *} die aan elke tweeelementena{\displaystyle a} enb{\displaystyle b} een elementa∗b∈G{\displaystyle a*b\in G} toevoegt. Het is gebruikelijk∗(a,b){\displaystyle *(a,b)} te noteren alsa∗b{\displaystyle a*b}. Het symbool∗{\displaystyle *} is een algemene plaatshouder voor een concreet gegeven operatie, zoals de optelling hierboven. De verzameling en de operatie moeten voldoen aan vier eisen die samen bekendstaan als de groepsaxioma's:[19]

  1. De groep isgesloten met betrekking tot de groepsbewerking: Voor allea,b∈G{\displaystyle a,b\in G} is het resultaata∗b{\displaystyle a*b} van de groepsoperatie ook inG{\displaystyle G}.
  2. De groepsbewerking isassociatief: Voor allea,b,c∈G{\displaystyle a,b,c\in G} geldt de relatie:(a∗b)∗c=a∗(b∗c){\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}.
  3. Er is eenidentiteitselement voor de groepsbewerking: Er bestaat een elemente∈G{\displaystyle e\in G}, zodat voor alle elementena∈G{\displaystyle a\in G} geldt date∗a=a∗e=a{\displaystyle e*a=a*e=a}
  4. Bij ieder element is er eeninvers element: Voor elkea∈G{\displaystyle a\in G} bestaat er een elementa−1∈G{\displaystyle a^{-1}\in G}, waarvoor geldt:a∗a−1=a−1∗a=e{\displaystyle a*a^{-1}=a^{-1}*a=e}.

Merk op dat een groep niet noodzakelijkcommutatief hoeft te zijn. Het is niet noodzakelijk dat voor allea,b∈G{\displaystyle a,b\in G} geldt data∗b=b∗a{\displaystyle a*b=b*a}. Als dit wel het geval is spreekt men van een commutatieve ofabelse groep, genoemd naar de wiskundigeNiels Abel.

Verder wordt er onderscheid gemaakt tusseneindige enoneindige groepen.

Voorbeelden

[bewerken |brontekst bewerken]

Voorbeeld 1, gehele getallen

[bewerken |brontekst bewerken]

Een van de bekendste groepen is de verzameling vangehele getallenZ{\displaystyle \mathbb {Z} }, die bestaat uit de getallen

…,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4,…{\displaystyle \ldots ,-4,-3,-2,-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots }[20]

Deoptelling van de gehele getallen heeft de volgende eigenschappen, die dienen als een model voor de abstracte groepsaxioma's die in de onderstaande definitie worden gegeven.

  1. Voor elke twee gehele getallena{\displaystyle a} enb{\displaystyle b} is desoma+b{\displaystyle a+b} ook een geheel getal. Met andere woorden, het proces van het bij elkaar optellen van twee gehele getallen heeft als resultaat weer een geheel getal. De gehele getallen zijngesloten onder deoperatie optellen.
  2. Voor alle gehele getallena,b{\displaystyle a,b} enc{\displaystyle c} is(a+b)+c=a+(b+c){\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}. Eersta{\displaystyle a} bijb{\displaystyle b} optellen en dan het resultaat hiervan bijc{\displaystyle c} optellen, geeft hetzelfde eindresultaat als het optellen vana{\displaystyle a} bij de som vanb{\displaystyle b} enc{\displaystyle c}. Optellen is eenassociatieve bewerking.
  3. Voor elk geheel getala{\displaystyle a} is0+a=a+0=a{\displaystyle 0+a=a+0=a}. Het getalnul gedraagt zich neutraal ten opzichte van de optelling. Het wordt hetneutrale element van de operatie optelling genoemd, of algemeen het identiteitselement, omdat het optellen van nul bij een willekeurig geheel getal ditzelfde gehele getal als resultaat oplevert.
  4. Voor elk geheel getala{\displaystyle a} is er een geheel getalb{\displaystyle b}, zodanig data+b=b+a=0{\displaystyle a+b=b+a=0}. Het gehele getalb{\displaystyle b} wordt hetinverse element van het gehele getala{\displaystyle a} genoemd en gewoonlijk aangeduid door−a{\displaystyle -a}, door min a.

Voorbeeld 2, permutatiegroepen

[bewerken |brontekst bewerken]

De groep van allepermutaties van eenrij vann{\displaystyle n} elementen heet de symmetrische groepSn{\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}. De naam van deze groep is niet aan de symmetrie in de groep ontleend.

Voorbeeld 3, dihedrale groep

[bewerken |brontekst bewerken]

Desymmetrieën, dat wil zeggenrotaties enspiegelingen, van eenvierkant vormen een groep die dedihedrale groepD4{\displaystyle \mathrm {D} _{4}} wordt genoemd.[21] De dihedrale groep kent de onderstaande acht symmetrieën:


id{\displaystyle \mathrm {id} } (onveranderd)
r1{\displaystyle r_{1}} (rotatie van 90° met de klok mee)
r2{\displaystyle r_{2}} (rotatie van 180° met de klok mee)
r3{\displaystyle r_{3}} (rotatie van 270° met de klok mee)

fv{\displaystyle f_{v}} (verticale flip)		fh{\displaystyle f_{h}}(horizontale flip)
fd{\displaystyle f_{d}} (diagonale flip)
fc{\displaystyle f_{c}} (tegen-diagonale flip)
De elementen van de symmetriegroep van het vierkant (D4{\displaystyle \mathrm {D} _{4}}). De hoekpunten zijn alleen gekleurd en genummerd om de operaties te visualiseren.
* deidentieke afbeelding, die alles onveranderd laat, aangeduid door id;
* rotaties van het vierkant 90° right, 180° right en 270° met de klok mee, aangeduid door respectievelijkr1,r2{\displaystyle r_{1},r_{2}} enr3{\displaystyle r_{3}};
* spiegelingen over de verticale en horizontale middellijn (fh{\displaystyle f_{h}} enfv{\displaystyle f_{v}}) of door de tweediagonalen (fd{\displaystyle f_{d}} enfc{\displaystyle f_{c}}).

Elke twee symmetrieëna{\displaystyle a} enb{\displaystyle b} kunnen wordensamengesteld, dat wil zeggen, de een na de ander toegepast. Het resultaat van eersta{\displaystyle a} uitvoeren en danb{\displaystyle b} wordt symbolisch van rechts naar links geschreven alsb∘a{\displaystyle b\circ a} ("pas de symmetrieb{\displaystyle b} toe, na eerst de symmetriea{\displaystyle a} uitgevoerd te hebben". De van "rechts-naar-links" notatie komt voort uit desamenstelling van functies).Degroepstabel aan de rechterkant geeft de resultaten van alle mogelijke samenstelling van symmetrieën. De 270° rotatie met de klok mee (r3{\displaystyle r_{3}}) en vervolgens horizontaal omkeren (fh{\displaystyle f_{h}}) is hetzelfde als het uitvoeren van een spiegeling over de diagonaal (fd{\displaystyle f_{d}}). Door gebruik te maken van de bovengenoemde symbolen, die in het blauw in de groepstabel zijn weergegeven:

fd=fh∘r3{\displaystyle f_{d}=f_{h}\circ r_{3}}
Groepstabel vanD4{\displaystyle \mathrm {D} _{4}}
•id{\displaystyle \mathrm {id} }r1{\displaystyle r_{1}}r2{\displaystyle r_{2}}r3{\displaystyle r_{3}}fv{\displaystyle f_{v}}fh{\displaystyle f_{h}}fd{\displaystyle f_{d}}fc{\displaystyle f_{c}}
id{\displaystyle \mathrm {id} }id{\displaystyle \mathrm {id} }r1{\displaystyle r_{1}}r2{\displaystyle r_{2}}r3{\displaystyle r_{3}}fv{\displaystyle f_{v}}fh{\displaystyle f_{h}}fd{\displaystyle f_{d}}fc{\displaystyle f_{c}}
r1{\displaystyle r_{1}}r1{\displaystyle r_{1}}r2{\displaystyle r_{2}}r3{\displaystyle r_{3}}id{\displaystyle \mathrm {id} }fc{\displaystyle f_{c}}fd{\displaystyle f_{d}}fv{\displaystyle f_{v}}fh{\displaystyle f_{h}}
r2{\displaystyle r_{2}}r2{\displaystyle r_{2}}r3{\displaystyle r_{3}}id{\displaystyle \mathrm {id} }r1{\displaystyle r_{1}}fh{\displaystyle f_{h}}fv{\displaystyle f_{v}}fc{\displaystyle f_{c}}fd{\displaystyle f_{d}}
r3{\displaystyle r_{3}}r3{\displaystyle r_{3}}id{\displaystyle \mathrm {id} }r1{\displaystyle r_{1}}r2{\displaystyle r_{2}}fd{\displaystyle f_{d}}fc{\displaystyle f_{c}}fh{\displaystyle f_{h}}fv{\displaystyle f_{v}}
fv{\displaystyle f_{v}}fv{\displaystyle f_{v}}fd{\displaystyle f_{d}}fh{\displaystyle f_{h}}fc{\displaystyle f_{c}}id{\displaystyle \mathrm {id} }r2{\displaystyle r_{2}}r1{\displaystyle r_{1}}r3{\displaystyle r_{3}}
fh{\displaystyle f_{h}}fh{\displaystyle f_{h}}fc{\displaystyle f_{c}}fv{\displaystyle f_{v}}fd{\displaystyle f_{d}}r2{\displaystyle r_{2}}idr3{\displaystyle r_{3}}r1{\displaystyle r_{1}}
fd{\displaystyle f_{d}}fd{\displaystyle f_{d}}fh{\displaystyle f_{h}}fc{\displaystyle f_{c}}fv{\displaystyle f_{v}}r3{\displaystyle r_{3}}r1{\displaystyle r_{1}}id{\displaystyle \mathrm {id} }r2{\displaystyle r_{2}}
fc{\displaystyle f_{c}}fc{\displaystyle f_{c}}fv{\displaystyle f_{v}}fd{\displaystyle f_{d}}fh{\displaystyle f_{h}}r1{\displaystyle r_{1}}r3{\displaystyle r_{3}}r2{\displaystyle r_{2}}id{\displaystyle \mathrm {id} }
De elementenid,r1,r2{\displaystyle \mathrm {id} ,r_{1},r_{2}} enr3{\displaystyle r_{3}} vormen een ondergroep, die in het roze (bovenkant links) is aangegeven. Een linker en rechternevenklasse van deze ondergroep is respectievelijk in het groen (in de laatste rij) en in het geel (de laatste kolom) aangegeven.

Gezien deze verzameling van symmetrieën en de beschreven operatie, kunnen de groepsaxioma's als volgt worden opgevat:

  1. Het axioma van geslotenheid vraagt dat de compositieb∘a{\displaystyle b\circ a} van twee symmetrieëna{\displaystyle a} enb{\displaystyle b} ook een symmetrie is. Een ander voorbeeld voor de groepsoperatie is
    r3∘fc=fv{\displaystyle r_{3}\circ f_{c}=f_{v}},
    dat wil zeggen een rotatie van 270° met de klok mee na het vierkant eerst diagonaal geflipt te hebben over de tegendiagonaal (fc{\displaystyle f_{c}}). Inderdaad geeft elke andere combinatie van twee symmetrieën opnieuw een symmetrie. Hier kan men zich zelf van overtuigen door dit voor elke samenstelling te controleren in de groepstabel.
  2. De associativiteitsrestrictie heeft betrekking op het samenstellen van meer dan twee symmetrieën: gegeven drie elementena{\displaystyle a},b{\displaystyle b} enc{\displaystyle c} vanD4{\displaystyle \mathrm {D} _{4}}, zijn er twee mogelijke manieren om "a{\displaystyle a} danb{\displaystyle b} danc{\displaystyle c}" te berekenen. Het vereiste dat
    (a∘b)∘c=a∘(b∘c){\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}
    betekent dat desamenstelling van de drie elementen onafhankelijk is van de prioriteit van de operaties, dat wil zeggen het samenstellen van eerstc{\displaystyle c} uitvoeren en vervolgensa{\displaystyle a} nab{\displaystyle b} op het resultaat vanc{\displaystyle c}, op hetzelfde neerkomt alsa{\displaystyle a} uitvoeren na de compositie vanb{\displaystyle b} enc{\displaystyle c}. Men kan bijvoorbeeld controleren dat(fd∘fv)∘r2=fd∘(fv∘r2){\displaystyle (f_{d}\circ f_{v})\circ r_{2}=f_{d}\circ (f_{v}\circ r_{2})} door gebruik te maken van degroepstabel aan de rechterkant
    (fd∘fv)∘r2=r3∘r2=r1{\displaystyle (f_{d}\circ f_{v})\circ r_{2}=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}}, wat gelijk is aan
    fd∘(fv∘r2)=fd∘fh=r1{\displaystyle f_{d}\circ (f_{v}\circ r_{2})=f_{d}\circ f_{h}=r_{1}}
  3. Het identiteitselement is de symmetrieid{\displaystyle \mathrm {id} }, die alles ongewijzigd laat: voor elke symmetriea{\displaystyle a} isid{\displaystyle \mathrm {id} } uitvoeren naa{\displaystyle a}, ofa{\displaystyle a} naid{\displaystyle \mathrm {id} }, gelijk aan alleena{\displaystyle a} uitvoeren. In symbolische vorm,
    id∘a=a{\displaystyle \mathrm {id} \circ a=a},
    a∘id=a{\displaystyle a\circ \mathrm {id} =a}
  4. De inverse van een element maakt de transformatie van dat element ongedaan. Elke symmetrie kan ongedaan worden gemaakt. De identiteitid{\displaystyle \mathrm {id} }, de flipsfh,fv,fd,fc{\displaystyle f_{h},f_{v},f_{d},f_{c}} en de rotatie over 180°r2{\displaystyle r_{2}} zijn hun eigen inverse, omdat deze operaties twee keer achter elkaar uitvoeren het vierkant teruggeeft met de originele oriëntatie. De rotatiesr3{\displaystyle r_{3}} enr1{\displaystyle r_{1}} zijn elkaars inverse, omdat rotatie over een bepaalde hoek, en vervolgens over dezelfde hoek de andere kant op roteren, het vierkant ongewijzigd laat. In symbolen,
    fh∘fh=id{\displaystyle f_{h}\circ f_{h}=\mathrm {id} }
    fv∘fv=id{\displaystyle f_{v}\circ f_{v}=\mathrm {id} }
    fc∘fc=id{\displaystyle f_{c}\circ f_{c}=\mathrm {id} }
    fd∘fd=id{\displaystyle f_{d}\circ f_{d}=\mathrm {id} }
    r2∘r2=id{\displaystyle r_{2}\circ r_{2}=\mathrm {id} }
    r3∘r1=r1∘r3=id{\displaystyle r_{3}\circ r_{1}=r_{1}\circ r_{3}=\mathrm {id} }

In contrast met de groep van de gehele getallen zoals hierboven besproken, waar de volgorde van de operatie niet relevant is, is dit in D4 wel van belang, bijvoorbeeld:

fh∘r1=fc{\displaystyle f_{h}\circ r_{1}=f_{c}},

maar

r1∘fh=fd{\displaystyle r_{1}\circ f_{h}=f_{d}}

Met andere woorden:D4{\displaystyle \mathrm {D} _{4}} is geenabelse groep. Dit maakt de groepsstructuur moeilijker dan bij de eerder geïntroduceerde groep van gehele getallen.

Notatie

[bewerken |brontekst bewerken]

Voor de groepsbewerking maakt men gewoonlijk gebruik van de multiplicatieve notatie:

Indien de bewerking commutatief is, wordt in veel gevallen gebruikgemaakt van de additieve notatie:

Eenvoudige eigenschappen

[bewerken |brontekst bewerken]

Basisfeiten over alle groepen die direct uit de groepaxioma's kunnen worden verkregen, worden meestal ondergebracht onder de elementaire groepentheorie.[22]

Twee belangrijke gevolgen van de groepsaxioma's zijn dat in een groep precies één identiteitselement voorkomt en dat ieder element precies één invers element heeft. Het is daarom gebruikelijk om te spreken van het identiteitselement en de inverse van een element.[23]

Puntsgewijs opgesomd gelden de volgende eenvoudige eigenschappen:

  • Een groep heeft precies één neutraal element.
  • Elk element heeft precies één inverse.
  • De inverse van een product is gelijk aan het product van de inversen in omgekeerde volgorde, dat wil zeggen:(a∗b)−1=b−1∗a−1{\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}}.
  • Herhaalde bewerking kan genoteerd worden zonder haakjes. Wegens de associativiteit is de uitdrukkinga1∗a2∗…∗an{\displaystyle a_{1}*a_{2}*\ldots *a_{n}} ondubbelzinnig.

Bewijs van de uniciteit van het neutrale element

[bewerken |brontekst bewerken]

Stel date′{\displaystyle e'} ook neutraal element is. Dan is:

e′∗e=e{\displaystyle e'*e=e},

maar omdat e zelf neutraal element is geldt ook:

e′∗e=e′{\displaystyle e'*e=e'},

Gevolg:

e′=e{\displaystyle e'=e}.

Bewijs van de uniciteit van de inverse

[bewerken |brontekst bewerken]

Stela,b∈G{\displaystyle a,b\in G} zijn beide inversen vanx∈G{\displaystyle x\in G}. Dan is:

x∗a=a∗x=e=x∗b=b∗x{\displaystyle x*a=a*x=e=x*b=b*x},

dus

a=a∗e=a∗(x∗b)=(a∗x)∗b=e∗b=b{\displaystyle a=a*e=a*(x*b)=(a*x)*b=e*b=b}.

Blijkbaar heeftx{\displaystyle x} slechts één unieke inverse.

Uit deuniciteit van de inverse volgt:

a∗x=e⇒x=a−1∗e{\displaystyle a*x=e\Rightarrow x=a^{-1}*e}

en

x∗a=e⇒x=e∗a−1{\displaystyle x*a=e\Rightarrow x=e*a^{-1}}.

Implicatie van de associativiteitseigenschap

[bewerken |brontekst bewerken]

Herhaaldelijk toepassen van het axioma, dat de bewerking in de groep associatief is, laat zien dat de eenduidigheid van

a∗b∗c=(a∗b)∗c=a∗(b∗c){\displaystyle a*b*c=(a*b)*c=a*(b*c)}

in het algemeen ook geldt wanneer er meer dan drie elementen staan. Omdat dit impliceert dathaakjes overal binnen een dergelijke reeks van termen kunnen worden ingevoegd, worden haakjes meestal weggelaten[24].

Deling

[bewerken |brontekst bewerken]

In een groep is het mogelijk eendeling uit te voeren. Bij gegeven elementena{\displaystyle a} enb{\displaystyle b} van de groepG{\displaystyle G} bestaat er precies één oplossingx∈G{\displaystyle x\in G} van devergelijkingx∗a=b{\displaystyle x*a=b}[23]. Door rechtsvermenigvuldiging meta−1{\displaystyle a^{-1}} volgt de oplossingx=x∗a∗a−1=b∗a−1{\displaystyle x=x*a*a^{-1}=b*a^{-1}}. Op gelijke wijze is er precies één oplossingy∈G{\displaystyle y\in G} van de vergelijkinga∗y=b{\displaystyle a*y=b}, namelijky=a−1∗b{\displaystyle y=a^{-1}*b}. In het algemeen komenx=b∗a−1{\displaystyle x=b*a^{-1}} eny=a−1∗b{\displaystyle y=a^{-1}*b} niet met elkaar overeen.

Afzwakking van de groepsaxioma's

[bewerken |brontekst bewerken]

De axioma's kunnen worden afgezwakt door alleen het bestaan van een linkseenheide{\displaystyle e} te eisen en voor ieder elementa{\displaystyle a} slechts het bestaan van een linksinverse. In dat geval kan namelijk alsnog worden aangetoond[25] dat de inverse in feite tweezijdig is. Als namelijkb{\displaystyle b} een linksinverse vana{\displaystyle a} is, dusb∗a=e{\displaystyle b*a=e}, geldt

a∗b=e∗(a∗b)=(b−1∗b)∗(a∗b)={\displaystyle a*b=e*(a*b)=(b^{-1}*b)*(a*b)=}
=b−1∗(b∗a)∗b=b−1∗e∗b=b−1∗b=e{\displaystyle =b^{-1}*(b*a)*b=b^{-1}*e*b=b^{-1}*b=e},

waaruit blijkt datb{\displaystyle b} ook de rechtsinverse vana{\displaystyle a} is.

Verder geldt voor de linkseenheide{\displaystyle e} dat voor allea{\displaystyle a} geldt:e∗a=a{\displaystyle e*a=a}. Vanzelf is dane{\displaystyle e} ook rechtseenheid, want voor allea{\displaystyle a} is:

a∗e=a∗(a−1∗a)=(a∗a−1)∗a=e∗a=a{\displaystyle a*e=a*(a^{-1}*a)=(a*a^{-1})*a=e*a=a},

want eerder bleek data−1{\displaystyle a^{-1}} ook rechtsinverse is, dus:

a∗a−1=e{\displaystyle a*a^{-1}=e}

Basisconcepten

[bewerken |brontekst bewerken]

Om groepen op een niveau te begrijpen dat verdergaat dan louter symbolische manipulatie, moeten meer structurele concepten worden ingezet. Er is een conceptueel uitgangspunt dat ten grondslag ligt aan al de volgende begrippen: om te profiteren van de structuur die door groepen wordt geboden, een structuur die niet aanwezig is in "structuurloze"verzamelingen, moeten aan groepen gerelateerde constructies verenigbaar zijn met de groepsbewerking. Deze compatibiliteit manifesteert zichzelf op verschillende manieren in de volgende begrippen. Men kan bijvoorbeeld groepen aan elkaar relateren met behulp vanfuncties die groepshomomorfismen worden genoemd. Door het genoemde principe zijn ze verplicht om de groepsstructuren in een precieze betekenis te respecteren. De structuur van de groepen kan ook worden begrepen door groepen in stukken op te breken. Deze stukken noemt men deelgroepen en quotiëntgroepen. Het principe van het "behoud van structuur" - een terugkerend onderwerp door de hele wiskunde - is een instantie van werken met eencategorie, in dit geval decategorie van groepen.

Isomorfie

[bewerken |brontekst bewerken]

Twee groepen worden isomorf genoemd als er eengroepsisomorfisme tussen hen bestaat. Isomorfe groepen hebben in feite dezelfde structuur.

Ondergroepen

[bewerken |brontekst bewerken]
ZieOndergroep (wiskunde) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

EendeelverzamelingH{\displaystyle H} van een groep(G,∗){\displaystyle (G,*)} die met dezelfde groepsbewerking een groep(H,∗){\displaystyle (H,*)} vormt, heet een ondergroep van(G,∗){\displaystyle (G,*)}.[26]

Nevenklassen

[bewerken |brontekst bewerken]
ZieNevenklasse voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een ondergroepH{\displaystyle H} van een groep(G,∗){\displaystyle (G,*)} induceert eenequivalentierelatie opG{\displaystyle G}, door:

a∼b{\displaystyle a\sim b} als er eenh∈H{\displaystyle h\in H} is zodatb=a∗h{\displaystyle b=a*h}.

Deequivalentieklassen worden de linkernevenklassen vana{\displaystyle a} genoemd. Het zijn de deelverzamelingena∗H={a∗h|h∈H}{\displaystyle a*H=\{a*h|h\in H\}}.[27].

Op soortgelijke wijze zijn ook rechternevenklassen gedefinieerd.

Door de nevenklassen te beschouwen wordt afgezien van de werking van de elementen in de betrokken ondergroep.

Factorgroepen

[bewerken |brontekst bewerken]
Ziefactorgroep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Als een ondergroep eennormaaldeler is, kan het negeren van de interne structuur van die ondergroep door haar nevenklassen in beschouwing te nemen, gestructureerd worden als groep, de zogeheten factorgroep of quotiëntgroep, genoteerd alsG/N{\displaystyle G/N}.[28]

Een normaaldeler of normale ondergroep,N{\displaystyle N} van een groep(G,∗){\displaystyle (G,*)} is een ondergroep met de eigenschap dat voor alleg∈G{\displaystyle g\in G} enh∈N{\displaystyle h\in N} geldt:g−1∗h∗g∈N{\displaystyle g^{-1}*h*g\in N}.

Voorbeeld
•RU
RRU
UUR
Groepstabel van de factorgroepD4/R{\displaystyle D_{4}/R}.

De ondergroepR{\displaystyle R} vanD4{\displaystyle D_{4}} die bestaat uit de rotatiese,r1,r2r3{\displaystyle e,r_{1},r_{2}r_{3}} is een normaaldeler.De factorgroepD4/R{\displaystyle D_{4}/R} bestaat uit twee elementen, en welR{\displaystyle R} zelf, die het identiteitselement voorstelt enU=fvR{\displaystyle U=f_{v}R}. De groepsbewerking op het quotiënt is weergegeven in de nevenstaande tabel. Zo is bijvoorbeeld:

UU=fvRfvR=(fvfv)R=R{\displaystyle UU=f_{v}Rf_{v}R=(f_{v}f_{v})R=R}

Zowel de ondergroepR{\displaystyle R} als de bijbehorende quotiëntgroep zijn abels, hoewelD4{\displaystyle D_{4}} zelf niet abels is.

Voorbeelden

[bewerken |brontekst bewerken]
De fundamentaalgroep van eenvlak minus eenpunt (vet) bestaat uit lussen rondom dit ontbrekende punt. Deze groep isisomorf met de gehele getallen.

Voorbeelden en toepassingen van groepen zijn er in overvloed. Een startpunt is de hierboven geïntroduceerde groepZ van degehele getallen metoptelling als groepsbewerking. Als men in plaats van optellingvermenigvuldigen als groepsbewerking neemt, verkrijgt men multiplicatieve groepen. Deze multiplicatieve groepen zijn voorlopers van belangrijke constructies in deabstracte algebra.

Ook in vele andere wiskundige deelgebieden maakt men gebruik van groepen. Wiskundige objecten worden vaak onderzocht door groepen met deze objecten teassociëren en vervolgens de eigenschappen van de corresponderende groepen te bestuderen.Henri Poincaré kwam bijvoorbeeld op het spoor van wat nu dealgebraïsche topologie wordt genoemd, door de invoering van defundamentaalgroep[29]. Door het leggen van deze verbinding konden topologische eigenschappen, zoalsnabijheid encontinuïteit vertaald worden in eigenschappen van groepen. Elementen van de fundamentaalgroep worden bijvoorbeeld weergegeven door lussen. Het onderste plaatje aan de rechterkant laat enkele lussen in een vlak minus een punt zien. De blauwe lus wordt alsnul-homotoop (en dus niet relevant) gezien, dit omdat deze lus continu tot een puntkan slinken. De aanwezigheid van het gat voorkomt echter dat de oranje lus ook tot een punt kan worden geslonken. De fundamentaalgroep van het vlak, waaruit een punt is verwijderd, blijkt, gegenereerd door de oranje lus (of enige andere lus die zich eenmaal rondom het gatwindt), oneindig cyclisch te zijn. Op deze manier detecteert de fundamentaalgroep het gat.

In recentere toepassingen werkt deze invloed ook omgekeerd. Men bestudeert nu meetkundige constructies die worden onderbouwd door een groeptheoretische achtergrond. In dezelfde geest maakt demeetkundige groepentheorie gebruik van meetkundige concepten, bijvoorbeeld in de studie vanhyperbolische groepen.[30] Andere deelgebieden, waar groepen een cruciale rol spelen zijn dealgebraïsche meetkunde en degetaltheorie.[31].

Naast de bovengenoemde theoretische toepassingen, bestaan er vele praktische toepassingen van groepen.Cryptografie bijvoorbeeld berust op een benadering gebaseerd op de abstracte groepentheorie, samen metalgoritmische kennis, verkregen uit decomputationele groepentheorie, in het bijzonder wanneer deze wordt geïmplementeerd vooreindige groepen[32]. Toepassingen van de groepentheorie beperken zich niet tot de wiskunde, ook de natuurwetenschappen, zoals denatuurkunde, descheikunde en deinformatica profiteren van het concept.

Getallen

[bewerken |brontekst bewerken]

Veel getalsystemen, zoals die van de gehele - en de rationale getallen beschikken over een natuurlijk gegeven groepsstructuur. In sommige gevallen, zoals bij de rationale getallen, leiden zowel de operaties optellen en vermenigvuldigen tot een groepsstructuur. Dergelijke getalsystemen zijn voorlopers van meer algemene algebraïsche structuren die bekendstaan alsringen envelden. Verdereabstract algebraïsche concepten, zoalsmodulen,vectorruimten enalgebra's vormen ook groepen.

Gehele getallen

[bewerken |brontekst bewerken]

De groep van gehele getallenZ{\displaystyle \mathbb {Z} } onder de optelling, aangeduid met(Z,+){\displaystyle (\mathbb {Z} ,\,+\,)}, is hierboven beschreven. De gehele getallen, met in plaats daarvan de operatie vanvermenigvuldiging in plaats van optellen,(Z,⋅){\displaystyle (\mathbb {Z} ,\,\cdot \,)}, vormt geen groep. Aan de groepsaxioma's van geslotenheid, associativiteit en identiteit wordt voldaan, maar er bestaat geen inverse. De enige oplossing van bijvoorbeeld de vergelijking2⋅b=1{\displaystyle 2\cdot b=1} isb=1/2{\displaystyle b=1/2}, en dat is geen geheel getal. Dus heeft niet elk element vanZ{\displaystyle \mathbb {Z} } een (multiplicatieve) inverse.

Rationale getallen

[bewerken |brontekst bewerken]

Breukena/b{\displaystyle a/b} van gehele getallen, metb≠0{\displaystyle b\neq 0}, staan bekend alsrationale getallenQ{\displaystyle \mathbb {Q} }. Onder de optelling is(Q,+){\displaystyle (\mathbb {Q} ,\,+\,)} een groep. Omdat het getal 0 geen multiplicatieve inverse heeft vormen de rationale getallen geen groep onder de vermenigvuldiging. Laat men de 0 weg, dan is er geen probleem:(Q∖{0},⋅ ){\displaystyle (\mathbb {Q} \setminus \{0\},\,\cdot \ )} is een abelse groep.

De verwevenheid van de groepsbewerkingen optellen en vermenigvuldigen levert ingewikkelderewiskundige structuren op dieringen worden genoemd en waarbijdeling mogelijk is.

Modulair rekenen

[bewerken |brontekst bewerken]

Voor elkpriemgetalp{\displaystyle p}, levertmodulair rekenen de multiplicatieve groep van gehele getallen modulop{\displaystyle p}.[33] Haar elementen zijn gehele getallen die niet deelbaar zijn doorp{\displaystyle p},modulop, dat wil zeggen dat twee getallen als gelijkwaardig worden beschouwd, indien hunverschil deelbaar is doorp{\displaystyle p}. Deze groepen zijn van cruciaal belang voor depublieke sleutelcryptografie.

Cyclische groepen

[bewerken |brontekst bewerken]
ZieCyclische groep en Abelse groep voor de hoofdartikelen over dit onderwerp.
De 6e complexeeenheidswortels vormen een cyclische groep.z is een primitief element, maarz2 is dit niet, omdat de oneven machten vanz geen macht vanz2 zijn.

Een cyclische groep is een groep die wordt voortgebracht door één enkel element. Als de groepsbewerking als vermenigvuldiging wordt beschouwd, zijn alle elementenmachten, zowel positieve als negatieve, van het voorbrengende element.[34]. Isa{\displaystyle a} een voortbrengend element dan bestaat de groep uit{…,a−3,a−2,a−1,e,a,a2,a3,…}{\displaystyle \{\ldots ,a^{-3},a^{-2},a^{-1},e,a,a^{2},a^{3},\ldots \}}. Een cyclische groep van eindige ordea{\displaystyle a} bestaat uit{e,a,a2,a3,…,an−1}{\displaystyle \{e,a,a^{2},a^{3},\ldots ,a^{n-1}\}}. Dit verklaart ook de term 'cyclisch'. Sommige cyclische groepen hebben, ondanks de naam "cyclische groep", een oneindig aantal elementen. In deze groepen zijn voor elk elementa{\displaystyle a} ongelijk aan het neutrale element, alle machten vana{\displaystyle a} van elkaar verschillend. Een oneindige cyclische groep is isomorf met(Z,+){\displaystyle (\mathbb {Z} ,\,+\,)}, de groep van de gehele getallen onder optelling[35]. Aangezien deze groepabels is, is elke oneindige cyclische groep dit ook.

Symmetriegroepen

[bewerken |brontekst bewerken]
ZieSymmetriegroep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.
De (2,3,7) driehoeksgroep, een hyperbolische groep, werkt in op deze betegeling van het hyperbolische vlak.

Symmetriegroepen zijn groepen die bestaan uitsymmetrieën van gegevenwiskundige objecten - al of niet van meetkundige aard, zoals de symmetriegroep van hetvierkant of van algebraïsche aard, zoalsveeltermvergelijkingen en hun oplossingen[36]. In conceptuele zin kan groepentheorie worden opgevat als de studie van symmetrie. In de wiskunde vereenvoudigden symmetrieën de studie vanmeetkundige ofanalytische objecten aanzienlijk. Van een groep zegt men dat deze op een ander wiskundig objectXinwerkt, als er voor elk groepselement in overeenstemming met de groepswetten een bijbehorende bijectie vanX is. In de illustratie links werkt een element van orde 7 van de (2,3,7)driehoeksgroep in op de betegeling door de gemarkeerde verwrongen driehoeken (en de anderen ook) te verwisselen. Door een groepsbewerking raakt het groepspatroon verbonden met de structuur van het object, waarop de groep inwerkt.

Inscheikundige deelgebieden, zoals dekristallografie, beschrijvenruimte- enpuntgroepenmoleculaire- en kristalsymmetrieën. Deze symmetrieën liggen ten grondslag aan het scheikundige en natuurkundige gedrag van deze systemen. De groepentheorie vereenvoudigt dekwantummechanische analyse van deze eigenschappen[37]. Groepentheorie wordt bijvoorbeeld gebruikt om aan te tonen dat optische overgangen tussen bepaalde kwantumniveaus niet kunnen optreden, simpelweg omdat de symmetrie van de betrokken toestanden dit niet toestaat.

Niet alleen zijn groepen nuttig om de implicaties van symmetrieën in moleculen te beoordelen, maar verrassend genoeg voorspellen zij ook dat moleculen soms hun symmetrie kunnen veranderen. HetJahn-Teller-effect is een vervorming van een molecuul van hoge symmetrie, wanneer deze molecule een bepaalde grondtoestand van lagere symmetrie aanneemt uit een verzameling van mogelijke grondtoestanden, die aan elkaar zijn gerelateerd door de symmetrie-operaties van dit molecuul.[38][39]

Op gelijkaardige wijze helpt de groepentheorie veranderingen in de natuurkundige eigenschappen te voorspellen, die plaatsvinden wanneer een materiaal eenfaseovergang ondergaat, bijvoorbeeld van een kubische naar een tetrahedrale kristallijne vorm. Een voorbeeld hiervan zijn ferro-elektrische materialen, waar de verandering van een para-elektrische naar een ferro-elektrische toestand optreedt bij deCurie-temperatuur. Deze verandering is gerelateerd aan een verandering van de hoger-symmetrische para-elektrische toestand naar de lager-symmetrische ferro-elektrische toestand. Dit gaat vergezeld door een zogenoemde zachtefonon modus, een vibrationeel roostermodus, die bij de faseovergang naar een nulfrequentie gaat[40].

Zulkespontane symmetriebreking heeft verdere toepassing gevonden in de elementaire deeltjesfysica, waar haar voorkomen is gerelateerd aan de verschijning van Goldstone-bosonen.

Eindige symmetriegroepen, zoals deMathieu-groepen worden gebruikt in decodeertheorie, die op zijn beurt wordt toegepast in foutcorrectie algoritmen voor verzonden data en incd-spelers[41]. Een andere toepassing is de differentiaal Galois-theorie, die functies karakteriseert, die antiafgeleiden van een voorgeschreven vorm hebben, en die daardoor groep-theoretische criteria geeft wanneer oplossingen van bepaaldedifferentiaalvergelijkingen zich al of niet goed-gedragen. Meetkundige eigenschappen, die stabiel blijven onder groepsbewerkingen, worden onderzocht in de meetkundigeinvariantentheorie[42]

Symmetrie

[bewerken |brontekst bewerken]

Iedere groep heeft een bepaalde symmetrie. Dat betekent dat bij twee geconjugeerde elementena{\displaystyle a} enb{\displaystyle b} van de groepG{\displaystyle G} een permutatieπ{\displaystyle \pi } vanG{\displaystyle G} bestaat diea{\displaystyle a} opb{\displaystyle b} afbeeldt, zodanig datG{\displaystyle G} enπ(G){\displaystyle \pi (G)} isomorf zijn. Op die manier isG{\displaystyle G} symmetrisch.

Euclidische groepen

[bewerken |brontekst bewerken]
ZieEuclidische groep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De euclidische groepE(n){\displaystyle E(n)} is de symmetriegroep van den{\displaystyle n}-dimensionaleeuclidische ruimte. De elementen van de euclidische groep zijn deisometrieën van de euclidische ruimte. Ze zijn van de vormf(x)=Ax+b{\displaystyle f(x)=Ax+b} metA{\displaystyle A} eenorthogonale matrix, dat wil zeggenA−1=AT{\displaystyle A^{-1}=A^{T}}.

Algemene lineaire groepen en representatietheorie

[bewerken |brontekst bewerken]
ZieAlgemene lineaire groep en Representatietheorie voor de hoofdartikelen over dit onderwerp.
Tweevectoren (de linker afbeelding) vermenigvuldigd met matrices (de middelste en de rechtse illustraties). De middelste afbeelding geeft een rotatie van 90° met de klok mee aan, terwijl de meest rechtse dex{\displaystyle x}-coördinaat met een factor 2 uitrekt.

Matrixgroepen bestaan uitmatrices samen met de operatiematrixvermenigvuldiging. De algemene lineaire groepGL(n,R){\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )} bestaat uit alle reëleinverteerbaren×n{\displaystyle n\times n}-matrices.[43] Ondergroepen van een algemene lineaire groep noemt men matrixgroepen of lineaire groepen. Het hierboven genoemde voorbeeld van een tweevlakshoekgroep kan gezien worden als een (zeer kleine) matrixgroep. Een andere belangrijke matrixgroep is despeciale orthogonale groepSO(n){\displaystyle SO(n)}. Deze groep beschrijft alle mogelijke rotaties inn{\displaystyle n} dimensies. ViaEuler-hoeken wordenrotatiematrices gebruikt in decomputergraphics.[44]

Representatietheorie is zowel een toepassing van het begrip groep alsook belangrijk voor een dieper begrip van groepen.[45][46] De theorie bestudeert een groep door haargroepsbewerkingen op andereruimten te bestuderen. Een brede klasse vangroepsrepresentaties zijn lineaire representaties, dat wil zeggen dat de groep inwerkt op eenvectorruimte, zoals de driedimensionaleEuclidische ruimteR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. Een representatie vanG{\displaystyle G} op eenn{\displaystyle n}-dimensionale reële vectorruimte is een groepshomomorfisme

ρ:G→GL(n,R){\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}.

van de groep naar de algemene lineaire groep. Op deze manier vertaalt de groepsbewerking, die ook abstract kan zijn gegeven, naar de vermenigvuldiging van matrices, waardoor deze toegankelijk wordt voor expliciete berekeningen.

Gegeven een groepsbewerking, geeft dit extra middelen om dewiskundige objecten, waarop de groep inwerkt, te bestuderen. Aan de andere kant levert het ook informatie over de groep op. Groepsrepresentatie is een ordenend principe in de theorie van de eindige groepen, de Lie-groepen, dealgebraïsche groepen en detopologische groepen, vooral (lokaal)compacte groepen[45][47].

Galoisgroepen

[bewerken |brontekst bewerken]
ZieGaloisgroep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Galoisgroepen zijn ontwikkeld omveeltermvergelijkingen te helpen oplossen door hunsymmetrie-eigenschappen in beschouwing te nemen.[48][49] De oplossingen van bijvoorbeeld devierkantsvergelijkingax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} worden gegeven door

x=−b±b2−4ac2a{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}.

Het verwisselen van "+" en "-" in dezeuitdrukking, waardoor de twee oplossingen van de vergelijking worden verwisseld, kan als een (eenvoudige) groepsoperatie worden gezien.

Voorderdegraads- envierdegraadsvergelijkingen zijn vergelijkbare formules bekend, maar deze bestaan in het algemeen niet voorvijfdegraadsvergelijkingen en hoger.[50] Abstracte eigenschappen vanGaloisgroepen geassocieerd metveeltermen (met name hunoplosbaarheid) geven een criterium voor veeltermen, waarvan alle oplossingen uit te drukken zijn door radicalen, dat wil zeggen oplossingen die zijn uit te drukken in een vorm, waarbij uitsluitend gebruik wordt gemaakt van optelling, vermenigvuldigen, enwortels, vergelijkbaar met de formule hierboven.[51]

Dit probleem kan worden aangepakt door een verschuiving naar veldtheorie, waarbij men het splitsingsveld van een polynoom in beschouwing neemt. ModerneGaloistheorie veralgemeent het bovenstaande type Galoisgroepen vanvelduitbreidingen en legt, door middel van de hoofdstelling van de Galoistheorie, een precieze relatie tussen de velden en groepen vast, daarmee nogmaals de alomtegenwoordigheid van groepen in de wiskunde onderstrepend.

Eindige groepen

[bewerken |brontekst bewerken]
ZieEindige groep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een groep met eeneindig aantal elementen wordt eindig genoemd. Het aantal elementen heet deorde van de groep[52]. Een belangrijke klasse vormen desymmetrische groepenSn{\displaystyle S_{n}}, de groepen vanpermutaties vann{\displaystyle n} verschillende letters, en alleondergroepen daarvan. De symmetrische groep op drie lettersS3{\displaystyle S_{3}} bijvoorbeeld bestaat uit alle mogelijke verwisselingen van de drie lettersABC, dat wil zeggen bevat de elementenABC,ACB, ..., totCBA, in totaal 6 (3faculteit) elementen. Deze klasse is van fundamenteel belang, aangezien volgens destelling van Cayley iedere eindige groep kan worden uitgedrukt als een ondergroep van een symmetrische groepSN{\displaystyle S_{N}}.

De orde van een elementa{\displaystyle a} in een groepG{\displaystyle G} is het kleinste positieve gehele getaln{\displaystyle n} waarvooran=a∗a∗…a=e{\displaystyle a^{n}=a*a*\ldots a=e}.[53] De orde van een element is gelijk aan de orde van de cyclische ondergroep die door dit element wordt gegenereerd.

Dedihedrale groep Dih4 is een eindige groep van orde 8. De orde vanr1{\displaystyle r_{1}} is 4, evenals de orde van de ondergroepR{\displaystyle R} die de groep genereert. De orde van de reflectie elementenf{\displaystyle f} is 2. Beide orden zijn delers van 8, zoals voorspeld door de stelling van Lagrange.

Het aantal van de symmetrische groep zelf, maar ook van alle ondergroepen ervan, gezien als permutatiegroepen vann{\displaystyle n} letters, groeit voorn{\displaystyle n} snel. Er is eenlijst van kleine groepen, dus van de eerste eindige groepen.

Classificatie van eindige enkelvoudige groepen

[bewerken |brontekst bewerken]
ZieClassificatie van eindige enkelvoudige groepen voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Het streven naar een volledige indeling (of lijst) van alle eindige groepen leidt al snel tot moeilijke en diepe wiskunde. Een dergelijke indeling is volgens declassificatiestelling mogelijk. Als gevolg van de stelling van Lagrange zijn eindige groepen van orde een priemgetalp{\displaystyle p}, noodzakelijkerwijscyclische, dusabelse groepen, isomorf metZp{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}. Van groepen van ordep2{\displaystyle p^{2}} kan men aantonen dat zij abels zijn, een stelling die niet meer geldt voor groepen van ordep3{\displaystyle p^{3}}, zoals de niet-abelse groepD4{\displaystyle D_{4}} van orde 8 = 23 hierboven aantoont.[54][55]

Computeralgebrasystemen kunnen worden gebruikt voor delijst van kleine groepen, maar er is geen classificatie voor alle eindige groepen. Een tussentijdse stap is de classificatie van alle eindige enkelvoudige groepen. Een niet-triviale groep wordtenkelvoudig genoemd als zijn enigenormaaldelers detriviale groep en de groep zelf zijn. De stelling van Jordan-Hölder gebruikt eindige enkelvoudige groepen als de bouwstenen voor alle eindige groepen.[56]

Declassificatie van alle eindige enkelvoudige groepen was een belangrijke prestatie in de hedendaagse groepentheorie. De winnaar van deFieldsmedaille in 1998,Richard Borcherds slaagde erin om een verrassend en diep verband te bewijzen tussen demonstergroep, de grootste eindige enkelvoudigesporadische groep, tussen zekeremodulaire functies, die een onderdeel vormen van decomplexe functietheorie, en desnaartheorie. Deze laatste theorie wordt geacht de beschrijving van een groot aantal natuurkundige verschijnselen in zich te verenigen.[57] Voordat het verband door Borcherds werd bewezen, werd het het vermoeden van de monsterlijke maneschijn genoemd.

Hogere groepentheorie

[bewerken |brontekst bewerken]

Het enumeratieprobleem voor eindige groepen is herleidbaar tot het enumeratieprobleem van eindigeenkelvoudige groepen.

Een eindige enkelvoudige groep behoort tot een van de volgende 5 families van groepen:

Alleen het aantal sporadische groepen is eindig.

Groepen met additionele structuur

[bewerken |brontekst bewerken]

Veel groepen zijn tegelijkertijd groepen en voorbeelden van anderewiskundige structuren. In de taal van decategorietheorie zijn ze groepsobjecten in eencategorie, wat betekent dat ze objecten zijn (dat wil zeggen, voorbeelden van een andere wiskundige structuur) die verschijnen met transformaties (morfismen genoemd), die de groepsaxioma's nabootsen. Elke groep, zoals hierboven gedefinieerd, is bijvoorbeeld ook een verzameling, een groep is dus een groepsobject in decategorie van verzamelingen,Set.

Topologische groepen

[bewerken |brontekst bewerken]
ZieTopologische groep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Sommigetopologische ruimten kunnen zijn uitgerust met een groepswet. Om de groepswet en de topologie goed met elkaar te verweven, moeten de groepsbewerkingencontinue functies zijn, dat wil zeggen datg∘h{\displaystyle g\circ h} eng−1{\displaystyle g^{-1}} niet wild mogen variëren alsg{\displaystyle g} enh{\displaystyle h} slechts een klein beetje verschillen. Dergelijke groepen worden topologische groepen genoemd. Zij zijn de groepsobjecten in decategorie van topologische ruimten[58] De elementairste voorbeelden zijn dereële getallenR{\displaystyle \mathbb {R} } onder optelling,(R∖{0},⋅){\displaystyle (\mathbb {R} \setminus \{0\},\,\cdot \,)}, en op soortgelijke wijze enig ander topologisch veld, zoals decomplexe- of dep{\displaystyle p}-adische getallen. Al deze groepen zijnlokaal compact en hebben dusHaar-maten en kunnen bestudeerd worden met behulp van deharmonische analyse.

De eerdere biedt een abstract formalisme van invarianteintegralen. In het geval van reële getallen betekent invariantie bijvoorbeeld:

∫f(x)dx=∫f(x+c)dx{\displaystyle \int f(x)\,\mathrm {d} x=\int f(x+c)\,\mathrm {d} x}

voor elke constantec{\displaystyle c}. Matrixgroepen over deze velden vallen onder dit regime, net zoalsadele-ringen enadelische algebraïsche groepen, beide begrippen die fundamenteel zijn in de getaltheorie[59]. Galoisgroepen van oneindigevelduitbreidingen, zoals de absolute Galoisgroep, kunnen ook worden uitgerust met een topologie, de zogenaamdeKrull-topologie. Deze is op zijn beurt centraal in de veralgemening van de hierboven geschetste aansluiting van velden en groepen tot oneindige velduitbreidingen[60]. Een geavanceerde veralgemening van dit idee, aangepast aan de behoeften van dealgebraïsche meetkunde, is de étale fundamentaalgroep.[61]

Lie-groepen

[bewerken |brontekst bewerken]
ZieLie-groep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Lie-groepen, zo genoemd ter ere van de Noorse wiskundigeSophus Lie, zijn groepen die ook eenvariëteitsstructuur hebben, dat wil zeggen dat hetruimten zijn, die erlokaal uitzien als eenEuclidische ruimte van de geëigendedimensie[62] Ook hier moet de additionele structuur, hier de variëteitsstructuur, verenigbaar zijn, dat wil zeggen dat de afbeeldingen die corresponderen met vermenigvuldiging en de inverseglad moeten zijn.

Een standaard voorbeeld is de hierboven geïntroduceerdealgemene lineaire groep: het is eenopen deelverzameling van de ruimte van allen×n{\displaystyle n\times n}-matrices, omdat hij wordt gegeven door de ongelijkheid

det(A)≠0{\displaystyle \det(A)\neq 0},

waarinA{\displaystyle A} eenn×n{\displaystyle n\times n}-matrix is[63].

Lie-groepen zijn van fundamenteel belang in de natuurkunde: destelling van Noether verbindt continue symmetrieën met debehoudswetten[64]. Zowelrotatie alstranslatie inruimte entijd zijn fundamentele symmetrieën van de wetten van demechanica. Zij kunnen bijvoorbeeld worden gebruikt om eenvoudige modellen te construeren - waarbij bijvoorbeeld axiale symmetrie aan een situatie wordt opgelegd, wat doorgaans zal leiden tot een aanzienlijke vereenvoudiging van de vergelijkingen, die men moet oplossen om een natuurkundige beschrijving te geven. Een ander voorbeeld zijn deLorentz-transformaties, die metingen van tijd en snelheid van twee ten opzichte van elkaar in beweging zijnde waarnemers aan elkaar relateert. Ze kunnen worden gededuceerd op een zuiver groepstheoretische manier, door de transformaties uit te drukken als een draaisymmetrie van deMinkowski-ruimte. Deze Minkowski-ruimte fungeert - in geval van significantezwaartekracht - als een model van deruimtetijd in despeciale relativiteitstheorie.[65] De volledige symmetriegroep van de Minkowski-ruimte, dat wil zeggen inclusief translaties, staat bekend als dePoincaré-groep. Door het bovenstaande speelt deze een centrale rol in despeciale relativiteitstheorie en, bij implicatie, voor dekwantumveldentheorieën[66]. Symmetrieën die per locatie variëren staan centraal in de moderne beschrijving van de fysieke interacties met behulp vanijktheorieën[67].

Generalisaties

[bewerken |brontekst bewerken]

In deabstracte algebra kunnen meer algemenewiskundige structuren worden gedefinieerd door een aantal van de groepsaxioma's, die een groep definiëren, af te zwakken[68][69][70]. Als men bijvoorbeeld de eis, dat elk element een inverse moet hebben, laat vallen, wordt de dan resulterende algebraïsche structuur eenmonoïde genoemd. Denatuurlijke getallenN{\displaystyle \mathbb {N} } (inclusief 0) vormen voor de groepsbewerking optelling een monoïde, net als de gehele getallen ongelijk aan 0 doen onder de groepsbewerking vermenigvuldiging(Z∖{0},⋅){\displaystyle (\mathbb {Z} \setminus \{0\},\,\cdot \,)}, zie hierboven. Er is een algemene methode om op formele wijze inversen van elementen op te tellen bij elke (abelse) monoïde, bijna op dezelfde manier als(Q∖{0},⋅){\displaystyle (\mathbb {Q} \setminus \{0\},\,\cdot \,)} wordt afgeleid van(Z∖{0},⋅){\displaystyle (\mathbb {Z} \setminus \{0\},\,\cdot \,)}. Het resultaat van deze formele methode staat bekend als deGrothendieck-groep.

Groepoïden zijn vergelijkbaar met groepen, behalve dat de groepsbewerkinga∗b{\displaystyle a*b} niet hoeft te worden gedefinieerd voor allea{\displaystyle a} enb{\displaystyle b}. Zij ontstaan in de studie van meer ingewikkelde vormen van symmetrie, vaak intopologische enanalytische structuren, zoals de fundamentele groupoïde. Ten slotte is het mogelijk om elk van deze concepten te generaliseren door de binaire operatie te vervangen door een operatie met een willekeurigeariteitn{\displaystyle n}, dat wil zeggen een operatie waarbijn{\displaystyle n} argumenten in het spel zijn. Met de juiste generalisatie van de groepsaxioma's geeft dit aanleiding tot een groep met ariteitn{\displaystyle n}.[71]

Voetnoten

[bewerken |brontekst bewerken]
  1. ↑Herstein, 1975, § 2, blz. 26
  2. ↑Hall, 1967, §1.1, blz. 1" "Het idee van een groep is er een dat de gehele zuivere en toegepaste wiskunde doordringt."
  3. ↑Wussing, 2007
  4. ↑Kleiner, 1986
  5. ↑Smith, 1906
  6. ↑Galois, 1908
  7. ↑Kleiner, 1986, p. 202
  8. ↑Cayley, 1889
  9. ↑Wussing, 2007, § III.2
  10. ↑Lie, 1973
  11. ↑Kleiner, 1986, pag. 204
  12. ↑Wussing, 2007, § I.3.4
  13. ↑Jordan, 1870
  14. ↑von Dyck, 1882
  15. ↑Curtis, 2003
  16. ↑Mackey, 1976
  17. ↑Borel, 2001
  18. ↑Aschbacher, 2004
  19. ↑Herstein, 1975, §2.1, pag. 27
  20. ↑Lang, 2005, App. 2, p. 360
  21. ↑Herstein, 1975, §2.6, pag. 54
  22. ↑Ledermann, 1953, §1.2, pag. 4-5
  23. ↑abLang, 2005, §II.1, blz. 17
  24. ↑Ledermann, 1973, §I.1, blz. 3
  25. ↑Lang, 2002, §I.2 blz. 7
  26. ↑Lang, 2005, §II.1, blz. 19
  27. ↑Lang, 2005, § II.4, blz. 41
  28. ↑Lang, 2005, §II.4, blz. 45
  29. ↑Hatcher, 2002, hoofdstuk I, blz. 30
  30. ↑Coornaert, Delzant, Papadopoulos, 1990
  31. ↑bijvoorbeeld klassegroepen en picard-groepen; zie Neukirch, 1999, in het bijzonder §§I.12 en I.13
  32. ↑Seress, 1997
  33. ↑Lang, 2005, hoofdstuk VII
  34. ↑Lang, 2005, §II.1, p. 22
  35. ↑Lang, 2005, §II.1, p. 22 (voorbeeld 11)
  36. ↑Weyl, 1952
  37. ↑Conway, Delgado Friedrichs, Huson, Thurston, 2001. Zie ook Bishop, 1993
  38. ↑The Jahn-Teller Effect, Isaac Bersuker, pag 2, 0521822122, Cambridge University Press, 2006
  39. ↑Jahn, Teller, 1937
  40. ↑Structure and Dynamics: an atomic view of materials, Martin T Dove, pag 265, 0198506783, Oxford University Press, 2003
  41. ↑Welsh, 1989
  42. ↑Mumford, Fogarty, Kirwan, 1994
  43. ↑Lay, 2003
  44. ↑Kuipers, 1999
  45. ↑abFulton, Harris, 1991
  46. ↑Serre, 1977
  47. ↑Rudin, 1990
  48. ↑Robinson, 1996, loc = p. viii
  49. ↑Artin, 1998
  50. ↑Lang, 2002, Hoofdstuk VI (zie met name blz. 273 voor concrete voorbeelden)
  51. ↑Lang, 2002, p. 292 (stelling VI.7.2
  52. ↑Kurzweil, Stellmacher, 2004
  53. ↑In oneindige groepen hoeft een dergelijken{\displaystyle n} niet te bestaan, in welk geval men zegt dat de orde vana{\displaystyle a} oneindig is.
  54. ↑Artin, 1991, stelling 6.1.14
  55. ↑zie Lang, 2002, p. 77 voor soortgelijke resultaten
  56. ↑Lang, 2002, § I.3, p.22
  57. ↑Ronan, 2007
  58. ↑Husain, 1966
  59. ↑Neukirch, 1999
  60. ↑Shatz, 1972
  61. ↑Milne, 1980
  62. ↑Warner, 1983
  63. ↑Borel, 1991
  64. ↑Goldstein,1980
  65. ↑Weinberg, 1972
  66. ↑Naber, 2003
  67. ↑Becchi, 1997
  68. ↑Mac Lane, 1998
  69. ↑Denecke, Wismath, 2002
  70. ↑Romanowska, Smith, 2002
  71. ↑Dudek, 2001

Referenties

[bewerken |brontekst bewerken]

Primaire referenties

[bewerken |brontekst bewerken]
  • (en)Artin, Michael, Algebra, Prentice Hall, 1991, isbn=978-0-89871-510-1, hoofdstuk 2 bevat een uiteenzetting op de bachelor van diverse in dit artikel besproken begrippen.
  • (en)Devlin, Keith, The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible, 2000, Owl Books, isbn=978-0-8050-7254-9, hoofdstuk 5 geeft een voor de leek toegankelijke uitleg van wat groepen precies zijn.
  • (en)George G. Hall, Applied group theory, American Elsevier Publishing Co., Inc., 1967, New York, een elementaire inleiding.
  • (en)Herstein, Israel Nathan, Abstract algebra, Prentice Hall Inc., Upper Saddle River, NJ, 3e editie, isbn=978-0-13-374562-7, 1996.
  • (en)Herstein, Israel Nathan, Topics in algebra, Xerox College Publishing, Lexington, Mass. 2e editie, 1975.
  • (en)Lang. Serge, Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised 3e ed.), New York: Springer-Verlag,ISBN 978-0-387-95385-4, 2002.
  • (en)Lang. Serge, Undergraduate Algebra,Springer-Verlag, Berlin, New York, 3e editie, isbn=978-0-387-22025-3, 2005.
  • (en)Ledermann, Walter, Introduction to the theory of finite groups, Oliver and Boyd, Edinburgh and London, 1953.
  • (en)Ledermann, Walter, Introduction to group theory, Barnes and Noble, New York, 1973.
  • (en)Robinson, Derek John Scott, A course in the theory of groups,Springer-Verlag, Berlin, New York, 1996, isbn=978-0-387-94461-6.

Secundaire referenties

[bewerken |brontekst bewerken]
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Groep_(wiskunde)&oldid=68389675"
Categorieën:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp