Goniometrische cirkel met de desbetreffende aanduiding van de sinus en cosinus van een hoek α.
Sinus en cosinus op de goniometrische cirkel.
De goniometrische cirkel.
Goniometrie,trigonometrie (Oudgrieks: τρεῖς(treis), drie, γωνία(gōnia), hoek en μετρεῖν(metrein), meten) ofdriehoeksmeetkunde is een tak van dewiskunde die zich bezighoudt metdriehoeken en in het bijzonder de oorspronkelijk op driehoeken gebaseerdegoniometrische functies zoalssinus (sin),cosinus (cos) entangens (tan). Dit is een basisvak van devlakke meetkunde, omdat alle andere vormen die door rechte lijnen worden ingesloten, opgebouwd kunnen worden uit driehoeken.
De goniometrie kent vele toepassingen, onder andere bij dedriehoeksmeting.
Eengoniometrische cirkel of eenheidscirkel is een cirkel met als middelpunt de oorsprong van hetassenstelsel en een straal met lengte 1. De voerstraal naar een punt P op de cirkel maakt een hoek met de-as. De sinus van deze hoek,, is gelijk aan de-coördinaat van het punt P. De cosinus van de hoek,, is gelijk aan de-coördinaat van het punt P. Hieruit volgt dat de cosinus van gelijk is aan de sinus van hetcomplement van, wat de naam cosinus ("complementaire sinus" of "complementsinus") verklaart.
Als punt P de cirkel doorloopt zullen de waarden van en de waarden doorlopen uit het interval [−1,1].
Ook andere goniometrische getallen krijgen een meetkundige betekenis op de eenheidscirkel. De tangens, gewoonlijk rekenkundig gedefinieerd als het quotiënt van sinus en cosinus, is onder meer ook gelijk aan de-coördinaat van het snijpunt van de voerstraal met de rechter verticale raaklijn aan de cirkel (). De cotangens is gelijk aan het omgekeerde van de tangens, maar is ook de-coördinaat van het snijpunt van de voerstraal met de bovenste horizontale raaklijn aan de cirkel (). Gelijkaardige constructies leveren de secans (de reciproke van de cosinus) en de cosecans (de reciproke van de sinus).
Met behulp van de goniometrische cirkel kan de hoekeenheidradiaal afgeleid worden: 1 (één) radiaal is de hoek waarbij de booglengte gelijk is aan de straal (, is gelijk aan ruim 57°). De booglengte tussen twee punten op de goniometrische cirkel is deabsolute waarde van de hoek, uitgedrukt in radialen, tussen de voerstralen naar deze punten.
Tegenwijzerzin is de positieve oriëntatiezin op een goniometrische cirkel. Een hoek gemeten in tegenwijzerzin vanaf het beginbeen tot eindbeen heeft dan een positieve waarde. Meet men in wijzerzin dan heeft de hoek een negatieve waarde.
Griekse wetenschappers raakten voor het eerst geïnteresseerd in goniometrische getallen vanuit de praktische noodzaak vansterrenkundige berekeningen. Het belangrijkste Griekse leerboek over astronomie waar we vandaag nog over beschikken, is dat vanPtolemaeus, het best bekend onder de titel van de Arabische vertalingAlmagest. Bij Ptolemaeus is de schijnbare beweging van een hemellichaam het resultaat van de samenstelling van de dagelijkse rotatie van de hemelkoepel en de jaarlijkse omwenteling van de zon rond de aarde. Om die samenstelling uit te rekenen heeft hij de lengte van dekoorde van een hoek nodig; in moderne terminologie is dat het dubbel van de sinus van de halve hoek, vermenigvuldigd met de straal van de cirkel die bij Ptolemaeus gestandaardiseerd wordt op 60 naarBabylonisch voorbeeld.[1]
Ook in de Chinese traditie, vastgelegd in het boekZhoubi Suanjing, ligt de sterrenkunde aan de basis van de goniometrie.[2]
Cotangens (cot), secans (sec) en cosecans (csc) zijn dereciproque functies van respectievelijk: de tangens, cosinus en de sinus.
Met de basisrelaties kan steeds een van de functies in een andere worden uitgedrukt, zij het slechts voor eenrechthoekige driehoek. De 'kunst' bij goniometrie is dan ook vaak om een willekeurige driehoek of veelhoek op te delen in rechthoekige driehoeken, zodat de basisrelaties toegepast kunnen worden. De volgende 6 formules gelden voor tussen 0 en radialen.
Zie voor een meer uitgebreide beschrijvingLogaritmetafel
Voorbeeld uit goniometrische tafel 1963
Om de waarde te bepalen van een goniometrische functie bij een bepaalde hoek wordt gebruikgemaakt van eencomputer ofrekenmachine. Vóór de introductie van deze hulpmiddelen werd gebruikgemaakt van een zogenaamde goniometrische tafel of kortweg eengoniotafel. In een goniotafel, welke vaak was gecombineerd met een logaritmische tafel oflogaritmetafel, werd voor de hoeken tussen 0 en 90 graden, met een verdere onderverdeling in minuten, de logaritmische waarden (log-waarden) gegeven voor de sin-, cos-, cotan- en tan-functie. Met de logaritmetafel kon deze waarde vervolgens worden omgezet in eenreëel getal. Tussenliggende hoekwaarden kon men berekenen door te interpoleren. Grotere of negatieven hoeken kon men berekenen door gebruik te maken van de standaard goniometrische relaties.
De goniometrische getallen kunnen bestudeerd worden als reële functies van hun argument. Meestal wordt daarbij het argument als hoek uitgedrukt in radialen, zodat de goniometrische functiesperiodiek zijn met periode (of de helft daarvan in het geval van tangens en cotangens).
De sinus- en cosinusfunctie zijn begrensd omdat hun beeld het gesloten interval is. De tangens-, cotangens-, secans- en cosecansfunctie zijn onbegrensd en hebben periodiek terugkerende verticaleasymptoten, die overeenkomen met gaten in hun domein (deling door 0 in de definitie).
Alle goniometrische functies zijn onbeperktdifferentieerbaar op hun domein, en zelfsanalytisch in de zin dat ze in de omgeving van elk punt gelijk zijn aan de reekssom van hunTaylorreeks. Als voorbeeld geven we hier de reeksontwikkeling van de sinusfunctie omheen het punt dieabsoluut convergeert voor willekeurige waarden van
De afgeleide functie van de sinus is de cosinus; de afgeleide van de cosinus is het tegengestelde van de sinus. Verder geldt:
Wegens hun analyticiteit kunnen al deze functies worden voortgezet in decomplexe getallen, en de hierboven aangehaalde verbanden en rekenregels blijven daarbij geldig. De periodiciteit geldt alleen in de reële richting, ze zijn dus nietdubbelperiodiek.
De uitbreiding van de goniometrische functies naar de complexe getallen brengt de goniometrie in verband met de natuurlijkeexponentiële functie. Dit verband komt heel precies tot uiting in deformule van Euler:
Deze formule kan omgedraaid worden tot een 'analytische' definitie van de sinus en de cosinus:
Naar analogie hiermee worden, door weglating van alle optredens van de imaginaire eenheid uit het rechterlid, dehyperbolische functies sinh en cosh gedefinieerd.
De goniometrische functies zijn niet als dusdanig omkeerbaar omdat ze nietinjectief zijn: verschillende hoeken hebben dezelfde waarde voor, pakweg, de sinus. Om toch een eenwaardige inverse te bekomen, beperkt men het domein van een reële goniometrische functie zodanig dat de beperkte functie één hoek op één waarde afbeeldt.
De sinus wordt beperkt tot en deinverse heetarcsinus (ook aangeduid alsboogsinus,asin,arcsin,bgsin ofsin−1) en heeft als domein
De cosinus wordt beperkt tot en heeft als inverse dearccosinus (boogcosinus,acos,arccos,bgcos ofcos−1), eveneens met domein
De tangens beperkt tot het open inverval heeft als inverse dearctangens (atan,arctan,bgtan oftan−1) met domein heel
De cotangens beperkt tot heeft als inverse dearccotangens (arcot,bgcot ofcot−1), eveneens met domein
De secans beperkt tot heeft als inverse dearcsecans (arcsec,bgsec ofsec−1) met domein
De cosecans beperkt tot heeft als inverse dearccosecans (arccsc,bgcsc ofcsc−1), eveneens met domein met domein
Zoals altijd kan de grafiek van een inverse functie worden bekomen uit die van de oorspronkelijke functie door- en-assen te verwisselen (spiegeling ten opzichte van debissectrice met vergelijking).
Wegens deinverse functiestelling zijn de cyclometrische functies op het inwendige van hun domein differentieerbaar. Hun afgeleiden zijn niet langer goniometrische of cyclometrische, maar algebraïsche functies.
.png)
