Dit artikel gaat over het getij op Aarde; voor getijden op andere hemellichamen, zieGetijdenveld.
Getijhaventje vanLillo bij hoogwater, 3 april 2008 (5 dagen naLaatste Kwartier, gemiddeld tij)Getijhaventje van Lillo bij laagwater, 8 augustus 2008 (tijdensEerste Kwartier, bijna doodtij)Aarde en maan, gezien vanafMars
Hetgetijde,tij ofgetij is de periodieke wisseling van dewaterstand, en de daarmee samenhangendegetijstroom, die opAarde optreedt als gevolg van dezwaartekracht van deMaan en, in mindere mate, die van deZon. Deze verklaring van het verschijnsel werd in 1687 voor het eerst doorIsaac Newton gegeven. Newtons theorie werd in 1740 doorDaniel Bernoulli uitgebreid tot hetevenwichtsgetij, dat ten onrechte vaak aan Newton zelf wordt toegeschreven. In 1776 werd de theorie doorPierre-Simon Laplace verder uitgebouwd tot een dynamische theorie van het getij, waarmee in principe het gedrag van ieder deeltje onder invloed van een veranderendegetijdenkracht en op een draaiende aarde voorspeld moet kunnen worden. Belangrijke bijdragen aan de analyse en het voorspellen van het getij werden geleverd doorWilliam Thomson (Lord Kelvin) in 1867,George Howard Darwin in 1899 enArthur Thomas Doodson in 1921.
Doordat het getij op een locatie bepaald wordt door veel factoren, waaronder de afstand van de locatie tot de evenaar, de waterdiepte, en de aanwezigheid en vorm van landmassa's, vertoont het van plaats tot plaats grote verschillen. De getijvormen worden grofweg onderverdeeld in dubbeldaags getij, enkeldaags getij, en gemengd getij. De waterstand die daadwerkelijk optreedt wordt daarnaast niet alleen door het getij maar ook doorweersomstandigheden alsluchtdruk enwind bepaald.
De periode van het stijgen van het water heetvloed of opkomend tij, die van het daleneb of afgaand tij.
De maximale waterhoogte heet hoogwater of hoogtij, de minimale hoogte laagwater of laagtij.
Wanneer de getijkrachten van Zon en Maan dezelfde richting hebben en zo elkaar versterken, is de amplitude van het getij het grootst; dit wordtspringtij genoemd. Wanneer de genoemde getijkrachten haaks op elkaar staan en elkaar verzwakken, is het verschil tussen hoogwater en laagwater het kleinst, en wordt vandoodtij gesproken.
Al ruim voor onze jaartelling waren mensen in staat rekening te houden met het getij of er zelfs gebruik van te maken. Het tot nu toe oudst bekende voorbeeld is eengetijdendok bijLothal inIndia. Reeds tijdens deoudheid was bekend dat het getij samenhangt met de positie van deMaan.Plinius de Oudere kon in 77 AD al een vrij nauwkeurige beschrijving van de verschijnselen geven, waarbij hij zowel de Zon als de Maan als veroorzakers noemde.[1] De theorie is daarna lange tijd niet uitgebreid of verbeterd. Pas in devroegmoderne tijd gingen wetenschappers weer nadenken over de oorzaken van het verschijnsel.
Galileo Galilei opperde in 1616 dat het getij veroorzaakt werd door het heen en weer klotsen van het water als gevolg van de twee bewegingen van de aarde: het draaien van de aarde om de zon én haar rotatie om haar eigen as. Deze verklaring is onjuist gebleken, in werkelijkheid hebben die twee bewegingen geen invloed. Sterker nog - de periode van het getij, bijna 25 uur, komt niet overeen met de omwentelingstijd van de aarde. Hij zag hierin een bewijs voor zijn thans wel als juist beschouwde theorie dat de aarde om de zon beweegt.[2]
René Descartes stelde rond 1630 in zijn vortextheorie[3] dat het getij veroorzaakt werd door de druk van deether, een medium waarvan men dacht dat het heelal buiten de aardatmosfeer ermee gevuld was. De Aarde en de Maan zouden de vrije stroming van de ether belemmeren en daarmee een drukgolf veroorzaken die op zijn beurt de oorzaak was van het getij. VolgensWilliam Gilbert was het demagnetische aantrekking tussen Aarde en Maan die het getij veroorzaakte. Deze theorie werd in 1651 postuum gepubliceerd.
De eerste die het getij verklaarde met behulp van de zwaartekracht, wasIsaac Newton, in 1687.[4] Newtons theorie werd later, in 1740, uitgebreid doorDaniel Bernoulli.[5] Hij was degene die er het evenwichtsgetij van maakte dat zo vaak aan Newton wordt toegeschreven.[6] In 1776 steldeLaplace, met behulp van Newtons gravitatietheorie, als eerste een dynamische theorie van het getij op.[7] Uit het werk van Laplace kwam onder andere naar voren dat de getijverwekkende kracht in verschillende componenten, elk met een eigen frequentie, ontleed kon worden. Met de ontwikkeling van defourieranalyse doorJoseph Fourier, in 1822, werd het mogelijk de afzonderlijke componenten te onderscheiden uit lange reeksen metingen aan het getij op een bepaalde plek. Daarmee kwam het voorspellen van het getijverloop voor plekken waar meetreeksen beschikbaar waren binnen bereik. Belangrijke bijdragen aan de theorie die de analyse en het voorspellen van het getij mogelijk maakt, werden geleverd doorWilliam Thomson (Lord Kelvin) in 1867,[8]George Howard Darwin in 1899,[9] enArthur Thomas Doodson in 1921.[10]
Verschillen in aantrekkingskracht van de Maan op Aarde: Z = plek waar Maan in het Zenit staat, N = Nadir, C = Centrum Aarde. De verschillen in lengte van de pijlen zijn sterk overdreven: de werkelijke versnelling van de kracht staat erbij.Verschillen tussen aantrekkingskracht van de Maan in het zenit en het nadir met die in het centrum van de Aarde, leiden tot resulterende krachten die van het centrum af gericht zijn. De versnelling van de resultante staat erbij, en is in de orde 10−6m/s2, bijna tien miljoen keer zo klein als de valversnelling aan het oppervlak van de aarde.De getijdenkracht aan het aardoppervlak; M = richting Maan.
Dezwaartekracht die een lichaam op een ander lichaam uitoefent isrecht evenredig met de massa van het aantrekkende lichaam enomgekeerd evenredig met het kwadraat van de onderlinge afstand. Op de Aarde is de aantrekkingskracht van een ander lichaam, zoals de Maan, daardoor groter aan de kant waar dat lichaam in hetzenit staat, en kleiner waar het in hetnadir staat. Voor het getij zijn alleen de Maan en de Zon van belang; de invloed van andere hemellichamen is volstrekt verwaarloosbaar.[11]
De aantrekkingskracht van de Maan en die van de Zon werken op de gehele Aarde. Afhankelijk van de plek op aarde variëren wél de exacte grootte en richting van die krachten. De krachten zijn te ontbinden in een component die gelijk is aan die in het middelpunt van de Aarde en eengetijverwekkende kracht. De eerste component is homogeen verdeeld over de Aarde en beïnvloedt daardoor de vorm van de Aarde, inclusief het water, niet. De richting en grootte van de getijverwekkende kracht varieert wel over de Aarde.
De getijverwekkende kracht is op zijn beurt ook weer te ontbinden in een horizontale en een verticale component. De verticale component werkt in dezelfde richting als de zwaartekracht van de Aarde en laat een partikel op de aardkorst stijgen of dalen. Deze kracht is maximaal op de plek waar de Maan of de Zon in het toppunt ofzenit Z en het voetpunt ofnadir N staat, en minimaal op 90° daarvan. De horizontale component van de getijverwekkende kracht brengt een partikel op de aardkorst horizontaal in beweging. Deze kracht is het sterkst in de twee zones die op iets meer dan 54° van zenit en nadir liggen.[12]
Door deaardrotatie verandert de oriëntatie van het krachtenveld ten opzichte van de Aarde doorlopend. Het gevolg is dat elk punt op aarde zich periodiek in een maximum van het krachtenveld bevindt en dan weer in een minimum ervan. Als het hemellichaam (Maan of Zon) in het vlak van deevenaar staat,[13] dan zijn beide maxima en minima van het krachtenveld behorende bij dat hemellichaam gelijk. Staat het hemellichaam niet in het equatorvlak, dan geldt voor elk punt op aarde dat niet op de evenaar ligt dat het ene maximum groter is dan het andere. Het gevolg hiervan is de dagelijkse ongelijkheid: op dagen dat de Zon of Maan een grote noordelijke of zuidelijkedeclinatie kent, zijn de beide hoogwaterstanden op een dag niet aan elkaar gelijk. In theorie zou dat voornamelijk op groterebreedtes merkbaar moeten zijn maar doordat degetijgolf zich ook in noord-zuidrichting over de Aarde voortplant, kan de dagelijkse ongelijkheid overal optreden.
De totale getijdenkracht wordt veroorzaakt door de Maan en de Zon. De getijdenkracht is omgekeerd evenredig met de derde macht van de afstand en recht evenredig met de massa van het aantrekkende lichaam. De getijdenkracht van de Maan[14] is daardoor ruim tweemaal zo groot als die van de Zon,[15] zoals uit de hieronder te geven berekening zal blijken.
Degetijdenkracht is het gevolg van het verschil tussen demiddelpuntzoekende kracht en deaantrekkingskracht op een willekeurig punt van een planeet. Twee objecten 1 en 2, met massa'sm1 enm2, en onderlinge afstandR (van centrum tot centrum), draaien beide om hun gemeenschappelijk zwaartepunt. Hierbij is de onderlinge aantrekkingskrachtFg gelijk aan de middelpuntzoekende krachtFmpz die nodig is om beide objecten in een cirkelbaan om hun gemeenschappelijk zwaartepunt te houden. Dus:
Voor het berekenen van de getijdenkracht die object 2 veroorzaakt op object 1, is niet de totale aantrekkingskrachtFg van belang, maar juist de verschillen in aantrekkingskracht door object 2 op verschillende plaatsen op object 1. Daardoor is ook niet de totale massam1 van object 1 van belang maar alleen de straalr. In wat oudere, vooral Engelstalige, literatuur wordt vaak voor elk punt op of in object 1 de kracht opunit mass (1 kg) berekend. Daarmee wordt de waarde van de kracht getalsmatig even groot als de versnellinga van die kracht op dat punt.[16] In plaats daarvan kan natuurlijk ook gewoon de versnellinga voor elk punt op of in object 1 berekend worden.
Op puntg1, op het oppervlak van object 1 met straalr, dat het dichtst bij object 2 ligt, is de versnelling van de aantrekkingskracht door object 2 groter doordat daar de afstand tot object 2 kleiner is (R − r) dan de afstand tussen de centra van beide objecten (R). De middelpuntzoekende versnelling is echter overal op object 1 even groot. Dit leidt op puntg1 tot een netto versnelling ten opzichte van het centrum van object 1: de versnellingaT van de getijdenkrachtFT :
Aangezien hier de straalr van object 1 heel veel kleiner is dan de afstandR tussen de twee objecten, kan men stellen dat
en
Met deze vereenvoudiging is de netto versnelling op puntg1 ten opzichte van het centrum van object 1 dan:
In het punt op object 1 dat het verst van object 2 verwijderd is, is het precies andersom: hier is de versnelling van de aantrekkingskracht juist kleiner dan de middelpuntzoekende versnelling. Op dezelfde wijze berekend levert dit nogmaals de hierboven gegeven netto versnelling op, alleen in de tegenovergestelde richting. Over de totale doorsnee van object 1, gemeten in de richting van object 2, is het verschil in versnelling dan:
Voor het effect van de Maan op de Aarde, met
G = 6,67259 · 10−11 m3 kg−1 s−2 (gravitatieconstante van Newton volgens deIAU)
m2 = 7,34767 · 1022 kg (massa Maan)
r = 6,378136 · 106 m (equatoriale straal Aarde)
R = 3,844 · 108 m (gemiddelde afstand Aarde–Maan),
geeft dat als uitkomst dat de versnelling van de aantrekkingskracht door de Maan, gemeten in het nadir, 2,2022 · 10−6 m s−2 kleiner is dan die gemeten in het zenit. Ter vergelijking: de versnelling van de zwaartekracht is 9,81 m s−2.
Voor het effect van de Zon op de Aarde, met
m2 = 1,989 · 1030 kg (massa Zon)
R = 1,496 · 1011 m (gemiddelde afstand Aarde–Zon),
is die waarde 1,011 · 10−6 m s−2, 0,46 keer het effect van de Maan.
De getijdenkracht werkt niet alleen op de zeeën maar ook op het land. De hele aarde wordt vervormd. De vervorming is gering maar wel meetbaar (in de orde van enkele decimeters). Door destijfheid van de aardkorst kunnen de aardgetijden veel beter de posities van de Zon en de Maan volgen en lopen er daardoor slechts ongeveer twee uur mee uit de pas.
Met name als gevolg van het gebruik vanGPS en de daarvoor benodigde nauwkeurige beschrijving van de exacte vorm van de Aarde, is er sinds het laatste decennium van de twintigste eeuw veelgeodetisch onderzoek gedaan, waarbij ook veel meer bekend is geworden over de getijden van de aardkorst.
Doordat de getijdenwrijving veroorzaken, wordt de draaiing van de Aarde om haar as steeds verder vertraagd, en wordt dedag steeds langer. Bij de maan heeft dit er al toe geleid dat de rotatie om haar as zo veel vertraagd is dat die nu even snel is als de revolutie van dat hemellichaam om de aarde. De maan toont altijd dezelfde zijde aan de aarde, wat ook wel synchrone rotatie wordt genoemd.Met het afnemen van de rotatiesnelheid van de Aarde hangt direct samen dat de Maan langzaamaan verder van de Aarde af komt te staan.
Een lichaam met een massa zo groot als die van bijvoorbeeld de Aarde, neemt als gevolg van de zwaartekracht van zijn eigen massa een bolvorm aan. Een tweede massa die groot en nabij genoeg is, zoals de Maan of de Zon, trekt de Aarde door de getijdenkracht juist in één richting uit elkaar. Zolang de Aarde niet binnen deRochelimiet van het getijverwekkende lichaam komt,[17] neemt ze een vorm aan waarbij de twee genoemde effecten juist met elkaar in evenwicht zijn. Die vorm is eenellipsoïde waarvan de lange as gericht is naar het hemellichaam dat verantwoordelijk is voor de getijdenkracht op de Aarde. De evenwichtstheorie van het getij gaat uit van een geheel met water bedekte aarde, zonder continenten of andere obstakels, en neemt aan dat het water op aarde de vorm van de genoemde ellipsoïde aanneemt en dat de (bolvormige) Aarde daar, door de aardrotatie, onderdoor draait. Doordat het getij op aarde door twee hemellichamen wordt veroorzaakt, is de vorm die het water volgens deze theorie aanneemt niet één ellipsoïde maar de som van de twee ellipsoïden die het gevolg zijn van de gravitatie van de Maan en die van de Zon afzonderlijk.
De evenwichtstheorie gaat ervan uit dat er geentraagheid bestaat en dat er geen wrijving is tussen water en aarde, en dat daardoor de lange assen van de beide ellipsoïden steeds exact naar de getijverwekkende lichamen (Zon en Maan) gericht kunnen zijn.
Door verschillende factoren treden er periodieke variaties op in de vorm en de oriëntatie van de ellipsoïden. De belangrijkste factoren zijn dedeclinatie van zowel Maan als Zon, en de afstand tot die beide hemellichamen. Daarnaast zijn de werkelijke baansnelheid van de Maan en de werkelijke (schijnbare)[18] baansnelheid van de Zon niet eenparig. De factoren die de periodieke variaties veroorzaken, worden in de evenwichtstheorie beschouwd als zogenaamde partiële getijden, die elk een eigen rotatiesnelheid hebben.
Het werkelijk optredende getij wijkt zeer sterk af van het evenwichtsgetij. Het evenwichtsgetij is desondanks bruikbaar als referentie waarmee het echte getij vergeleken kan worden. Het verschil tussen een component (partieel getij) van het evenwichtsgetij en diezelfde component van het hierna te behandelen astronomisch getij heeft op iedere plek op aarde een voor die plek constante waarde.
De watermassa is niet homogeen verdeeld over de aarde. De zeeën en oceanen zijn niet overal even diep en de kusten zijn grillig gevormd. Op de meeste breedtegraden is de baansnelheid van het aardoppervlak veel groter dan demaximale golfsnelheid, waardoor de getijgolf met de aarde meedraait en daardoor voorligt op de Zon en de Maan. HetCorioliseffect heeft daarnaast tot gevolg dat de getijgolf gaat draaien. Op veel plekken kan de getijgolf zich niet ongehinderd voortplanten doordat er landmassa's in de weg liggen. Het werkelijk optredende getij is daardoor niet simpel te berekenen uit het krachtenveld waardoor het veroorzaakt wordt. Dehoeksnelheid van de partiële getijden is echter wel constant. Een partieel getij, zoals dat volgt uit het evenwichtsgetij, is voor te stellen als:
waarin
Y(t) = hoogte van componentY op tijdstipt
R = berekende amplitude van componentY
f = (kleine) correctiefactor voor de beweging van de maansknopen, vaak aangeduid als 'reductiefactor'
φ = fase (in graden) van componentY opt= 0
ω = hoeksnelheid (in graden per uur) van componentY
Het werkelijke partiële getij voor een willekeurige plek kan dan worden uitgedrukt als:
waarin
H = werkelijke amplitude voor een gegeven plek
κ = kappagetal (in graden).
De amplitudeH is van veel factoren afhankelijk maar voor een bepaalde plek constant en kan daar gemeten worden. Het kappagetal drukt uit hoeveel de harmonische component op de gegeven plek achterloopt op de fase die dezelfde component volgens het evenwichtsgetij heeft.
De hoekφ is de fase opt = 0 van het evenwichtsgetij. In verband met het publiceren van gegevens over het evenwichtsgetij zou het erg onhandig zijn als dat voor elke plek apart moest gebeuren. Daarom wordt doorgaans Greenwich gebruikt als referentielocatie voor het evenwichtsgetij, waarbij dan voort = 0 geldt dat dat 0:00UTC is. De hoekφ voor Greenwich wordt meestal aangeduid als hetastronomisch argumentv0. Voor Greenwich zelf is de werkelijke fase van de component dan in theorie de fase van het evenwichtsgetij (v0) verminderd metκ. Voor elke andere plek moet daar nog het verschil in lengte met Greenwich, vermenigvuldigd met de hoeksnelheid van de component, in verwerkt worden. Om praktische redenen wordt daarbij ook het kappagetal meegenomen in de term die nodig is om de fase in Greenwich te modificeren. Uiteindelijk wordt de hoekφ dan geschreven alsv0 −g, waaring hetgeografisch argument is, ook vaak aangeduid alsverbeterd kappagetal. Hierin is zowel het kappagetal als het verschil in lengte met Greenwich verwerkt. Doordat ook de route die degetijgolf volgt van invloed is op de lokale fase van een component, wordtg voor elke locatie door middel van metingen bepaald. De amplitudeH en het geografisch argumentg zijn degetijconstanten voor een bepaalde plek. Ze zijn voor elke plek voor lange tijd constant en hoeven daardoor per locatie maar één keer bepaald te worden.[19] Een partieel getij valt nu uit te drukken als:
Om voor een bepaalde plek voorspellingen over het getij te kunnen doen, wordt op (vaak langjarige) reeksen van waarnemingen aan de waterhoogte op die plek, de techniek vanharmonische analyse toegepast. Hierbij wordt eenfourieranalyse uitgevoerd op de grillige reeks data, om daaruit de harmonische componenten (ook wel partiële getijden genoemd) die samen het getij vormen te analyseren. Een harmonische component is niets anders dan een sinusvormige variatie met een bepaalde frequentie. Wanneer van alle harmonische componenten de frequentie, fase en amplitude bekend zijn, is het mogelijk ze in de tijd voort te zetten en bij elkaar op te tellen. Er zijn zo'n 400 componenten bekend, maar in de praktijk worden er minder gebruikt. Bij de Nederlandse kust, langs relatief ondiep water, zijn dit er 94; bij dieper water worden er minder gebruikt. Zolang de plaatselijke omstandigheden gelijk blijven — en de amplitude en fase van de harmonische componenten dus niet veranderen — kunnen hiermee zeer betrouwbare voorspellingen van het astronomisch getij worden gemaakt.
Cosinus met amplitude 1 en een hoeksnelheid van 360° per dag, waarbij opgeteld twee cosinussen met amplitude 0,15,de een met een 36° grotere,de ander met een 36° kleinere hoeksnelheid. Deresultante is een periodieke beweging met periodiek variërende amplitude die ook beschreven kan worden metcos 360°t·(1+0,3 cos 36°t).
Doordat van zowel de Maan als de Zon de afstand tot de Aarde varieert, alsmede dedeclinatie, variëren ook de getijdenkrachten van deze twee lichamen periodiek, en daarmee ook deamplitudes van het dubbeldaags maansgetij M2 en het dubbeldaags zonsgetij S2. Zo'n periodieke variatie kan wiskundig op twee manieren worden uitgedrukt: (1) door het hoofdgetij van Maan of Zon (dat een constante amplitude heeft) te vermenigvuldigen met een factor die zelf eenperiodieke functie is waarvan deperiode gelijk is aan die van de variatie, of (2) door bij het hoofdgetij twee harmonische componenten (cosinussen) op te tellen, waarvan de ene eenhoeksnelheid heeft die een bepaald bedrag (de modulatie) kleiner is dan die van het hoofdgetij en de andere een hoeksnelheid die datzelfde bedrag groter is dan die van het hoofdgetij. De modulatie moet dan zo worden gekozen dat gedurende de periode van de variatie de beide toegevoegde harmonische componenten precies twee keer met elkaar in fase zijn en twee keer met elkaar integenfase. Dat laatste is het geval als de modulatie dezelfde waarde heeft als de hoeksnelheid van de variatie en dus, met andere woorden, dezelfde periode heeft als de variatie.[20]
Met de vereenvoudiging dat de amplitude van hoofdcomponentcos αt gelijkgesteld wordt aan 1, ziet dat er mathematisch zo uit:
methode (1):
methode (2):
waarinH(t) de hoogte van het resulterende getij op tijdstipt is,α de hoeksnelheid van de hoofdcomponent,β de modulatie, enA enB willekeurige amplitudes.
Om nu aan te tonen dat met beide methoden exact hetzelfde effect bereikt wordt, moet bewezen worden dat vergelijking (1) mathematisch identiek is aan vergelijking (2). Het makkelijkst is om eerst uitdrukking (2) volledig uit te werken (met derekenregels voor goniometrie) en daarna te vereenvoudigen:
AlsA= 2B, met andere woorden, alsB=1/2A, staat er inderdaad exact hetzelfde.[21]
De reden dat veel gebruik wordt gemaakt van de tweede methode, waarbij men drie termen met constante amplitude gebruikt, in tegenstelling tot de ene term met variërende amplitude in de eerste methode, is dat men bij de harmonische analyse van het getij, met behulp van eenfourieranalyse, alleen componenten met een constante amplitude kan vinden en geen componenten met een periodiek variërende amplitude.
In feite zijn er maar twee getijden: het dubbeldaags maansgetij en het dubbeldaags zonsgetij. Deze hebben echter geen constante amplitude. Het M2- en S2-getij zijn de dubbeldaagse getijden met een, voor een bepaalde plek op aarde, constante amplitude die het gemiddelde is voor die plek. Alle andere partiële getijden zijn ofwel modulaties op de hoofdgetijden, ofwel golven met een hogere frequentie die in ondiep water ontstaan.
Het M2-getij, zoals het zich voortplant. Lijnen zijncotidal lines, van gelijke fase, kleuren geven de amplitude aan van klein (blauw) naar groot (rood).
In eensiderische maand van 27 dagen, 7 uur, 43 minuten en 11,6 seconden (27,3217 dag) volbrengt demiddelbare maan een volledige omloop om de Aarde, met een hoeksnelheid van 0,5490°/uur.[22] De Aarde draait rond haar as in eensiderische dag van 23 uur, 56 minuten en 4,09 seconden, wat betekent dat ze een hoeksnelheid van 15,0411°/uur heeft. De middelbare maan beweegt zich ten opzichte van een punt op de aarde dus met een hoeksnelheid van 14,4921°/uur, het verschil tussen de twee vermelde hoeksnelheden. De hoeksnelheid van het dubbeldaags maansgetij M2 is tweemaal zo groot: 28,9841°/uur, wat overeenkomt met een periode van 12 uur en 25,2 minuten. Hoog- en laagwater van dit getij vallen daardoor elke dag gemiddeld 50,4 minuten later dan de dag ervoor.
In eensiderisch jaar van 365 dagen, 6 uur, 9 minuten en 9,76 seconden, volbrengt de Aarde een volledige omloop om de Zon, met een hoeksnelheid van 0,0411°/uur. De hoeksnelheid van de siderische rotatie van de aarde is 15,0411°/uur. Een punt op aarde heeft dus ten opzichte van demiddelbare zon een hoeksnelheid van precies 15°/uur. De hoeksnelheid van het dubbeldaags zonsgetij S2 is het dubbele: 30°/uur, wat overeenkomt met een periode van 12 uur. Hoog- en laagwater van dit getij vallen daardoor elke dag op hetzelfde moment.
Doordat de getijdenkracht van de Maan gemiddeld 2,2 keer zo groot is als die van de Zon, is de amplitude van het S2-getij theoretisch gemiddeld 0,45 keer die van de Maan. In de praktijk kan die verhouding heel anders zijn.
De amplitude van het dubbeldaags maansgetij M2 varieert met de afstand van de Maan tot de Aarde. De periode van die variatie is éénanomalistische maand, met een hoeksnelheid van 0,5444°/uur. Volgens detweede wet van Kepler is de snelheid van een hemellichaam in een elliptische baan variabel. De variatie in de snelheid van de Maan heeft eveneens de periode van één anomalistische maand. Deze beide variaties worden samen verwerkt door bij M2 een component L2, met een hoeksnelheid van 28,9841 + 0,5444 = 29,5285°/uur, en een component N2, met een hoeksnelheid van 28,9841 − 0,5444 = 28,4398°/uur, op te tellen. L2 en N2 worden samen het dubbeldaags elliptisch maansgetij genoemd. Daarbij wordt L2 het klein dubbeldaags elliptisch maansgetij genoemd omdat het een kortere periode heeft dan M2, en N2 het groot dubbeldaags elliptisch maansgetij omdat de periode ervan langer is. Op dezelfde manier worden bij het zonsgetij S2 de componenten R2 en T2, die allebei 0,0411°/uur met S2 verschillen en samen het dubbeldaags elliptisch zonsgetij worden genoemd, opgeteld om de variatie in amplitude peranomalistisch jaar te verwerken. De letters 'M' en 'S' staan uiteraard voor 'Moon' en 'Sun'; de letters 'L', 'N', 'R' en 'T' staan nergens voor: het zijn gewoon de letters die om 'M' en 'S' heen staan.
Dedeclinatie van de Maan en de Zon is de hoek die deze hemellichamen maken met het vlak van deevenaar. De Zon staat twee keer pertropisch jaar boven de evenaar: tijdens de dag- en nachteveningen van 21 maart en 21 september. De declinatie is dan nul. Tijdens dezonnewendes van 21 juni en 21 december is de declinatie 23,5°. De declinatie van de Maan is twee keer pertropische maand nul: wanneer de Maan de evenaar passeert. Het baanvlak van de maan maakt een hoek van 5° met het vlak van deecliptica. De maximale declinatie van de Maan varieert met de positie van de maansknopen. Als deklimmende knoop samenvalt met hetlentepunt (de klimmende knoop van de Zon), dan is de maximale declinatie 28,5°. Als de klimmende knoop 9,3 jaar later samenvalt met hetherfstpunt (de dalende knoop van de Zon), is de maximale declinatie van de Maan 18,5°. De Maan bereikt per tropische maand eenmaal haar grootste noordelijke declinatie en eenmaal haar grootste zuidelijke declinatie.
Met de declinatie van de Maan varieert ook de amplitude van het dubbeldaags maansgetij. Hoe verder de Maan boven of onder de evenaar staat, hoe kleiner de amplitude (bedenk dat er helemaal geen maansgetij zou zijn als de Maan boven een van de polen zou staan). Deze variatie in de amplitude van het getij wordt op dezelfde manier verwerkt als hierboven al is geschetst, onder 'partiële getijden' en 'elliptische getijden'. De periode van deze variatie is een halvetropische maand, en de hoeksnelheid 1,0980°/uur. Naast M2 vinden we daardoor een component met een hoeksnelheid van 28,9841 + 1,0980 = 30,0821°/uur (K2) en één met een hoeksnelheid van 28,9841 − 1,0980 = 27,8861°/uur (O2). Het zonsgetij varieert op dezelfde manier, met een periode van een halftropisch jaar, met een hoeksnelheid van 0,0821°/uur. Naast S2 vinden we daardoor een component met een hoeksnelheid van 30,0821°/uur (K2) en één met een hoeksnelheid van 29,9179°/uur. K2 van het maansgetij en die van het zonsgetij hebben beide dezelfde hoeksnelheid. Twee harmonische krommen met dezelfde hoeksnelheid maar niet noodzakelijk dezelfde fase, leveren, bij elkaar opgeteld, weer een harmonische kromme op, met dezelfde hoeksnelheid.[23]De beide componenten K2 kunnen met een fourieranalyse niet afzonderlijk onderscheiden worden, en worden daarom samen het dubbeldaags zons- en maansdeclinatiegetij K2 genoemd.
De hoeksnelheid van O2 is gelijk aan die van enkele andere, samengestelde, componenten. O2 vinden we in tabellen met partiële getijden daardoor zelden terug. Wél wordt meestal de samengestelde component NLK2 vermeld, met dezelfde hoeksnelheid. Voor de tweede component van het dubbeldaags zonsdeclinatiegetij ligt de naam U2 voor de hand. Die vinden we echter nergens. Wél wordt vaak een samengestelde component met dezelfde hoeksnelheid vermeld: 2SK2. Doordat componenten met dezelfde hoeksnelheid bij een fourieranalyse niet van elkaar onderscheiden kunnen worden, maakt het niet veel uit welk van de namen er wordt gekozen.
De declinatie van de Maan is ook de oorzaak van de dagelijkse ongelijkheid, waarbij periodiek het ene hoogwater op een dag verhoogd is en het andere verlaagd. De dagelijkse ongelijkheid is nul als de Maan boven de evenaar staat, en maximaal als de Maan de maximale noordelijke of zuidelijke declinatie bereikt. De dagelijkse ongelijkheid heeft één cyclus per maansdag (het ene hoogwater verhoogd, het andere verlaagd). Om deze variatie met harmonische componenten uit te drukken, worden daarom aan het enkeldaags maansgetij M1 (hoeksnelheid 14,4921°/uur, de helft van M2) twee enkeldaagse partiële getijden toegevoegd die met elkaar in tegenfase zijn als de declinatie nul is, en in fase als de declinatie maximaal is. De periode van deze variatie is eentropische maand, en de hoeksnelheid 0,5490°/uur. We vinden dan een component met een hoeksnelheid van 14,4921 + 0,5490 = 15,0411°/uur (K1) en één met een hoeksnelheid van 14,4921 − 0,5490 = 13,9430°/uur (O1). Ook het zonsgetij kent een dagelijkse ongelijkheid als gevolg van de declinatie van de Zon. De variatie heeft hier een periode van een tropisch jaar, met een hoeksnelheid van 0,0411°/uur, en we vinden een component met een hoeksnelheid van 15,0 + 0,0411 = 15,0411°/uur (K1) en één met een hoeksnelheid van 15,0 − 0,0411 = 14,9589°/uur (P1). K1 van het maansgetij en die van het zonsgetij hebben beide dezelfde hoeksnelheid en kunnen daardoor bij een fourieranalyse niet van elkaar worden onderscheiden. Ze worden om die reden samen het enkeldaags zons- en maansdeclinatiegetij K1 genoemd.
De positie van de werkelijke Maan wijkt in meerdere of mindere mate af van die van de middelbare Maan. De afwijking als gevolg van de elliptische baan is hierboven al genoemd. De twee belangrijkste andere storingen zijn de evectie en de hierna nog te behandelen variatie, beide veroorzaakt door de gravitatie van de Zon. De evectie is afhankelijk van deexcentriciteit van de baan van de Maan. Wanneer de Zon in lijn staat met deapsidenlijn van de maanbaan (de lijn die door hetperigeum enapogeum gaat), is de baan meer langgerekt en de excentriciteit het grootst. Wanneer de Zon haaks op die lijn staat, is de baan meer gedrongen en de excentriciteit kleiner.[24] Wanneer de excentriciteit van de baan groot is, ligt het perigeum dichter bij de Aarde en is het apogeum verder weg, zodat de variatie in de afstand van de Maan dan groter is. Deze variatie heeft uiteraard effect op de amplitude van het getij. De baansnelheid van de Maan is, volgens detweede wet van Kepler, afhankelijk van de afstand tussen Aarde en Maan, hetgeen verklaart waarom de excentriciteit van de baan een effect heeft op de evectie. Ook het voor- of achterlopen van de Maan op de positie van de middelbare Maan heeft een effect op het M2-getij, dat immers de regelmatig bewegende middelbare Maan volgt. De evectionele periode, met andere woorden een volledige rotatie van de apsidenlijn ten opzichte van de Zon, duurt 411,78 dagen.[25] In die periode is de excentriciteit twee keer maximaal en twee keer minimaal doordat de Zon tijdens een volledige omloop van de apsidenlijn twee keer in het verlengde daarvan staat, dus eens in de 205,89 dagen.
Ten opzichte van de Zon draait de Maan om de Aarde met een periode van een synodische maand, met een hoeksnelheid van 0,5079°/uur. De rotatie van de apsidenlijn ten opzichte van de Zon heeft een hoeksnelheid van 0,0364°/uur. Het verschil is 0,4715°/uur. De evectie van de Maan varieert dus met een periode van360°/24 × 0,4715 = 31,8119 dagen. De modulaties op het M2 getij zijn λ2 (labda), met een hoeksnelheid van 28,9841 + 0,4715 = 29,4556 en ν2 (nu), met een hoeksnelheid van 28,9841 − 0,4715 = 28,5126°/uur. Daarnaast zijn er nog de enkeldaagse modulaties ρ1 (rho), met een periode van 14,4921 − 1,0205 = 13,4715°/uur, en θ1 (theta), met een periode van 14,4921 + 1,0205 = 15,5126°/uur.
Nog een afwijking in de beweging van de Maan is de variatie, beschreven doorTycho Brahe na demaansverduistering van december 1590. Daarbij beweegt de Maan sneller dan gemiddeld wanneer ze naar nieuwe- en volle maan gaat, en langzamer wanneer ze naar de kwartierstanden gaat. Ook dit is het gevolg van de gravitatie van de Zon. De periode van deze variatie is een halvesynodische maand, met een hoeksnelheid van 1,0159°/uur. De partiële getijden zijn μ2 (mu), met een hoeksnelheid van 28,9841 − 1,0159 = 27,9682°/uur, en een tweede component waarvan de hoeksnelheid exact gelijk is aan die van het S2-getij, en die daarom geen naam heeft.
De som van een cosinus met een periode van 12 uur, en een cosinus met een periode van precies de helft, is een asymmetrische kromme.Voorbeeld van een asymmetrische getijcurve, veroorzaakt door ondiepwatergetijden: IJmuiden, 21 januari 2012 (bron:Rijkswaterstaat)
Wanneer de getijgolf terechtkomt in ondiep water, zoals de Noordzee, kan ze zich bij hoogwater sneller voortplanten dan bij laag (zie:voortplantingssnelheid van oppervlaktegolven). Dit is te vergelijken met dezeedeining die een strand nadert. De golf verandert van vorm: één kant wordt steiler, de andere minder steil. De partiële getijden die hierdoor met een fourieranalyse worden gevonden zijn niet te verklaren uit de beweging of afstand van Maan of Zon. Wél hebben ze hoeksnelheden die een geheel veelvoud zijn van een van die astronomische componenten. Naast M2 vinden we bijvoorbeeld M4, M6, M8 en eventueel nog hogere harmonischeboventonen; naast S2 vinden we S4, S6, enzovoorts. Daarnaast vinden we samengestelde componenten, met een periode die samengesteld gedacht kan worden uit de periodes van enkeldaagse en (hoofdzakelijk) dubbeldaagse componenten. De meeste hebben daarom een naam gekregen die een combinatie is van de namen van die samenstellende getijden, waarbij het subscript (soms ook wel als normaal cijfer weergegeven) altijd het aantal periodes per dag aangeeft. Zo is 2MN6 = 2 × M2 + N2. 4MN6 isniet = 4 × M2 + N2, doordat dat 10 periodes per dag oplevert, wat niet klopt met het subscript 6, maar het is 4 × M2 − N2, wat inderdaad 6 periodes per dag oplevert. Een ander voorbeeld: 3M2S2 = 3 × M2 − 2 × S2.
De amplitude en de timing van het getij worden bepaald door de relatieve bewegingen van Zon en Maan ten opzichte van de Aarde. Deze bewegingen zijn met slechts een handvol parameters te beschrijven. De BritseoceanograafArthur Thomas Doodson (1890-1968) maakte hiervan gebruik door de partiële getijden te coderen aan de hand van zes parameters.[10]
T = middelbare maanstijd; functie van de aardrotatie ten opzichte van de Maan, hoeksnelheid14,4920521°/uur
s = middelbare lengte van de Maan; functie van de siderische omloop van de Maan om de Aarde, hoeksnelheid0,5490165°/uur
h = middelbare lengte van de Zon; functie van de siderische omloop van de Aarde om de Zon, hoeksnelheid0,0410686°/uur
p = lengte van het perigeum; functie van de siderische rotatie van de apsidenlijn van de Maan, hoeksnelheid0,0046418°/uur
N = lengte van de klimmende maansknoop; functie van de siderische omloop van de maansknoop over de ecliptica, hoeksnelheid−0,0022064°/uur
ps = lengte van het perihelium; functie van de siderische rotatie van de apsidenlijn van de baan van de Aarde, hoeksnelheid0,00000196°/uur
Alle andere fenomenen kunnen uit deze parameters worden afgeleid. Zo is T + s − h = 15°/uur, de rotatiesnelheid van de Aarde ten opzichte van de Zon, en360°/24(s − h) = 29,53 dagen, de lengte van de synodische maand.
Ook van elk partieel getijde is uit te drukken hoe dat is samengesteld uit de zes primaire parameters. Doodson gebruikte dit om een eenvoudige en overzichtelijke code aan elk partieel getijde toe te kennen. Zo is de hoeksnelheid van M2 uit te drukken als 2 × T en 0 × alle andere parameters: 2,0,0,0,0,0. Component ν2 is uit te drukken als 2 × T, −1 × s, 2 × h, −1 × p en 0 × de parameters N en ps: 2,−1,2,−1,0,0. Deze codering staat bekend als de Doodson-coëfficiënten.[27]
In de onderstaande tabel zijn de in de tekst genoemde partiële getijden te vinden. Van elke component zijn de hoeksnelheid, de periode en de Doodson-coëfficiënten opgenomen. Niet vermeld is de amplitude omdat die van plek tot plek sterk verschilt. Het belang van de genoemde componenten voor het getij kan dus niet uit de tabel worden opgemaakt.
De belangrijkste componenten van de getijdenkrachten zijn de enkeldaagse en de dubbeldaagse componenten. Welke de sterkste waterbeweging veroorzaakt in een zee, hangt af van de sterktes van deze componenten en van deresonantiefrequenties van die zee. De sterktes van de componenten worden bepaald door de geografische breedte. De resonantiefrequenties van de zee worden bepaald door de vorm van die zee. Er wordt onderscheid gemaakt tussen drie types.[28]
Bij een dubbeldaags getij is er in iets meer dan een etmaal tweemaal hoogwater en tweemaal laagwater, waarbij de beide hoogwaters min of meer even hoog, en de beide laagwaters ongeveer even laag komen.Springtij treedt op met tussenpozen van 14 3/4 dag, namelijk ongeveer twee dagen na volle ofnieuwe maan. De tijdstippen van hoog- en laagwater vallen iedere dag ongeveer een uur later dan die op de vorige dag. Wanneer het getij een halve cyclus van de Maan heeft doorlopen, vallen de hoog- en laagwaters weer ongeveer op hetzelfde tijdstip als aan het eind van de vorige halve cyclus. De hoogwaters op de dag van springtij vallen dus altijd op voor die locatie ongeveer vaste tijdstippen. Doodtij valt zeven dagen na springtij. Het dubbeldaags getij treedt op in deIndische Oceaan, deAtlantische Oceaan met uitzondering van deGolf van Mexico,Nieuw-Zeeland, de Oostkust vanAustralië, grote delen van de Westkust vanMidden- enZuid-Amerika en enkele andere verspreid liggende gebieden.
Bij een gemengd getij is er op bijna alle dagen een groot verschil tussen de hoogtes van de beide hoogwaters en die van de beide laagwaters. Op sommige dagen heeft het getij het karakter van een enkeldaags getij, maar over het algemeen zijn er twee hoogwaters per etmaal. Dit getijdentype komt voornamelijk voor in deGrote Oceaan.
In eensynodische maand van 29 dagen, 12 uur en 44 minuten staan de Zon, de Aarde en de Maan tweemaal op één lijn – bijvolle ennieuwe maan. Hierbij versterken de getijdenkrachten van de Maan en Zon elkaar en treden er hogere hoogwaterstanden en lagere laagwaterstanden op. Dit isspringtij. Bij heteerste enlaatste kwartier verzwakken de getijdenkrachten elkaar en treden er minder hoge hoogwaterstanden en minder lage laagwaterstanden op. Dit is hetdoodtij.
Getijgolf in de NoordzeeLaag water aan de kust van Bretagne
DeNoordzee heeft een uitgesproken dubbeldaags getij. De getijdenbeweging in de Noordzee wordt veroorzaakt door twee getijgolven.
De eerste getijgolf komt vanuit het zuiden, vanaf de Atlantische Oceaan via hetNauw van Calais de Noordzee binnen. Deze getijgolf wordt in de zuidelijke Noordzee tegen de wijzers van de klok in omgebogen en versmelt in dit gebied met de getijgolf uit het noorden. Ze is voor de Noordzee van geringere invloed.
De tweede getijgolf komt vanuit het noorden vanaf deAtlantische Oceaan omSchotland heen de Noordzee binnen en beweegt zich vervolgens eerst langs de oostkust van Schotland enEngeland zuidwaarts. Zij wordt tegen de wijzers van de klok in omgebogen in het nauwere zuidelijke deel van de Noordzee om zich, na versmelting met de restanten van de zuidelijke getijgolf, verder in noordoostelijke richting langs de kust van Nederland, Duitsland en Denemarken voort te bewegen.
Karakteristiek voor met name de zuidelijke Noordzee is de geringe dagelijkse ongelijkheid, ondanks de ligging op grotere breedtegraad. Dit komt doordat de twee getijgolven die het getij in de Noordzee bepalen een halve dag met elkaar in leeftijd verschillen. Wanneer de ene golf als gevolg van de dagelijkse ongelijkheid verhoogd is, dan is de andere juist verlaagd, en omgekeerd.
De tijden waarop eb en vloed optreden op een punt langs de kust worden sterk bepaald door de lokalegeografie.
Voor de Nederlandse kust geldt dat de tijden van hoog- en laagwater zich vrij regelmatig verlaten vanaf deWielingen tot aanDelfzijl. Het gemiddeld havengetal (tijd tussen doorgang van de Maan door de plaatselijke meridiaan en het eerstvolgende hoogwater) is voorVlissingen 0 uur en 52 minuten, voorHoek van Holland 1 uur en 30 minuten,IJmuiden 2 uur 37,Den Helder 7 uur 4,Harlingen 9 uur 7, enDelfzijl 11 uur en 11 minuten. Het getijverschil (verschil in waterhoogte van hoog- en laagwater) bedraagt bij Vlissingen gemiddeld ongeveer 382 cm. Bij Hoek van Holland is dat slechts 169 cm, en bij Den Helder 137 cm. Daarna neemt het echter weer toe: bij Harlingen is het 201 cm en bij Delfzijl 299 cm.
DeMiddellandse Zee heeft bijna geen getijden. Het verschil tussen hoog- en laagwater bedraagt gemiddeld maar ongeveer 15 centimeter. Deze binnenzee is te klein om een eigen getijde te laten ontstaan, en het getij in de Middellandse Zee wordt dus hoofdzakelijk bepaald door de getijgolf die van deAtlantische Oceaan via de nauweStraat van Gibraltar binnenkomt. De hoeveelheid water die daar per getij kan passeren kan slechts een kleine getijdenbeweging in de Middellandse Zee in stand houden.
Er zijn verschillende niveauvlakken gedefinieerd. Een aantal daarvan is eenvoudig uit te drukken in een harmonische formule van partiële getijden, maar bij de astronomische getijden zijn deze zeer ingewikkeld. Een aantal is gebaseerd op waarnemingen over een periode van 19 jaar, deMetoncyclus. Enkele waterstanden worden gebruikt alsreductie- of hoogteherleidingsvlak.
De gemiddelde hoogte van het zeeoppervlak bij een meetstation voor alle fases van het getij over een periode van 19 jaar, over het algemeen bepaald aan de hand van uurlijkse opnames gemeten ten opzichte van een vast referentievlak
Z0
Dubbeldaags getij
Gemiddeld hoogwaterspring
Mean high water spring
MHWS
De gemiddelde hoogte van hoogwater tijdens springtij
Z0 + M2 + S2
Gemiddeld hoogwaterdoodtij
Mean high water neap
MHWN
De gemiddelde hoogte van hoogwater tijdens doodtij
Z0 + M2 − S2
Gemiddeld laagwaterdoodtij
Mean low water neap
MLWN
De gemiddelde hoogte van laagwater tijdens doodtij
Z0 − M2 + S2
Gemiddeld laagwaterspring
Mean low water spring
MLWS
De gemiddelde hoogte van laagwater tijdens springtij
Z0 − M2 − S2
Enkeldaags getij
Gemiddeld hoog-hoogwater
Mean higher high water
MHHW
De gemiddelde hoogte van hoog-hoogwater op een locatie over een periode van 19 jaar
Z0 +M2 + K1 + O1/2
Gemiddeld laag-hoogwater
Mean lower high water
MLHW
Z0 +K1 + O1 − M2/2
Gemiddeld hoog-laagwater
Mean higher low water
MHLW
Z0 +M2 − K1 + O1/2
Gemiddeld laag-laagwater
Mean lower low water
MLLW
De gemiddelde hoogte van laag-laagwater op een locatie over een periode van 19 jaar
Het hoogste getijdenniveau dat voorspeld kan worden onder gemiddelde meteorologische omstandigheden en onder elke combinatie van astronomische omstandigheden
Laagste astronomische getij
Lowest astronomical tide
LAT
Het laagste getijdenniveau dat voorspeld kan worden onder gemiddelde meteorologische omstandigheden en onder elke combinatie van astronomische omstandigheden
(en)Schureman, P. (1940).Manual of Harmonic Analysis and Prediction of Tides, U.S. Department of Commerce; Coast and Geodetic Survey, Special publication 58 (revised edition)
(en)Godin, G. (1972).The Analysis of Tides, University of Toronto Press/Liverpool University Press
Draaisma, Y. et al. (1979).Leerboek navigatie, deel 1, hoofdstuk 4, Horizontale en vertikale waterbeweging: 89–103. De Boer Maritiem, Houten
Draaisma, Y. et al. (1982).Leerboek navigatie, deel 2, hoofdstuk 4, Watergetijden: 96–120. De Boer Maritiem, Houten
(en) NP 100 (2004).The Mariner's Handbook, The United Kingdom Hydrographic Office
(en)Cartwright, D.E. (1999).Tides, a scientific history, Cambridge University Press, Cambridge
Noten en referenties
↑Plinius de Oudere (77).Naturalis historiaboek 2, hoofdstuk 99 (in de Engelse vertaling van 1855 door John Bostock en H.T. Riley).
↑De theorie werd pas in 1664 postuum gepubliceerd.
↑Newton, I. (1687).Philosophiae Naturalis Principia Mathematica,Liber III,Propositio XXIV,Theorema XIX, p. 429 (424 in 3e druk, 1726), enPropositiones XXXVI en XXXVII,Problemata XVII en XVIII, p. 463 (464 in 3e druk).Theorema XIX was in de eerste druk abusievelijk XX genummerd. Van de tweede druk (1713) verscheen in 1729 een door Andrew Motte volledig in het Engels vertaalde editie, die nog altijd goed leesbaar is. De eerste Amerikaanse uitgave van dePrincipia (1848), gebaseerd op de vertaling van Motte maar bewerkt door N.W. Chittenden, is in feite de vertaling van de derde druk van 1726.
↑Bernoulli, D. (1741).Traité sur le flux et le reflux de la mer. in Pièces qui ont remporté le prix de l'Académie Royale des Sciences en 1740 sur le flux et réflux de la mer:53–191. Dit was een van de vier prijswinnende inzendingen voor de competitie van 1740, uitgeschreven door deAcadémie Royale des Sciences in Parijs. De andere prijswinnaars warenAntoine Cavalleri,Colin Maclaurin enLeonhard Euler.
↑Michelson, I. (1974).Tide's Tortured Theory, in:Bulletin of the Atomic Scientists30(3):31–34
↑Laplace publiceerde in deMémoires de l'Académie royale des Sciences de Paris onder de titelRecherches sur plusieurs points du Système du Monde een mémoire in twee delen, waarvan het eerste deel in de mémoires van 1775, het tweede deel opp. 177 e.v. in de mémoires van 1776, uitgegeven 7 oktober 1778, verscheen. Dat tweede deel is de hier bedoelde verhandeling, waarin hij voor het eerst een dynamische theorie van het getij uiteenzette. Deze mémoire is ook opgenomen inTraité de mécanique céleste, dat vanaf 1798 werd uitgegeven.Gearchiveerd op 1 maart 2019.
↑Paul Schureman stelt inManual of Harmonic Analysis and Prediction of Tides (1940), p. 1, dat William Thomson aan de basis stond van de toepassing van de harmonische analyse voor het ontleden van het getij in verschillende componenten.
↑Het theoretisch dichtstbijzijnde punt van Venus (afstand tot de Zon 1,0821 · 1011 m) is als de Aarde in het perihelium staat (afstand tot de Zon 0,98 AE) en Venus op een rechte lijn tussen Aarde en Zon: 3,8396 · 1010 m. Met een massa van 4,8561 · 1024 kg, zou de versnelling van de getijdenkracht van Venus (verschil tussen de aantrekking in zenit en nadir) 1,461 · 10−10 m/s2 zijn, ofwel ruim 15.000 keer zo klein als die van de Maan. De maximale versnelling van de getijdenkracht van Jupiter (massa 1,899 · 1027 kg, minimale afstand 6,258 · 1011 m) op Aarde is zelfs 167.000 keer zo klein als die van de Maan. Hiermee is niet gezegd dat de aantrekkingskracht van andere hemellichamen op de Aarde te verwaarlozen is: de vorm van de baan wordt er bijvoorbeeld wél door beïnvloed.
↑Bearman, G. [ed.] (1989; reprinted 1993 with corrections).Waves, tides and shallow-water processes, The Open University and Pergamon Press, Milton Keynes/Oxford.
↑Voor de Zon is dit tijdens de dag- en nachtevening, dus rond 21 maart en 21 september, voor de Maan is dat tweemaal perdraconitische maand (iets meer dan 27 dagen).
↑Afstand tot de Maan is (gemiddeld) 3,844 · 108 m; de massa van de Maan is 7,35 · 1022 kg
↑Afstand tot de Zon is (gemiddeld) 1,496 · 1011 m; de massa van de Zon is 1,989 · 1030 kg
↑Zie bijvoorbeeldSchureman, P. (1940).Manual of Harmonic Analysis and Prediction of Tides:Development of Tide-producing Force, p. 10 e.v. enGodin, G. (1972).The Analysis of Tides: p. 7 e.v. van deIntroduction.
↑Dit is slechts een theoretische beperking, zowel in het geval van de Maan als dat van de Zon. De Maan zou door haar geringere massa veel eerder binnen de Rochelimiet van de Aarde komen dan de Aarde binnen die van de Maan. De Aarde zou al met de Zon gebotst zijn voordat ze binnen de Rochelimiet van de Zon zou komen. ZieDe Rochelimiet in bepaalde gevallen.
↑De baansnelheid van de Zon is schijnbaar doordat de Zon niet om de Aarde draait maar de Aarde om de Zon.
↑In de praktijk worden ze om de pakweg 10 jaar opnieuw geijkt om kleine veranderingen als gevolg van het verlopen van geulen of verandering van de kust te kunnen verwerken in getijvoorspellingen.
↑ZieDraaisma, Y. et al. (1986).Leerboek navigatie, De Boer Maritiem, Houten, deel 2: p. 103. Hier wordt het ontleden van het getij in componenten met constante amplitude besproken maar niet strikt het wiskundig bewijs geleverd dat het resultaat hetzelfde is als bij een component met een periodiek variërende amplitude.
↑Bij berekeningen met betrekking tot het getij worden meestal niet de echte siderische periodes gebruikt (die de bewegingen ten opzichte van de vaste sterrenhemel weergeven) maar de bewegingen ten opzichte van hetlentepunt. Het lentepunt verschuift westwaarts over de ecliptica, dus in dezelfde richting als de klimmende maansknoop maar in een richting tegengesteld aan alle andere astronomische componenten, zoals de rotatie van de aarde, de beweging van de Maan om de Aarde en die van de Aarde om de Zon. De hoeksnelheid van het lentepunt is −0,000 001 593 6°/uur (waardeIAU volgensSterrengids 1999) en het duurt dus bijna 26.000 jaar voordat het één keer rond is. Aangezien de beweging van het lentepunt zelf voor het getij niet van belang is, maakt het voor de nauwkeurigheid van de berekeningen niet uit of ze ten opzichte van de vaste sterren of ten opzichte van het lentepunt worden gemaakt. In de hier gegeven getallen is het verder niet te zien doordat het verschil pas in de zesde decimaal tot uiting komt.
↑Als ze dezelfde amplitude hebben is dat eenvoudig aan te tonen, zoals de volgende uitwerking laat zien (metα is hoeksnelheid enb is faseverschil):
Hierin heeft een constantfaseverschil met, en is de amplitude die alleen van afhangt en dus voor een gegeven faseverschil constant is. Als beide componenten niet dezelfde amplitude hebben, is het bewijs wat bewerkelijker maar ook dan is de uitkomst een harmonische kromme met dezelfde hoeksnelheid, in de vorm, waarinA de constante amplitude is, enB het constante faseverschil met.
↑Schureman, P. (1940).Manual of Harmonic Analysis and Prediction of Tides :Astronomical data alinea 12, p. 4
↑Een volledige siderische rotatie van de apsidenlijn, dus een rotatie ten opzichte van de vaste sterren, duurt veel langer: ongeveer 8,85 jaar. Vaak wordt dit overigens niet een rotatie van de apsidenlijn genoemd maar een omloop van het perigeum.
↑De "keuze" is welk referentiepunt wordt gebruikt om de snelheid van een rotatie of een revolutie vast te leggen. Zo kan voor de aardrotatie de vaste sterrenhemel als referentie gekozen worden, waarbij de parameterT de hoeksnelheid van een siderische dag krijgt (15,041067°/uur), of de Zon, waarbij de hoeksnelheid die van een middelbare zonnedag is (exact 15°/uur), of de Maan, waarbij de hoeksnelheid die van een middelbare maansdag is (14,4920521°/uur). Doodson koos bij de aardrotatie, om praktische redenen, zoals hij zelf op p. 310 in zijn artikel van 1921 uitlegt, voor de laatste en nam bij de overige vijf parameters de vaste sterrenhemel als referentiepunt. In sommige publicaties wordt voorT niet de middelbare maanstijd maar de middelbare zonnetijd gekozen, met een hoeksnelheid van exact 15°/uur. In dat geval wordt de hoeksnelheid van de roterende Aarde ten opzichte van de Maan gegeven doorT − s + h en verandert uiteraard ook de codering voor alle andere componenten waarinT voorkomt.
↑Om negatieve getallen in de codering te vermijden, telde Doodson bij alle coëfficiënten 5 op, behalve bij de eerste. De codering voor M2 wordt dan (in plaats van 2,0,0,0,0,0) 255.555. Deze laatste vorm, in dit artikel verder niet gebruikt, staat bekend als het Doodson-nummer van de component. Tegenwoordig kan men ook hetExtended Doodson Number (XDO) tegenkomen. Dit bestaat niet uit zes maar uit zeven cijfers, waarin het laatste cijfer codeert wat het teken van de component is (+ of −) en of het een sinus of een cosinus betreft.
↑Voor een overzichtskaart van de gebieden met een van de drie getijdentypen, zieNOAA website.Gearchiveerd op 25 juni 2023.
