Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Naar inhoud springen
Wikipediade vrije encyclopedie
Zoeken

Gemiddelde

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Bijrekenen en in dewiskunde is hetgemiddelde of degemiddelde waarde een begrip dat veelvuldig voorkomt. Het bekendste is hetrekenkundig gemiddelde: desom van een aantalgetallen gedeeld door het aantal getallen.

Statistiek

[bewerken |brontekst bewerken]

In destatistiek wordt het begrip gemiddelde veel gebruikt. We moeten hierbij onderscheiden of het om de gehelepopulatie gaat of om eensteekproef daaruit.

Populatiegemiddelde

[bewerken |brontekst bewerken]

In de statistiek wordt het populatiegemiddelde van een kenmerkende grootheid vaak aangeduid met deGriekse letterμ{\displaystyle \mu }. Voor een eindige populatie is het populatiegemiddelde niets anders dan het rekenkundig gemiddelde van alle populatiewaarden.

Bijaselecte trekking van een waardeX{\displaystyle X} van die grootheid uit de populatie, is dekansverdeling vanX{\displaystyle X} de populatieverdeling, met als gevolg dat deverwachtingswaarde vanX{\displaystyle X} gelijk is aan het populatiegemiddelde.

HeeftX{\displaystyle X} een discrete verdeling metkansfunctiep(x){\displaystyle p(x)}, dan is de verwachtingswaarde gedefinieerd door:

μ=E⁡(X)=∑ixip(xi){\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)=\sum _{i}x_{i}p(x_{i})}

AlsX{\displaystyle X} een continue verdeling heeft metkansdichtheidf(x){\displaystyle f(x)}, dan is de verwachtingswaarde gedefinieerd door:

μ=E⁡(X)=∫xf(x)dx{\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)=\int xf(x)\,\mathrm {d} x}

Het is echter vaak onmogelijk om het populatiegemiddelde te bepalen. Is men bijvoorbeeld geïnteresseerd in het gemiddelde gewicht van deSumatraanse neushoorn, dan kan men dat gewoon bepalen, omdat er nog maar zo'n 250 van zijn. Bij muskieten ligt dat echter heel anders. Er zijn er gewoon te veel om ze allemaal te kunnen onderzoeken. In zo'n geval nemen statistici hun toevlucht tot eensteekproef om door de berekening van het steekproefgemiddelde eenschatting te krijgen van het populatiegemiddelde.

Steekproefgemiddelde

[bewerken |brontekst bewerken]

Het steekproefgemiddelde is het rekenkundige gemiddelde van de steekproef. Als de steekproefuitkomst bestaat uit den{\displaystyle n} elementenx1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}, dan is het steekproefgemiddelde het getal:

x¯=1n∑i=1nxi{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}

In de theorie is men niet zozeer geïnteresseerd in de uitkomsten, maar in het stochastisch gedrag van de steekproef. De steekproef bestaat uit den{\displaystyle n}stochastische variabelenX1,…,Xn{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} en het steekproefgemiddelde is de variabele:

X¯=1n∑i=1nXi{\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}

Het steekproefgemiddeldex¯{\displaystyle {\bar {x}}} wordt vaak gebruikt om iets te zeggen over het populatiegemiddeldeμ{\displaystyle \mu }. Het wordt dan opgevat als een realisatie van het steekproefgemiddeldeX¯{\displaystyle {\bar {X}}}. Daar zitten echter een paar haken en ogen aan. Als de steekproefaselect was, is het steekproefgemiddelde een goede benadering, of schatting, van het populatiegemiddelde. Dan zijn de steekproefelementenXi{\displaystyle X_{i}} onderling onafhankelijk engelijkverdeeld, b.v. alsX{\displaystyle X}, zodat, mitsE⁡X{\displaystyle \operatorname {E} X} bestaat:

E⁡X¯=1n∑i=1nE⁡Xi=E⁡X{\displaystyle \operatorname {E} {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} X_{i}=\operatorname {E} X}

Als bovendienvar⁡X<∞{\displaystyle \operatorname {var} X<\infty }, geldt ook:

var⁡X¯=1n2∑i=1nvar⁡Xi=1nvar⁡X{\displaystyle \operatorname {var} {\bar {X}}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {var} X_{i}={\frac {1}{n}}\operatorname {var} X}

Hoe goed deze benadering is, hangt nog van vele factoren af, zoals van de steekproefomvang en de onderliggende verdeling. Wanneer het aantal proeven voldoende is, is daarmee voor de steekproef eenwet van de grote aantallen bepaald. Er zijn verdelingen die geen populatiegemiddelde bezitten, omdat de bovenstaande integraal niet bestaat.

Gelukkig kunnen we vaak veronderstellen dat de onderliggende verdelingnormaal is. Dan speelt naast de verwachtingswaarde alleen destandaardafwijking een rol, waarvan we de waarde ook uit de steekproef kunnen schatten.

Soorten gemiddelde

[bewerken |brontekst bewerken]
·Overleg sjabloon ·Sjabloon bewerken
Onderwerpen uit de beschrijvende statistiek
Gemiddelden:rekenkundig gemiddelde ·meetkundig gemiddelde ·harmonisch gemiddelde ·kwadratisch gemiddelde ·gewogen gemiddelde ·getrimd gemiddelde ·Winsorgemiddelde
Andere liggingsmaten:mediaan ·modus ·kwartiel ·deciel ·percentiel
Spreidingsmaten:variantie ·standaardafwijking ·variatiecoëfficiënt ·interkwartielafstand
Grafische beschrijvingen:histogram ·boxplot ·Q-Q plot
Overig:moment ·scheefheid ·kurtosis ·vijf-getallensamenvatting
Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Gemiddelde&oldid=59048484"
Categorie:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp