Movatterモバイル変換

Naar inhoud springen

Geheel getal

Koppelingen bewerken

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Getalverzamelingen
Natuurlijke getallen Gehele getallen Rationale getallen Reële getallen Complexe getallen Quaternionen p-adische getallen Hyperreële getallen Surreële getallen Transfiniete getallen

Irrationale getallen Algebraïsche getallen Transcendente getallen Imaginaire getallen

Degehele getallen of (op debasisschool in Nederland)hele getallen zijn allegetallen in derij

…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

die voortgezet wordt door er steeds 1 bij te tellen of er 1 af te trekken. De gehele getallen omvatten0, denatuurlijke getallen,^[1] dus de getallen waarmee wordt geteld, en de tegengestelden daarvan, de negatieve gehele getallen.

Een geheel getal heet 'geheel' omdat het nietgebroken is en zondercijfers achter de komma kan worden geschreven. De getallen 21, 4 en −121 zijn bijvoorbeeld gehele getallen, terwijl 9,75, 5½ en ${\sqrt {12}}$ geen gehele getallen zijn. Deverzameling gehele getallen is eendeelverzameling van dereële getallen, en wordt meestal voorgesteld door een vet gedrukteZ of hetsymbool $\mathbb {Z}$ (Unicode U+2124 ℤ), wat voorZahlen, hetDuits voor getallen, staat.^[2]

Dewiskundetak die zich met de studie bezighoudt naar de eigenschappen van de gehele getallen, noemt men degetaltheorie.

Definitie

[bewerken |brontekst bewerken]

De gehele getallen kunnen worden gedefinieerd als de elementen van de kleinste verzameling $\mathbb {Z}$ met de eigenschappen:

0\in \mathbb {Z}

z\in \mathbb {Z} \implies z+1\in \mathbb {Z}

z\in \mathbb {Z} \implies z-1\in \mathbb {Z}

Voor de representatie van gehele getallen in decomputer maakt men gebruik van het datatypeinteger. Het is echter belangrijk daarbij op te merken dat deze twee niet hetzelfde zijn. Het datatype integer is, aangezien een integer een beperkte hoeveelheid geheugen inneemt, eeneindige verzameling, terwijl de gehele getallen eenoneindige verzameling vormen.

Eigenschappen

[bewerken |brontekst bewerken]

De verzameling gehele getallen isgesloten onderoptellen,aftrekken envermenigvuldigen: elke optelling, aftrekking of vermenigvuldiging van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal. De verzameling is niet gesloten onder de bewerkingdelen: niet elke deling van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal op, bijvoorbeeld 1/2 is eenrationaal getal. De gehele getallen vormen eenring.
De elementen van $\mathbb {Z}$ hebben een bepaalde volgorde. Strikter geformuleerd: de verzameling $\mathbb {Z}$ wordttotaal geordend door derelatie $<$ (kleiner dan) en bevat in die ordening zowel oneindig stijgende als oneindig dalende ketens.

\ldots <-2<-1<0<1<2<\ldots

Deze orde heeft de eigenschappen:

als $a<b$ en $c<d$ , dan is $a+c<b+d$
als $a<b$ en $0<c$ , dan is $ac<bc$

Bij iedere twee gehele getallen $a {\displaystyle a}$ en $b {\displaystyle b}$ , waarvan $b\neq 0$ is, zijn altijd twee unieke gehele getallen $q {\displaystyle q}$ en $r {\displaystyle r}$ te vinden, met $0\leq r<|b|$ , zodat:

a=bq+r

In bovenstaande stelling heet het getal

q {\displaystyle q}

hetquotiënt en

r {\displaystyle r}

derest van de deling van

a {\displaystyle a}

door

b {\displaystyle b}

. Deze vorm van delen heetgeheeltallige deling.

Als in bovenstaande stelling

r=0

, is debreuk

a/b=q

, dus geheel. Als

r\neq 0

, is de breuk

a/b=q

geen geheel, maar eenrationaal getal, met een geheel deel

q {\displaystyle q}

en een gebroken of fractioneel deel

r/b

.

Constructie vanuit de natuurlijke getallen

[bewerken |brontekst bewerken]

De gehele getallen kunnen ook geconstrueerd worden met behulp van de natuurlijke getallen. Zij vormen daarvan degrothendieck-groep.

Op hetcartesisch product $\mathbb {N} ^{2}$ wordt eenequivalentierelatie gedefinieerd door:

(a,b)\sim (c,d)

als

a+d=c+b

met de implicatie dat het paar $(a,b)$ staat voor het gehele getal $a-b$ .

De gehele getallen bestaan uit de equivalentieklassen $\{[(a,b)]\}$ :

\mathbb {Z} =\mathbb {N} ^{2}/\sim

,

met als optelling:

[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]

,

en als vermenigvuldiging:

(a,b)\cdot (c,d)=(ac+bd,ad+bc)

De gehele getallen zijn geordend door:

(a,b)<(c,d)

als

a+d<c+b

.

Iedere equivalentieklasse $(a,b)$ heeft een eenduidige vertegenwoordiger met $n\in \mathbb {N}$ van de vorm $(n,0)$ als $a\geq b$ , of van de vorm $(0,n)$ als $a<b$ . De equivalentieklasse $[(n,0)]$ wordt met $n {\displaystyle n}$ geïdentificeerd en voor $n\neq 0$ alspositief geheel getal aangeduid, en de equivalentieklasse $[(0,n)]$ wordt met $-n$ aangegeven ennegatief geheel getal genoemd.

Kardinaliteit

[bewerken |brontekst bewerken]

De gehele getallen kunnen afgeteld worden, anders gezegd: de verzameling $\mathbb {Z}$ isgelijkmachtig aan de verzameling $\mathbb {N}$ van natuurlijke getallen, dusaftelbaar oneindig. Beide verzamelingen bevatten als het ware "evenveel"elementen, hoewel de natuurlijke getallen toch maar een deel van de gehele getallen vormen. Dekardinaliteit van de gehele getallen wordt aangegeven met het symbool $\aleph _{0}$ (aleph-null). Dat de gehele getallen kunnen worden afgeteld, kan als volgt worden aangetoond:

{\begin{matrix}0&1&-1&2&-2&3&-3&4&-4&\ldots \\1&2&3&4&5&6&7&8&9&\ldots \end{matrix}}

Op deze manier worden de gehele getallen door debijectie $f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} \setminus {\{0\}}$ een-op-een op de natuurlijke getallen, zonder 0, afgebeeld met

f(x)={\begin{cases}2|x|+1,&{\mbox{als }}x\leq 0\\2x,&{\mbox{als }}x>0\end{cases}}

De bijectie $g:\mathbb {Z} \to \mathbb {N}$ met

g(x)={\begin{cases}2|x|,&{\mbox{als }}x<0\\0,&{\mbox{als }}x=0\\2x-1,&{\mbox{als }}x>0\end{cases}}

beeldt de gehele getallen op alle natuurlijke getallen af, met 0.

Door de definitie van kardinale gelijkheid hebben de twee verzamelingen dezelfde kardinaliteit.

Meer gehele getallen

[bewerken |brontekst bewerken]

DeGauss-gehele getallen en deEisenstein-gehele getallen zijn twee verschillende uitbreidingen van de gehele getallen naar decomplexe getallen.

Voetnoten

↑Dit is ervan afhankelijk dat 0 wel of niet bij de natuurlijke getallen wordt gerekend.
↑(en)Jeff Miller,Earliest Uses of Symbols of Number Theory.

Zie de categorieIntegers vanWikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.

Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Geheel_getal&oldid=69035975"

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp