Movatterモバイル変換

[0]ホーム
URL:

Naar inhoud springen
Wikipediade vrije encyclopedie
Zoeken

Formule van Heron

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Driehoek met zijdena{\displaystyle a},b{\displaystyle b} enc{\displaystyle c}

Met deformule van Heron kan deoppervlakteO{\displaystyle O} van eendriehoek worden berekend, uit de lengtesa{\displaystyle a},b{\displaystyle b} enc{\displaystyle c} van de zijden van de driehoek:

O=s(s−a)(s−b)(s−c){\displaystyle O={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}

waarin de semiperimeters{\displaystyle s} de halveomtrek is:

s=a+b+c2{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}

Een andere vorm mets{\displaystyle s} ingevuld is:

O=14(a+b+c)(a+b−c)(−a+b+c)(a−b+c){\displaystyle O={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)}}}

De formule staat ook bekend als des{\displaystyle s}-formule. De formule van Heron is een speciaal geval van deformule van Brahmagupta. De formule van Brahmagupta geeft de oppervlakte van eenkoordenvierhoek en een driehoek kan worden gezien als een koordenvierhoek, waarvan tweehoekpunten samenvallen.

Geschiedenis

[bewerken |brontekst bewerken]

De formule wordt toegeschreven aanHeron van Alexandrië en eenbewijs kan dan ook in zijn boekMetrica uit ongeveer het jaar 60 na Chr. worden gevonden. Er wordt gesuggereerd dat ookArchimedes, die meer dan 200 jaar eerder leefde, de formule al kende.

Een aan de formule van Heron equivalente formule:

O=12a2c2−(a2+c2−b22)2{\displaystyle O={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}}

werd door de Chinezen onafhankelijk van de Grieken ontdekt. Dit Chinese equivalent werd in 1247 gepubliceerd door de wiskundigeQin Jiushao in zijnShushu Jiuzhang, 數書九章,Wiskundige verhandeling in negen secties.

Bewijs 

Definieers=a+b+c2{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}

Deoppervlakte van△ABC{\displaystyle \triangle ABC} is gegeven door:

oppervlakte=12absin⁡γ{\displaystyle \mathrm {oppervlakte} ={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma }

Volgens decosinusregel is:

c2=a2+b2−2abcos⁡γ{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }

zodat:

cos⁡γ=a2+b2−c22ab{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}

Substitutie geeft:

oppervlakte={\displaystyle \mathrm {oppervlakte} =}

=12absin⁡γ{\displaystyle ={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma }
=12ab1−cos2⁡γ{\displaystyle ={\frac {1}{2}}ab{\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}}
=12ab(1−cos⁡γ)(1+cos⁡γ){\displaystyle ={\frac {1}{2}}ab{\sqrt {(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )}}}
=12ab(1−c2−a2−b22ab)(1+c2−a2−b22ab){\displaystyle ={\frac {1}{2}}ab{\sqrt {\left(1-{\frac {c^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}}\right)\left(1+{\frac {c^{2}-a^{2}-b^{2}}{2ab}}\right)}}}
=14(a+b+c)(a+b−c)(−a+b+c)(a−b+c){\displaystyle ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)}}}
=s(s−a)(s−b)(s−c){\displaystyle ={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}


Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Formule_van_Heron&oldid=69079758"
Categorie:
[8]ページ先頭
©2009-2025 Movatter.jp