Hetfaculteitssysteem offaculteitsstelsel is een bijzondertalstelsel. Het is een positiestelsel, maar niet op de gebruikelijke wijze. In het faculteitssysteem vertegenwoordigt een positie niet een macht van een grondtal, maar defaculteit van de positie. Met oplopende positie kunnen dus steeds meer "cijfers" gebruikt worden. De bijdrage van hetcijferc op positie${\displaystyle k}$ is dus${\displaystyle c\cdot k!}$. Om eenduidigheid te garanderen, mag op positie${\displaystyle k}$ maximaal het "cijfer"${\displaystyle k}$ gebruikt worden.

Het getal dcba in dit stelsel is dus het getal:

${\displaystyle d\cdot 4!+c\cdot 3!+b\cdot 2!+a\cdot 1!}$,

waarin${\displaystyle d}$ maximaal 4,${\displaystyle c}$ maximaal 3,${\displaystyle b}$ maximaal 2 en${\displaystyle a}$ 0 of 1 kan zijn.

In het faculteitssysteem wordt een getal voorgesteld door een rij "cijfers"${\displaystyle c_n{c}_{n-1}\dots c_2{c}_1}$, met${\displaystyle 0\le c_k\le k}$, en de betekenis:

${\displaystyle c_n{c}_{n-1}\dots c_2{c}_1=\sum _{k=1}^n{c}_{k}k!}$

Het faculteitssysteem is eenduidig, elk getal kan maar op één manier in het faculteitssysteem worden geschreven. Dit berust op de volgende betrekking:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k\cdot k!=(n+1)!-1}$

Het bewijs volgt direct viavolledige inductie, want

${\displaystyle \sum _{k=1}^{1}k\cdot k!=1\cdot 1!=(1+1)!-1}$

en

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k\cdot k!+(n+1)(n+1)!=(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!=(n+2)!-1}$