Movatterモバイル変換

Naar inhoud springen

Ellipsoïde

Koppelingen bewerken

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Ellipsoïde met (a, b, c) = (4, 2, 1)

Eenellipsoïde is eenkwadratisch oppervlak met drie loodrechte symmetrieassen.

De relatie die een ellipsoïde in hetCartesisch coördinatenstelsel beschrijft is:

{x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1

Waarina,b enc de vorm van de ellipsoïde vastlegt en er geldt:

$a={\tfrac {1}{2}}L$ : helft van maximale lengte
$b={\tfrac {1}{2}}B$ : helft van maximale breedte
$c={\tfrac {1}{2}}H$ : helft van maximale hoogte

Wanneera =b =c geldt dan betreft het eenbol.

Als we stellena ≥b ≥c, dan geldt voor:

a ≠ b levert eenongelijke ellipsoïde
c = 0 &a ≠c &b ≠c levert eenplatteellips
b =c &a ≠b &a ≠c levert eenprolatesferoïde (sigaarvormig)
a =b &a ≠c &b ≠c levert eenoblate sferoïde (pilvormig)
a =b =c levert een bol.

Elke ellipsoïde kan worden gevormd door een bol in een of twee richtingen (langs orthogonale assen) te verschalen.

Parametervergelijking

[bewerken |brontekst bewerken]

Constructie van een oblate ellipsoïde, door het wentelen van eenellips (zwart) rond zijn kleine as (oranje)

De volgende parametervergelijking stelt een ellips in het xy-vlak voor: $[a\cos(\theta ),b\sin(\theta ),0]{\frac {}{}}$ ( $\theta$ van 0 tot $2\pi$ ), narotatie rond bijvoorbeeld de x-as wordt de parametervergelijking $[a\cos(\theta ),b\sin(\theta )\cos(\phi ),b\sin(\theta )\sin(\phi )]{\frac {}{}}$ , ( $\theta$ en $\phi$ van 0 tot $2\pi$ )Hiermee kan een prolate of oblate ellipsoïde worden geconstrueerd, maar niet een ongelijke.

Volume

[bewerken |brontekst bewerken]

Hetvolume van een ellipsoïde is eenvoudig te berekenen met de relatie:

V={\tfrac {4}{3}}\pi abc

Uitgaande van de maximale lengte, breedte en hoogte wordt het volume uitgedrukt door:

V={\tfrac {1}{6}}\pi LBH\approx 0{,}524\ LBH

Oppervlakte

[bewerken |brontekst bewerken]

Deoppervlakte is een stuk lastiger om te berekenen. Analytische afleiding geeft:

A=2\pi \left(c^{2}+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(\theta ,m)+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(\theta ,m)\right)

waarvoor geldt:

m={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}}

\theta =\arcsin {\left(e\right)}

e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}

en $F(\theta ,m)$ en $E(\theta ,m)$ zijn onvolledigeelliptische integralen van de eerste en tweede orde.

Bij benadering levert dit de volgende relaties op:

platte Ellips:

=2\pi \left(ab\right)

(factor 2 vanwege bovenste plak + onderste plak)

prolate ellipsoïde:

\approx 2\pi \left(c^{2}+ac{\frac {\arcsin {\left(e\right)}}{e}}\right)

oblate ellipsoïde:

\approx 2\pi \left(a^{2}+c^{2}{\frac {\operatorname {arctanh} {\left(e\right)}}{e}}\right)

ongelijke ellipsoïde:

\approx 4\pi \left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}

Voorp ≈ 1,6075 geeft dit een relatieve fout van maximaal 1,061% (Knud Thomsens formule); een waarde vanp = 8/5 = 1,6 is optimaal voor bijna sferische ellipsoïden, met een relatieve fout van maximaal 1,178% (David W. Cantrells formule).

De bol en drie soorten ellipsoïden in beeld: blauw de ongelijke, geel de prolate en rood de oblate vorm.

Zie ook

[bewerken |brontekst bewerken]

Overgenomen van "https://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Ellipsoïde&oldid=67009911"

[8]ページ先頭

©2009-2025 Movatter.jp