DeEinstein-tensor is eentensor die dekromming van de ruimtetijd uitdrukt in dealgemene relativiteitstheorie. De tensor maakt deel uit van deEinstein-vergelijkingen, is een van detensoren in de algemene relativiteitstheorie en geeft de evenredigheidsrelatie weer tussen de kromming en deenergie, inclusief die vertegenwoordigd doorrustmassa, per volume-eenheid.

Er komen in de Einstein-tensortweede afgeleiden van demetriek van een gegeven ruimte voor. Dat kan in dewiskunde iedereruimte zijn, maar innatuurkunde heeft de ruimte de betekenis van de vierdimensionaleruimtetijd en is de einstein-tensor dan ook de kromming van de gegeven ruimtetijd.

De Einstein-tensor${\displaystyle \mathbf{G}}$ wordt gedefinieerd als eentensor van rang 2 op eenriemann-variëteit als:

${\displaystyle \mathbf{G}=\mathbf{R}-\frac{1}{2}\mathbf{g}R}$

met${\displaystyle \mathbf{R}}$ dericcitensor,${\displaystyle \mathbf{g}}$ demetrische tensor en${\displaystyle R}$ descalaire kromming. Dit wordt door de nodigeindices toe te voegen:

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R.}$

Gegeven demetrische tensor kunnen de riccitensor en de scalaire kromming eenduidig worden bepaald, dus kan de Einstein-tensor in principe expliciet in termen van de metriek worden geschreven. Omdat deze formule er niet eenvoudig uitziet, verkiest men meestal de bovenstaande, impliciete definitie van de einstein-tensor. Deze kan berekend worden aan de hand van de uitdrukking voor de riccitensor in termen van dechristoffel-connectie:

hierin is${\displaystyle {\delta }_{\beta }^{\alpha }}$ dekronecker-tensor en zijn de christoffel-symbolen${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }}$ gedefinieerd als

${\displaystyle {\mathrm{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }=\frac{1}{2}{g}^{\alpha ϵ}(g_{\beta ϵ,\gamma }+g_{\gamma ϵ,\beta }-g_{\beta \gamma ,ϵ})}$

De concrete uitdrukking voor${\displaystyle \mathbf{G}}$ ziet er niet eenvoudig uit en wordt meestal niet vermeld.

De einstein-tensor komt voor in het linkerlid van deEinstein-vergelijkingen:

${\displaystyle G_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }.}$

Dit ziet er in denatuurlijke eenheden uit als

${\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}$

Daarnaast kunnen ook de bianchi-identiteiten eenvoudig met behulp van de einstein-tensor worden geschreven:

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}_{\mu }{G}^{\mu \nu }=0}$

De eenvoud van deze vergelijkingen, uitgedrukt met de einstein-tensor toont de diepe geometrische en fysische betekenis ervan aan.

• Ohanian, Hans C., Remo Ruffini (1994). Gravitation and Spacetime, Tweede editie. W. W. Norton & Company. ISBN 0-393-96501-5.
• Martin, John Legat (1995). General Relativity: A First Course for Physicists, Revised edition. Prentice Hall. ISBN 0-13-291196-5.

• Albert Einstein
• Differentiaalmeetkunde
• Tensoren in de relativiteitstheorie