Kvjat nam deel aan deToyota Racing Series in 2011 voor het teamVictory Motor Racing, waar hij als vijfde in het kampioenschap eindigde met één overwinning opManfield en vijf andere podiumplaatsen.
Na twee races in deEurocup Formule Renault 2.0 voor het teamKoiranen Bros. Motorsport in 2010 ging Kvjat voor dit team rijden in de Eurocup en deFormule Renault 2.0 NEC, samen met zijn Red Bull Junior Team-teamgenootCarlos Sainz jr. Kvjat eindigde als tweede in het kampioenschap achter Sainz in de NEC met 7 overwinningen. In de Eurocup eindigde hij als derde achterRobin Frijns en Sainz met twee overwinningen.
In 2012 reed Kvjat nog steeds in de Formule Renault, maar nu in deFormule Renault 2.0 Alps en in de Eurocup, nog steeds voor het team Koiranen. In de Eurocup eindigde hij als tweede achterStoffel Vandoorne met 7 overwinningen. Ook in de Alps behaalde hij 7 overwinningen, hier werd hij kampioen.
Eind 2012 werd bekend dat Kvjat in2013 in deGP3 Series ging racen voor het team vanMWArden. Hij werd hier opnieuw teamgenoot van Sainz en ook vanRobert Vișoiu.[1] Na een redelijke start van het seizoen behaalde hij op deHungaroring zijn eerste podiumplaats en opSpa-Francorchamps zijn eerste overwinning, waar hij op hetAutodromo Nazionale Monza een tweede overwinning aan toevoegde en op hetYas Marina Circuit een derde. Met deze laatste overwinning haalde hijFacu Regalia in en behaalde hij het kampioenschap.
In zijn eerste Grand Prix op hetAlbert Park Street Circuit eindigde Kvjat oorspronkelijk als tiende, waardoor hij zijn eerste Formule 1-punt behaalde. Hij verbrak hiermee het record van jongste coureur ooit die een punt scoorde, aangezien hij 25 dagen jonger was danSebastian Vettel op het moment dat Vettel het record neerzette. Door een diskwalificatie vanDaniel Ricciardo schoof Kvjat achteraf ook nog door naar de negende positie, goed voor twee punten. Ook in zijn tweede race op hetSepang International Circuit behaalde hij met een tiende plaats één punt. Gedurende het seizoen behaalde hij nog driemaal punten, waarna tijdens de Grand Prix van Japan bekend werd dat hij in 2015 Vettel zou vervangen bij het zusterteamRed Bull Racing.[3]
Na een moeilijke start van het seizoen2015 behaalde Kvjat na een vierde plaats in Monaco zijn eerste podiumplaats in Hongarije met een tweede plaats achter Vettel, die hij in handen kreeg nadat teamgenoot Ricciardo in aanraking kwam metMercedes-coureurNico Rosberg, waardoor zij allebei een pitstop moesten maken. Uiteindelijk eindigde hij als zevende in het klassement, waarbij hij Ricciardo met drie punten verschil wist te verslaan.
In2016 kende Kvjat opnieuw een moeilijke start van het seizoen, maar behaalde hij tijdens de derde Grand Prix in China zijn tweede podiumplaats in de Formule 1. Dit ging echter niet probleemloos, aangezien Vettel hem beschuldigde van een startcrash. Kvjat zou Vettel te weinig ruimte hebben gegeven in de eerste bocht, waardoor Vettel tegen zijn teamgenootKimi Räikkönen botste. Hierbij kreeg Kvyat de bijnaam ''Torpedo'' In de volgende race op 1 mei in Rusland kwamen de twee coureurs elkaar weer tegen op de baan, waarbij Kvjat in de openingsronde tot tweemaal toe tegen Vettel botste, waarbij de tweede crash de race van Vettel beëindigde. Vier dagen later werd Kvjat per direct vervangen doorMax Verstappen en werd Kvjat teruggezet naar Toro Rosso.[4] Als reden werd gegeven dat Kvjat de druk niet aankon. Sindsdien scoorde hij slechts vier punten met twee tiende plaatsen inSpanje enGroot-Brittannië en een negende positie inSingapore, waarmee hij veertiende werd in het kampioenschap met 25 punten.
In oktober 2016 maakte het Scuderia Toro Rosso-team bekend dat Kvjat een verlenging van zijn contract van een jaar had gekregen.[5] Hij kende een moeilijk seizoen, waarbij hij enkel tijdens de Grands Prix inAustralië enSpanje punten scoorde met twee negende plaatsen. Voorafgaand aan deGrand Prix van Maleisië maakte Toro Rosso bekend dat Kvjat tijdens de "komende Grands Prix" wordt vervangen door Red Bull Junior Team-lidPierre Gasly.[6] Vanaf deGrand Prix van de Verenigde Staten keerde hij terug bij het team om Carlos Sainz jr. te vervangen, die op zijn beurt vertrok naar het teamRenault omJolyon Palmer te vervangen.[7] Deze comeback was echter van korte duur, aangezien hij voor de daaropvolgende Grand Prix inMexico weer werd vervangen doorBrendon Hartley.[8] Op 25 oktober werd bekendgemaakt dat Kvjat definitief bij Toro Rosso ontslagen was.
Na zijn gedwongen vertrek uit Toro Rosso en het Red Bull-programma, werd op 10 januari 2018 bekend dat Kvjat in2018 aan de slag gaat als ontwikkelingscoureur bij het team vanFerrari.[9] In2019 keert hij echter weer terug bij Toro Rosso als vervanger van de naar Red Bull Racing vertrokken Pierre Gasly.[10] Tijdens deGrand Prix van Duitsland stond hij op het podium met een derde plaats.
Kvjat had een relatie metKelly Piquet, dochter vanNelson Piquet. Zij kregen in 2019 een dochter, maar gingen datzelfde jaar uit elkaar.Kelly Piquet kreeg later een relatie metMax Verstappen, de coureur aan wie Kvjat in 2016 zijn plek bijRed Bull Racing moest afstaan.