In de wiskunde zijncomplexe getallen eenuitbreiding van dereële getallen. Zoals de reële getallen overeenkomen met punten op een rechtelijn, correspondeert ieder complex getal met eenpunt op hetcomplexe vlak. Een complex getal is zodoende een paar reële getallen en, dat gewoonlijk wordt weergegeven als. Hierin is, soms wordt ook gebruikt, een bijzonder complex getal, deimaginaire eenheid, met als eigenschap. Met complexe getallen in de vorm kan gewoon gerekend worden, met de extra rekenregel dat overal vervangen wordt door −1.
De schrijfwijze laat zien dat een complex getal de som is van een reëel getal en eenimaginair getal, of anders gezegd, eenlineaire combinatie met reële coëfficiënten van 1 en.
De extra mogelijkheden die het rekenen met complexe getallen biedt, hebben geleid tot allerlei nuttige toepassingen in vooral alles wat mettrillingen engolven te maken heeft, zoals het grootste deel van denatuurkunde, deelektrotechniek, demeet- en regeltechniek en vele andere technische disciplines.
Uit de definitie van complexe getallen blijkt dat reële getallen ook complexe getallen zijn. Binnen een context waarin nog niet is gespecificeerd of alleen reële of alle complexe getallen worden beschouwd betekent "complex getal" meestal "niet noodzakelijk reëel complex getal". Afhankelijk van de context wordt met een complex getal ook weleens bedoeld een niet-reëel complex getal.
De formule van de Italiaanse wiskundigenScipione del Ferro enNiccolò Tartaglia voor de oplossingen van dederdegraadsvergelijking plaatste de wiskundigen van de zestiende eeuw voor een enorm nieuw probleem. Wanneer zo'n vergelijking drie verschillende (reële) oplossingen heeft, komen in die formule namelijkwortels voor uitnegatieve getallen. En in die tijd waren wortels uit negatieve getallen nog niet gedefinieerd. Het is geen wonder dat de naam 'imaginaire getallen' snel gevonden was, en de gewone getallen heetten vanaf toen 'reëel'. Aan het einde van de18e eeuw legden de grote wiskundigenLeonhard Euler enCarl Friedrich Gauss de basis voor de getallenleer en defunctietheorie waarmee dit probleem en vele andere zouden worden opgelost.
De eigenschappen van complexe getallen hebben tot gevolg dat eenpolynoom van graad in de complexe getallen precies nulpunten heeft, in plaats van ten hoogste nulpunten zoals bij de reële getallen het geval is. Dit is dehoofdstelling van de algebra. Ook geldt dat de vergelijking voor negatieve getallen een oplossing heeft voor alle ongelijk aan 0 in plaats van alleen maar voor oneven waarden van.
Complexe getallen voorzien in de behoefteoplossingen te hebben van alle (algebraïsche)vergelijkingen, dus bijvoorbeeld ook vergelijkingen van de vorm voornegatieve getallen.
Eén benadering is het introduceren van een denkbeeldige, imaginaire oplossing, aangeduid met, van imaginair, van de vergelijking. Men stelt dus dat deze vergelijking per definitie een oplossing heeft. Die oplossing wordt genoemd. Door dereële getallen uit te breiden met dit denkbeeldige getal, waarmee verder op de normale manier wordt gerekend, ontstaat de verzameling van de complexe getallen. Deze uitbreiding bevat met vanzelf ook alle uitdrukkingen van de vorm waarin en reële getallen zijn. Hiermee is het gewenste resultaat bereikt: binnen de complexe getallen is elke algebraïsche vergelijking oplosbaar.
De andere benadering is het construeren van de verzameling, waardoor het beeld verdwijnt dat de nieuwe getallen niet echt bestaan. De aanduiding imaginair, overgenomen van de eerste benadering, wordt wel gebruikt, maar hoeft niet letterlijk te worden genomen. Wel is het zo dat klassieke natuurkundige grootheden een reële numerieke waarde hebben. Dit neemt niet weg dat complexe getallen daarbij een handig hulpmiddel kunnen zijn, zie onder.
Een complex getal is een uitdrukking van de vorm, waarin en beide reële getallen zijn en een nieuw getal voorstelt, deimaginaire eenheid, met de eigenschap (rekenregel):
Rafael Bombelli, de bedenker van de imaginaire getallen, stelde de rekenregels op voor complexe getallen. Hierbij stelde hij alsaxioma de genoemde eigenschap van het complexe getal.
Het getal noemt men hetreële deel en het getal hetimaginaire deel van het complexe getal, en noteert
De verzameling van de complexe getallen wordt genoteerd als.
De reële getallen vormen een deel van de complexe getallen; het zijn de complexe getallen met imaginair deel gelijk aan 0. Getallen waarvan het reële deel 0 is noemt men zuiver imaginair.
Definitie als koppel reële getallen of als tweedimensionale vector
Een complex getal is een getal dat bestaat uit twee reële getallen. Dit leidt tot een alternatieve definitie, waarin het paar reële getallen zelf als complex getal opgevat wordt en vermeden wordt vooraf de imaginaire eenheid in te voeren.
Dit paar reële getallen kan vervolgens worden opgevat als eenvector in een tweedimensionale ruimte, hetcomplexe vlak, waarmee kan worden gerekend zoals met gewone vectoren maar met een extra definitie voor de vermenigvuldiging, zie hieronder, met het karakter van een combinatie van een verschaling en een rotatie. Deze definitie heeft tot gevolg dat het kwadraat van een zuiver imaginair getal een reëel getal oplevert.
De alternatieve definitie luidt:
Een complex getal is eengeordend paar van reële getallen, met de gebruikelijke optelling:
en de vermenigvuldiging:
Het getal heet ook hier het reële deel en het getal het imaginaire deel van het complexe getal.
Het koppel wordt genoemd. Het koppel wordt vereenzelvigd met het reële getal. Het koppel is daarmee te schrijven als. Men kan hiermee rekenen met de gebruikelijke rekenregels, aangevuld met de regel. Het is dan niet nodig de genoemde definitie van vermenigvuldiging te onthouden en expliciet toe te passen. Voor is het getal van de vorm; dit heet eenzuiver imaginair getal. Deze getallen vormen de verticale as van het complexe vlak.
De alternatieve definitie stoelt op de voorstelling van de complexe getallen in het platte vlak. De abstracte definitie roept de vraag op of er ook een concrete voorstelling is van complexe getallen. Omdat de complexe getallen eenvectorruimte vormen, voortgebracht door 1 en en een complex getal eenduidig verbonden is met hetgeordend paar reële getallen als de coördinaten ten opzichte van de basis gevormd door 1 en, ligt het voor de hand om als kandidaat te bezien en op te vatten als het complexe getal. Optellen gaat dus als volgt:
Nu rest nog de vraag of er een geschikte vermenigvuldiging gedefinieerd kan worden voor paren reële getallen, die overeenkomt met de vermenigvuldiging voor complexe getallen. Omdat:
(zie onder),
zullen we de vermenigvuldiging moeten definiëren als:
Dan geldt:
en
Met de identificatie van (1,0) = 1 en is aan de regels voor complexe getallen voldaan.
De verzameling is, na uitbreiding met de hierboven gedefinieerde vermenigvuldiging,isomorf met de verzameling.Deze constructie levert eenmeetkundige voorstelling van de complexe getallen op, hetcomplexe vlak genoemd. Deze manier van voorstellen werd in 1806 bedacht door de Zwitserse amateurwiskundigeJean-Robert Argand en wordt wel als arganddiagram aangeduid. De eerste wiskundige, die een meetkundige voorstelling van de complexe getallen gaf, was trouwensCaspar Wessel in 1797, maar zijn werk werd niet opgepakt door anderen, mede omdat hij in hetDeens schreef.
Naast de overeenkomsten is een belangrijk verschil tussen en dat de in gebruikte vermenigvuldiging van getallenparen in niet gedefinieerd is.
Met de eerst gegeven definitie zijn de reële getallen vanzelf een deelverzameling van de complexe. Het zijn de complexe getallen met imaginair deel 0.
Met de alternatieve definitie vormen de reële getallen formeel geen deelverzameling van de complexe, maar men kan ze ingebed denken door de reële getallen te identificeren als de complexe getallen van de vorm.
De verzameling van de complexe getallen, met de hierboven gedefinieerde optelling en vermenigvuldiging, is eenlichaam.
Door de definitie van complexe getallen als elementen van een twee-dimensionale ruimte zijn er een tweetal notaties voor complexe getallen die voor de hand liggen. Deze notaties worden beide gebruikt, vaak naast elkaar.
Omdat we de complexe getallen definiëren als elementen van een tweedimensionale ruimte, kunnen we een complex getal ook weergeven inpoolcoördinaten, door de afstand van tot de oorsprong en de hoek tussen de vector en het positieve deel van de reële as. Poolcoördinaten kunnen met behulp van degrootte/hoeknotatie worden weergegeven als.
De bovengenoemde afstand wordt de voerstraal, modulus ofabsolute waarde van het complexe getal genoemd (zie ook onder) en de hoek de poolhoek of hetargument van.
Tussen de polaire en cartesische notatie bestaat de betrekking:
of specifieker:
In de andere richting, van cartesisch naar polair, geldt:
Afhankelijk van het resultaat van dient wel gecontroleerd te worden of het resultaat in het juiste kwadrant gelegen is. Om precies te zijn geldt voor het volgende:
Verband tussen cartesische en poolcoördinaten ter voorstelling van een complex getal.
Merk op dat argumenten die een veelvoud van 2π verschillen, hetzelfde complexe getal voorstellen. Argumenten van complexe getallen zijn dus niet eenduidig gedefinieerd, op een veelvoud van 2π na. Daarom wordt de hoofdwaarde de waarde van het argument genoemd, die tussen en ligt.
Een andere manier om met de complexe getallen te rekenen is door middel vanmatrices. Het complexe getal wordt daarbij voorgesteld door de 2×2-matrix:
Het getal 1 wordt dus voorgesteld door deeenheidsmatrix:
en de imaginaire eenheid door:
De vermenigvuldiging is de matrixvermenigvuldiging. Inderdaad is:
De complex geconjugeerde van is in de matrixvoorstelling juist de getransponeerde.
In de matrixvoorstelling geldt:
,
zodat
Vatten we de matrix op alslineaire transformatie van het-vlak, dan stelt de afbeelding voor die het punt (1,0) afbeeldt op (0,1) en het punt (0,1) op (−1,0). Precies wat we verwachten bij vermenigvuldiging met.
Deze manier van voorstellen is analoog aan de voorstelling van dequaternionen als 2×2-matrices van complexe getallen.
De modulus ofabsolute waarde van een complex getal wordt op dezelfde manier aangegeven als bij reële getallen, dus als, en komt overeen met deeuclidische norm in. De berekening ervan gebeurt op de volgende manier:
Anders geformuleerd: de modulus, of absolute waarde, van een complex getal is de lengte van z'n voerstraal. Voor het complexe getal, is de absolute waarde dus:
Uit de definitie van de complex geconjugeerde en de modulus volgt:
De complexe getallen kunnen niet zoals de reële getallen worden vergeleken door aan te geven welk getal groter is dan het andere, dieordening is er niet. heeft dus geen betekenis.
Het optellen en aftrekken van complexe getallen gaat het makkelijkst in Cartesische vorm: het reële deel en het imaginaire deel worden apart opgeteld. Dit komt overeen met optelling van vectoren.
Twee complexe getallen en worden als volgt opgeteld:
oftewel
Bijvoorbeeld is de som van en:
Uiteraard is aftrekken hetzelfde als het optellen van hettegengestelde.
Merk ook op dat (het nemen van) de complex geconjugeerde distributief is over optellen:
Vermenigvuldigen en delen van complexe getallen gaat het gemakkelijkst in polaire vorm. Hierbij worden de moduli met elkaar vermenigvuldigd en de argumenten bij elkaar opgeteld. Voor getallen in Cartesische vorm geldt voor het product:
oftewel
Dit is feitelijk hetzelfde als het vermenigvuldigen bij de reële getallen, met inachtneming van de definitie.
Verder geldt voor met en met:
en
,
dus
Bij het vermenigvuldigen van twee complexe getallen worden de moduli met elkaar vermenigvuldigd en de argumenten bij elkaar opgeteld.
In het bijzonder volgt dat vermenigvuldiging met hetzelfde is als draaiing over radialen, dus een toename van het argument met. Daaruit blijkt weer overeenstemming met de definitie:.
Merk op dat het nemen van het complex geconjugeerde distributief is ten opzichte van het vermenigvuldigen:
omdat:
Merk verder op dat het bovenstaande gegeneraliseerd kan worden:
In het bijzonder:
voor
voor
Voor machtsverheffen met moet eerst wat meer gereedschap ontwikkeld worden.
Voor het quotiënt geldt:
Daarbij is gebruikgemaakt van de definitie.
De verzameling vormt met de hierboven beschreven optelling en vermenigvuldiging eenlichaam (Ned) of veld (Be). De eerder geciteerde hoofdstelling van de algebra betekent dat eenalgebraïsch gesloten lichaam is.
Dee-macht is een bekende standaardfunctie, die uitgebreid kan worden naar de complexe getallen. Voor een complex getal is de e-macht van gedefinieerd als
Uit deze definitie volgt onmiddellijk
Merk op dat de complexe e-macht zo gedefinieerd is dat deze voor reële waarden van (dat wil zeggen met een imaginair deel 0) overeenkomt met de definitie van de e-macht voor reële getallen.
Door deze definitie behoudt de complexe e-macht een groot aantal "bekende" eigenschappen. Bijvoorbeeld:
Oftewel
Verder volgt uit deze definitie, dat voor alle reële:
en dat
periodiek is met periode (dus bij constante en variërende)
Uit de eerste van de vijf bovenstaande eigenschappen,, en de polaire notatie volgt nog dat elk complex getal voorgesteld kan worden als:
Met deze vaststelling in de hand, kan ook de natuurlijke logaritme van complexe getallen gedefinieerd worden. Een eigenschap van de natuurlijke logaritme is namelijk dat
Voor een complex getal definieert men op basis van het bovenstaande
,
met voor de "normale" definitie van de natuurlijke logaritme voor reële getallen. Aangezien de logaritme zo slechts bepaald is op veelvouden van na, is de afspraak voor altijd de hoofdwaarde te nemen. Daarmee geldt dus dat.
Met de definitie van de e-macht en de logaritme kan ook machtsverheffen voor complexe getallen gedefinieerd worden. En wel is voor de complexe getallen en:
De eerder uitgewerkte omschrijvingen van goniometrische formules naar e-machten wordt vaak gebruikt om goniometrische functies te reduceren tot meer overzichtelijke polynomen op basis van e-machten en vandaar mogelijk weer tot makkelijkere, goniometrische uitspraken.
Een bekend voorbeeld hiervan is een zeer bekende stelling uit de goniometrie, destelling van De Moivre. Gegeven het voorgaande is deze stelling overigens triviaal. Volgens deze stelling is:
Eerder is vastgesteld dat voor complexe getallen en geldt:
en
Hieruit kan meteen afgeleiden worden wat de-de-machtswortels van een complex getal zijn. Per definitie zijn dit alle oplossingen van de vergelijking.
Het complexe getal dat het meest voor de hand ligt, is waarvoor geldt dat
en
De periodiciteit van de goniometrie leert dat daarnaast ook die complexe getallen een oplossing zijn waarvoor geldt dat:
Dus:
De-de-machtswortels van een complex getal zijn in het complexe vlak dus precies punten, regelmatig verdeeld over een cirkel om de oorsprong, met straal.
In het reële domein is de derdemachtswortel uit −1 gelijk aan −1. Maar met bovenstaande rekenregel vinden we dat ook en derdemachtswortels van −1 zijn.
Zoekt men een unieke oplossing voor de wortelfunctie, dan kan men die waarde kiezen die gebaseerd is op de hoofdwaarde van en daar weer de hoofdwaarde van nemen. In het bijzonder heeft dan de 'unieke' wortel uit −1 de waarde.
Merk op dat de bekende rekenregels niet gelden voor complexe wortels. Zo geldtniet algemeen
ZieEenheidswortel voor het hoofdartikel over dit onderwerp.
Een speciale rol is weggelegd voor de zogenaamdeeenheidswortels. Dat zijn de oplossingen van de vergelijking
,
waarin een natuurlijk getal is.De oplossingen zijn de punten op deeenheidscirkel (cirkel met straal 1 om de oorsprong) die in polaire notatie gegeven worden door:
Bovengenoemde eigenschappen en functies van complexe getallen zijn bijzonder nuttig voor het bestuderen van alleperiodieke verschijnselen, waaronder golfverschijnselen. In plaats van apart met zowel amplitude als fase te moeten rekenen, kan volstaan worden met één complex getal en de bijbehorende rekentechnieken. Een eenvoudig voorbeeld kan dit aannemelijk maken:
Stel beschrijft een wisselstroom methoekfrequentie enamplitude. Dit kan worden geschreven als
is ook een oplossing van diezelfde differentiaalvergelijking.
Sinus en cosinus zijn de twee onafhankelijke oplossingen van die differentiaalvergelijking, hetgeen wil zeggen dat de een niet als een veelvoud van de ander is te schrijven. Volgens de theorie van de differentaalvergelijkingen is ook een lineaire combinatie
een oplossing, waarbij en reële constanten zijn. In feite is dit een toepassing van hetsuperpositieprincipe. Dit kan weer herschreven worden als
In plaats van en zijn nu de amplitude en faseverschuiving de integratieconstanten waarmee de DV aan de randvoorwaarden kan voldoen.Door uitbreiding van met een imaginair deel is een complexe exponentiële functie ontstaan, die de prettige eigenschap heeft dat de afgeleide ervan verkregen wordt door vermenigvuldiging met en de integraal door deling door. De relevante fysische grootheid is.
Hierdoor worden lineaire differentiaalvergelijkingen vereenvoudigd tot algebraïsche uitdrukkingen. Complexe getallen worden ook bij andere soortendifferentiaalvergelijkingen gebruikt.
Hierbij wordt de modulus van de impedantie vermenigvuldigd met de amplitude van de stroom en het argument van de impedantie opgeteld bij de fase van de stroom.
Fourieranalyse wordt veelvuldig gebruikt voor de analyse van tijdafhankelijke signalen, in het bijzonder voor stationaire periodieke signalen. Voor in- en uitschakelverschijnselen, die niet zuiver periodiek zijn, is delaplacetransformatie, een uitbreiding van de fouriertransformatie, onontbeerlijk. Zowel de fourieranalyse als de laplacetransformatie maken deel uit van defunctietheorie, voor quasi-stationaire signalen, zoals golfpakketten, zijn er analytische signaalfuncties.
Opmerking: In de elektrotechniek en elektronica wordt de imaginaire eenheid genoemd, om verwarring met de voor destroomsterkte te voorkomen.
Complexe getallen en de bijbehorende complexefunctietheorie worden in denatuurkunde vooral gebruikt omtrillingen engolven te beschrijven, zoals in deakoestiek, dewetten van Maxwell, defysische optica, de fourieranalyse kan in twee dimensies ook op afbeeldingen en buigingspatronen worden toegepast, evenals in dekwantummechanica, waarin golffuncties waarschijnlijkheidsverdelingen beschrijven.
Een aantal formules voor deruimtetijd worden in despeciale en dealgemene relativiteitstheorie eenvoudiger als men de tijdsvariabele imaginair weergeeft. Dit is niet langer standaard in klassieke relativiteit, maar wordt wel gebruikt in dekwantumveldentheorie. Complexe getallen zijn essentieel voorspinors, die een algemene vorm van detensoren zijn die in de relativiteitstheorie worden gebruikt.
Elke driehoek heeft een uniekeSteiners ingeschreven ellips, eenellips binnen de driehoek, die raakt aan het midden van de drie zijden van de driehoek. Debrandpunten van driehoekige Steiners ingeschreven ellips kan als volgt worden gevonden, volgens destelling van Marden:[1][2] Noteer de hoekpunten van de driehoeken in het complexe vlak als,, en. Schrijf dederdegraadsvergelijking, neem daar de afgeleide van en stel deze kwadratische afgeleide gelijk aan nul. De oplossingen van deze vergelijking zijn volgend de stelling van Marden complexe getallen, die de locaties van de twee brandpunten van de Steiners ingeschreven ellips weergeven.
