Bury volgde van 1962 tot 1965 een opleiding totgoudsmid aan deStaatliche Zeichenakademie Hanau inHanau. Aansluitend studeerde hij van 1965 tot 1969 aan deFachhochschule für Gestaltung (thans deHochschule Pforzheim) inPforzheim. Van 1969 tot 1970 verbleef hij inLonden. In 1976 kreeg hij een beurs van hetBundesverband der Deutschen Industrie (BDI), in 1979 verbleef hij op uitnodiging van hetGoethe-Institut inAustralië. Van 1979 tot 1984 leefde Bury inProvidence (Rhode Island) in deVerenigde Staten. Hij ontving in 1981 een beurs van deNational Endowment for the Arts inWashington D.C..
Claus Bury is vooral bekend geworden door zijn grootschalige projecten, die het midden houden tussen beeldhouwkunst en architectuur. Het materiaal dat zijn voorkeur geniet is, vanwege de grote flexibiliteit, hout. Een van de opvallendste projecten in zijn oeuvre is de geheel instaal uitgevoerdeBitterfelder Bogen uit 2006. Daarnaast is Bury ook actief alssieraadontwerper.