In degroepentheorie, een deelgebied van dewiskunde, is eengroep van het lie-type een (niet noodzakelijkerwijseindige)groep van derationale punten van een reductievealgebraïschematrixgroep over eenlichaam/veld. Eindige groepen van het lie-type vormen het leeuwendeel van de niet-abelse eindigeenkelvoudige groepen. Bijzondere gevallen zijn onder meer deklassieke groepen, dechevalley-groepen, desteinberg-groepen en desuzuki-ree-groepen.
ZieKlassieke groep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.Vanaf de tijd vanL.E. Dickson tot het boek vanJean Dieudonné werd er veel onderzoek op het terrein van de klassieke groepen gedaan.Emil Artin onderzocht bijvoorbeeld deorden van dergelijke groepen, dit met het oog op de classificatie van gevallen van coïncidentie.
Een klassieke groep is, ruwweg gesproken, eenspeciale lineaire-,orthogonale-,symplectische- ofunitaire groep. Er zijn hierin verschillende kleine variaties die worden gegeven doorcommutator-ondergroepen en vanquotiëntgroepen met hetcentrum. Ze kunnen worden geconstrueerd over eindige velden (of enige ander veld) op vrijwel dezelfde manier, waarop ze over de reële getallen worden geconstrueerd. Zij corresponderen met de reeksenAn,Bn,Cn,Dn,2An,2Dn van Chevalley- en Steinberg-groepen.
De theorie werd in het midden van de jaren 1950 verhelderd door de theorie van dealgebraïsche groepen en het werk vanClaude Chevalley over Lie-algebra's. Als gevolg hiervan werd het concept van eenChevalley-groep geïsoleerd. Chevalley construeerde eenChevalley-basis (een soort van integrale vorm) voor al decomplexeenkelvoudige Lie-algebra's (of beter gezegd van hununiverseel omhullende algebra's), die kunnen worden gebruikt om de corresponderende bijbehorende algebraïsche groepen over de gehele getallen te definiëren. In het bijzonder zou hij hun punten kunnen nemen met waarden in enig eindig veld. Voor de Lie-algebra'sAn,Bn,Cn,Dn gaf dit bekende klassieke groepen, maar zijn constructie gaf ook groepen die geassocieerd zijn met de uitzonderlijke Lie-algebra'sE6,E7,E8,F4,enG2. (Sommige van deze groepen waren al eerder geconstrueerd door Dickson.)
De constructie van Chevalley gaf niet alle van de bekende klassieke groepen: zij liet de unitaire groepen en de niet-gesplitsteorthogonale groepen weg. Steinberg vond een wijziging in de bouw van de constructie van Chevalley, die deze missende groepen pluse een paar nieuwe families van groepen gaf. Deze constructie veralgemeende de gebruikelijke constructie van deunitaire groep uit dealgemene lineaire groep.
De unitaire groep ontstaat als volgt: de algemene lineaire groep over decomplexe getallen heeft eendiagramautomorfisme dat wordt gegeven door het omkeren van deDynkin-diagram om te keren (wat overeenkomt met het nemen van de getransponeerde inverse), en eenveldautomorfisme, dat wordt gegeven door decomplex geconjugeerde te nemen, die commuteren. De unitaire groep is de groep van vaste punten van het product van deze tweeautomorfismen.
Op dezelfde manier hebben veel Chevalley-groepen diagramautomorfismen die zijn geïnduceerd door automorfismen van hunDynkin-diagrammen, en veldautomorfismen geïnduceerd door automorfismen van eeneindig veld. Analoog aan het unitaire geval construeerde Steinberg families van groepen door vaste punten van een product van een diagram en een veldautomorfisme.
Deze gaven:
De groepen van het type3D4 hebben geen analogon over dereéle getallen, zoals de complexe getallen geen automorfisme van orde 3 hebben. De symmetrieën van het diagram geven ook aanleiding tottrialiteit.